2023届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段检测（五）数学试题含答案

2023届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段检测（五）数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.

【详解】因为，所以，或，

当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当时，，满足集合元素互异性，满足要求.

故选：B

2．若复数是的根，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.

【详解】∵，

∴由求根公式得：，即：，

∴当时，，

当时，.

综述：.

故选：B.

3．用模型拟合一组数据组，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）

A． B．70 C． D．35

【答案】C

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为，所以，，

即，

所以.

故选：C

4．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（    ）

A．第3层的塔数为3

B．第4层与第5层的塔数相等

C．第6层的塔数为9

D．等差数列的公差为2

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为，分，和三种情况讨论，结合等差数列的前项和公式分析得的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，

若，则这10层的塔数之和为，

则最多有座塔，不符合题意；

若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意；

所以，这10层的塔数之和为，

塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，

依题意剩下2层的塔数为3与5，

所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，

因此A，B，D正确，C错误．

故选：C.

5．若，则被8整除的余数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．

【详解】在已知等式中，取得，

取得，

两式相减得，

即，

因为

因为能被8整除，

所以被8整除的余数为5，

即被8整除的余数为5，

故选：B.

6．如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（    ）

A．的最大值为4

B．的最大值为

C．的最大值为2

D．的最大值为

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC，由向量相等求，结合三角函数性质求，的最值.

【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，，

内切圆的方程为，

可设，

则，，

所以，当，即为的中点时取等号，

所以的最大值为4，A正确；

因为，

所以，当，即时等号成立，

所以的最大值为，C错误，

由，可得，

得，，

，，

当，即时，所以所以的最大值为， B正确，

当，即时，所以所以的最大值为，D正确，

故选：C.

7．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，则的最小值为（    ）

A．-1 B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则，构造函数，应用导数求函数单调性求出最小值即可.

【详解】设，则，，

由，得，则，，

设函数，，

则，

因为函数在上都是增函数，

所以在上为增函数，

又，

所以当时，，单调递减,当时，,单调递增，

故，

即的最小值为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：设，则，，求得是解决本题得关键.

8．人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.

【详解】由的两条渐近线分别为，

所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上，

设且，若分别是，的倾斜角，故，

故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，

由，即，

整理得，可得（负值舍去），

所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为，

故.

故选：D

【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.

二、多选题

9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ）

A．该平台女性主播占比的估计值为0.4

B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7

C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名

D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6

【答案】AC

【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.

【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，

青年人人数为，中年人人数为，

由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，

其他人群中，女性人数为，

故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；

B选项，中年人中男性人数为，

故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；

C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，

故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；

D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，

则，，，D错误.

故选：AC

10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥，如果于点，，，下列说法正确的是（    ）

A．是等腰直角三角形 B．平面平面

C．平面 D．到，，，距离均相等

【答案】AB

【分析】依题意可得且，即可判断A，由，，即可证明平面，即可判断B，过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再利用反例说明C、D.

【详解】因为且，所以与均为等腰直角三角形，且，

所以，且，则，所以是等腰直角三角形，故A正确；

因为，，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故B正确；

过点作于点，因为平面平面，平面，

所以平面，

若，则不为点，此时平面不成立，故C错误；

设点到，，，的距离分别为、、、，

若到，，，距离均相等，则，

则，故点为与的角平分线的交点，当时不在的平分线上，故D错误.

故选：AB

11．数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（    ）

A．

B．数列的前n项和

C．数列的前n项和

D．

【答案】BCD

【分析】求得数列的通项公式判断选项A；求得数列的前n项判断选项B；求得数列的前n项和，进而判断选项C；求得数列的前项和进而判断选项D.

【详解】由，有，又

所以是首项为，公差为的等差数列，则，

则，则，A错误；

由，可得，解之得

又时，，则，整理得

则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，

则数列的前项和

，B正确；

，则数列的前项和

，C正确；

设数列的前项和，

则，，

两式相减得

整理得，则当时，，D正确.

故选：BCD.

12．设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（    ）

A．当时，的斜率为2 B．当时，

C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条

【答案】ABD

【分析】由点差法得，由此判断AB正确；当的斜率不存在时判断是否符合要求，当的斜率存在时,由直线与圆切于得必在直线上，根据给定的求出位置，根据是否在抛物线内部判断CD是否正确.

【详解】如图,设,,

则,两式相减得,.

当的斜率存在时,，则有,

又,所以.

当时，，故A正确；

由,得,

即,因此,即必在直线上.

当时，，点，直线的方程为，恰好过抛物线焦点，

故，故B正确；

将代入,得,由在抛物线内部得，

因为点在圆上,所以,

当时，，解得，与矛盾，此时的斜率为的直线不存在，当的斜率不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；

当时，，解得，符合，此时的斜率为的直线有两条. 当的斜率不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.

当斜率存在时，先确定点一定在直线上，再用点一定在抛物线内部判断给定的是否符合要求.

三、填空题

13．定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.

【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.

故答案为：

14．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）．

【答案】

【详解】对于6个台阶上每一个只站一人，有种；

若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，

所以不同的站法种数是种．

故答案为：210．

四、双空题

15．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．

【答案】     增     9

【分析】根据函数在上具有单调性，限定周期的范围，得出的范围，再由函数的零点得出关于的等式，结合这两个条件求出的值，再数形结合得出结果.

