2023届重庆市高三下学期2月月度质量检测数学试题含答案

这是一份2023届重庆市高三下学期2月月度质量检测数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届重庆市高三下学期2月月度质量检测数学试题

一、单选题
1．已知集合，，若，则实数a组成的集合为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性.
【详解】∵，则有：或，解得：或或，
∴实数a组成的集合为.
故选：D.
2．复数的虚部为（    ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【分析】计算出复数的代数形式即可得答案.
【详解】
则复数的虚部为
故选：A.
3．重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处，建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合，展示了重庆的悠久历史。如图所示，可以将南滨路钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（    ）
    
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解．
【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系．
设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，
考察到这个时间段，
设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，，
设，其中，则，，
由已知可得，则，
因为，故的取值为，，，，
即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4，
因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8．
故选：．
  
4．若为坐标原点，，，，则的最小值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.
【详解】由题意知，，
又可得，
整理得，
令，则，
且，
∴，
∴，即的最小值是3.
故选：C
5．为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是（    ）
A．210 B．360 C．420 D．720
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用分类计数原理，组合列式计算作答.
【详解】求不同的选法种数可以有两类办法，选出的4人中有2名领导，有种方法；有3名领导，有种方法，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选法种数是210，A正确.
故选：A
6．某钟表的秒针端点到表盘中心的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与表盘上标“12”处的点重合．在秒针正常旋转过程中，，两点的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.
【详解】由已知函数的定义域为，周期为，且时，，
对于选项A，函数周期为，A错误；
对于选项B，函数周期为，B错误；
对于选项D，当时，，D错误；
对于选项C，
，
所以函数，
故选：C.
7．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则以为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正三棱锥四个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案.
【详解】

由已知得，，，得
，所以，
其中，以为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面的交线如图，为弧与弧，可求得，，故，故，
故，同理，球面与正三棱锥的面和面所交的弧长一致，故以为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面，面，面的交线的总长度为：.
而球面与正三棱锥的面的其中交线为三部分长度一样的圆弧，


因为为直角三角形，且，，根据正三棱锥的性质，为三角形的外接圆圆心，故为中点，则，且，所以，，
取，则中，，中，，，故利用余弦定理，可得，所以，弧长，而这样的弧长，球面与正三棱锥的面的交线总共有三部分，故交线长为：
故选：D
8．函数，若互不相同，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨设，作出函数的图象，根据图象可得，，，利用推出，利用推出，再根据二次函数知识推出，从而可得结果.
【详解】不妨设，
作出函数的图象，如图：

由图可知，，，，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以.
因为二次函数的对称轴为，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题
9．已知函数是定义在上的奇函数，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C．若x＞0时，，则x＜0时，
D．若在上为增函数，则在上为减函数
【答案】AB
【分析】根据函数的性质逐项分析.
【详解】对于A， ，正确；
对于B，由于是在R上的奇函数，若则，由且，所以，即上最大值为1，正确；
对于C，当 时， ，错误；
对于D，根据函数图像关于原点对称，当在上是增函数，则在也是增函数，错误；
故选：AB.
10．已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（    ）
A． B．存在实数，使得
C．若，则 D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则
【答案】CD
【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知A，B两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C正确；由直线PA与PB的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确.
【详解】由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，
直线恒过，如下图所示：

设，作垂直于准线，垂足为，
根据抛物线定义可知，，易知，所以，
但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，
所以，即A错误；
联立直线和抛物线方程得；
所以，，
此时，所以，即，
所以不存在实数，使得，故B错误；
若AF＝2FB，由几何关系可得，结合，可得或，即或，
将点坐标代入直线方程可得，所以C正确；
若直线PA与PB的倾斜角互补，则，
即，整理得，
代入，解得或，
当时，直线过点，A与P点重合，不符合题意，所以；即D正确.
故选：CD
11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有（    ）

A． B．
C． D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的模长、夹角、位置关系等知识逐一对选项进行分析，从而确定正确答案
【详解】以 为空间一组基底，
,


,
所以，故A选项正确；



所以 故B选项错误；
，
所以


所以 故 C选项错误；
设直线BD与AC所成角为
，  
，
故



所以， 故D正确；
故选：ABD.
12．已知，，则下列不等式不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】，
，，，故A正确；
，，
，
，
故B不正确；
设，则，
，，，
，，
，，，
，故C正确、D错误；
故选：BD.