【详解】因为在上具有单调性，

所以，即，．

又因为，

所以，即，

只有，符合要求，此时．

当时，，

所以在上单调递增．

因为的最大值为1，而，，

作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．

故答案为：增；9.

五、填空题

16．若曲线上恰有四个不同的点到直线及点的距离都相等，则实数a的一个值可以是______．

【答案】（填写区间内的任一实数均可）

【分析】先求到直线和点的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线有四个交点求出的范围，由此可得结论.

【详解】到直线及点的距离都相等的点的轨迹

为以为准线以为焦点的抛物线，

设其方程为，则，

所以．

由，得或．

由已知曲线与曲线有四个交点，

因为与关于轴对称，

抛物线关于轴对称，

所以曲线与射线有两个位于轴上方的交点，

由得，

所以有两个正根，

所以，且

故满足题意的实数a的取值范围是．

故答案为：（填写区间内的任一实数均可）

六、解答题

17．在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为，记.

(1)求；

(2)求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【详解】（1）随机试验从盒子中有放回地先后摸出两个小球的样本空间为：

，共个样本点，

其中事件包含下列样本点：

，共个样本点，

所以；

（2）的所有取值为.

.

则随机变量的分布列为

的数学期望.

18．在中，三内角为.若.

(1)若，求角的大小；

(2)若，求当取最大时，的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据向量的数量积的坐标运算,再利用辅助角公式即可求解；

(2)根据向量平行的坐标运算，再利用正切的和差公式以及基本不等式，即可求解.

【详解】（1）因为，则.

因为，则，则，则；

（2）因为，所以，则.

由于为三角形内角，则只能均为锐角，即.，

当且仅当时，取“=”号.

又，则的最大值为，此时.

所以，当的最大时，.

19．如图，在长方形中，，点是棱上一点，且.

（1）证明：；

（2）若二面角的大小为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，得,，可得，求两个向量的数得积，由向量垂直的充要条件可知两向量垂直；

（2）由题意求得平面的法向量为，可求得平面的法向量为的一个解为，然后利用面面角的向量求法即得.

【详解】（1）以为原点, 为轴为轴，为轴建立空间直角坐标系，

不妨设,则，,，

，于是，

，

故；

（2）平面，平面的法向量为，

又.

设平面的法向量为，

则，

所以向量的一个解为.

因为二面角的大小为，则,

解得.

又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.

【点睛】易错点晴：求二面角大小的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．本题难度中等.

20．设数列中，，前项和为，且对任意的，，都有.数列满足，，

(1)求证：数列为等比数列；

(2)求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先用赋值法，得到， 根据题意可得，可证明为等比数列.

（2）由题意，可用裂项相消法求.

【详解】（1）令，，则，得，即.

依题意，时，，

于是，且，

故数列是首项为1，公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，所以.

于是.

所以.

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为.过点的直线交椭圆于两点，直线与的交点为.

(1)当直线的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点使得和的面积为，求的取值范围；

(2)求证：点在一条定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件先求椭圆方程，再联立方程组求弦的长，求与直线的切线方程，由条件确定面积的范围；

（2）联立直线与椭圆方程求点的坐标，联立直线与椭圆方程求点的坐标，

根据三点共线证明，再求点的坐标，由此完成证明.

【详解】（1）由题设可知.

因为，即，所以.

又因为，所以.

椭圆的方程为，直线的方程为.

设，联立方程组，

消去，可得，

解得.

将，代入直线的方程，解得.

所以.

设与直线平行的直线方程为.

联立方程组，消去可得，

若直线与椭圆只有一个交点，则满足，解得.

当直线为时，直线与之间的距离为；

当直线为时，直线与之间的距离为；

设点到的距离为，要使的面积为的点恰有两个，

则需满足，即.

因为，所以.

（2）设直线的方程为，直线的方程为.

联立方程组，

消去得，

所以，所以，代入可得

解得点的坐标为.

同理，可解得点的坐标为.

由三点共线，有

化简得.

由题设可知与同号，所以.

联立方程组，

解得交点的坐标为.

将代入点的横坐标，得.

所以，点恒在定直线上.

【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．设是实数，函数.

(1)当时，过原点作曲线的切线，求切点的横坐标；

(2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“巧点”，当时试问函数是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)横坐标为1

(2)存在，横坐标为2

【分析】（1）设切点为，求得，由斜率公式求得斜率，列出方程求得，结合函数为单调递增函数，且，即可求解.

（2）求得在处的切线方程，令，设，求得，得出函数的单调性，求得函数在和上不存在“巧点”，再由时，，进而得到点为“巧点”.

【详解】（1）解：当时，设切点为，

由函数，可得，

则，即切线的斜率，

又由直线的斜率为，

所以，即，

令，可得，为单调递增函数，且，

所以函数在上递增，且是一根，所以是唯一根，

所以过原点作曲线的切线，切点横坐标为.

（2）解：当时，可得，可得，

则且，

所以函数在其图象上一点处的切线方程为：

，

令，

设，则，

且

，

当时，，在上单调递增，

从而有，所以；

当时，，在上单调递增，

从而有，所以，

因此函数在和上不存在“巧点”，

当时，，所以函数在上单调递减，

所以当时，且，

当时，且，

所以点为“巧点”，其横坐标为.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．