三、填空题
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 .
【答案】60
【分析】通过正态分布得出，再通过二项展开式的通项得出常数项的值.
【详解】由正态分布易得，
设二项展开式的第项，
则常数项为当时，值为60.
故答案为：60.
14．函数的单调减区间为 ；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.
令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
15．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少，至少需要 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下．
【答案】
【分析】根据题意建立指数不等式，两边取对数解的范围.
【详解】设光线未通过玻璃时的强度为，至少需要块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下，
则，即，
所以两边取对数，得，
解得，
由且，得．
故答案为：.
16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 .
【答案】4
【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，不妨设
则根据椭圆、双曲线定义得：，
可得：，，
设，，
在中利用余弦定理得，，
可得
整理得，即，也就是
故答案为：4


四、解答题
17．若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为，若数列为“摇摆数列”且，，则：
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.（注：）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意列出关于的方程，结合等差等比数列通项公式的概念即可得结果.
（2）求出数列的通项公式，分奇数项和偶数项分别进行求和计算，对奇数项求和可借助于，对偶数项求和可用错位相减求和法．
【详解】（1）设
由题意得，
∴．
（2）．
先求奇数项的和：
，，，

，
引入
故，
，
再求偶数项的和：
，，，

，
，
，
即，
，
∴
．
故.
18．已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；
（2）先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.
【详解】（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.

19．治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ，急性乙肝炎症治愈率可达 ，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有 ，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率 .（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)分布列见解析，期望为20；
(2)0.97

【分析】（1）先求出病毒被分在同一组和不在同一组的概率，再求出随机变量的可能取值计算出对应概率，列出分布列计算期望即可；
（2）先求出乙肝患者被治愈的概率，再由对立事件计算求出至少有一人痊愈的概率即可.
【详解】（1）病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验；
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，；
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，；
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，；
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，；
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，；
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，；故随机变量的分布列为：

10
14
16
18
20
22







则；
（2）由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，则两人最后至少有一人痊愈的概率.
20．如图，在四棱锥中，，底面为正方形.记直线与平面所成的角为.

(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）通过证明平面证得平面平面．
（2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得．
【详解】（1）连接，，交点设为，连接．
依题意可知，所以，
所以三角形中，，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，
所以平面平面．
（2）过作，垂足为，连接，
由已知，得，
所以是二面角的平面角，
所以，
设正方形的边长为，则，
所以，
由于，，平面，
所以平面，则．
过作，垂足为，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
所以，即是直线与平面所成角．
在中，，
所以．

是直线与平面所成角.在中，，所以.
21．抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.
(1)求的标准方程；
(2)直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，定点.

【分析】（1）写出切线方程并与抛物线方程联立求出点M坐标，再结合离心率求出双曲线方程作答.
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设出直线方程并与的方程联立，借助韦达定理及向量数量积求出直线PQ过定点E，直线PQ垂直于y轴，验证也过定点E，取线段EN中点即可作答.
【详解】（1）切线方程为，即，由消去y并整理得：
，则，解得，即，
由离心率得，即，双曲线，则，
所以双曲线的标准方程为：.
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设直线方程为，，，
由消去x并整理得：，
有，，，
，，因以为直径的圆过点，则当P，Q与N都不重合时，有，
，当P，Q之一与N重合时，成立，于是得，
则有
，即，
整理得，即，
因此，解得或，均满足，
当时，直线：恒过，不符合题意，
当时，直线：，即恒过，符合题意，
当直线PQ垂直于y轴时，设直线，由解得，
因以为直径的圆过点，则由对称性得，解得，直线过点，
于是得直线过定点，取EN中点，因于H，从而，
所以存在定点D，使得为定值，点.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
22．已知，
(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
【答案】(1)，证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.

【分析】（1）求导，有导函数的正负得到函数的单调性，从而得到在上是严格减函数；
（2）在第一问的基础上，得到，变形后得到，写出一般的结论；
（3）先得到满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若，可知，与矛盾；若，求出，与矛盾；若，则即，容易验证，成立，当，得到，于是，矛盾，故是满足条件的唯一一组值.
【详解】（1）的导函数为，令，得，
列表：










极大值

所以，函数在上是严格减函数；
（2）判断得到，
下面证明：
由（1），，即，所以，
由的单调递增，得到.
推广：对于实数，若，则即，
以下是证明过程：
由（1）知：在上是严格减函数，
因为，所以，则，，
因为单调递增，所以.
（3）因为，可见满足，                                                                       
下面证明唯一性：
①若，由第二问的结论可知，与矛盾；
②若，则即，与矛盾；
③若，则即，
显然不满足，成立，
若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾.
综上，是满足条件的唯一一组值.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对与先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.