2024届湖南省长沙市南雅中学高三上学期入学考试数学试题含答案

2024届湖南省长沙市南雅中学高三上学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.

【详解】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且，

所以该方程有两个互为共轭复数的虚数根，

即，即.

故选：B

2．集合且，，，且，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可．

【详解】作出Venn图如图所示，

则，．

故选：C．

3．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.

【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：

A选项中，B选项中，

C选项中，D选项中，

排除选项CD，

对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，

对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，

故选：B.

4．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可.

【详解】由题设，，，故，，

在△中，则，又，

所以.

故选：C

5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（    ）（，）

A．万年 B．万年 C．万年 D．万年

【答案】A

【分析】设，然后根据对数的运算解出即可.

【详解】万年用掉个二维码，大约能用万年，设，

则

即万年，

故选：A

6．等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．60 B．70 C．80 D．150

【答案】D

【分析】根据等比数列前项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可.

【详解】因为是等比数列，

所以成等比数列，

又因为，，，

则，，

所以，.

故选：D.

7．某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（    ）

A．96 B．110 C．112 D．128

【答案】B

【分析】根据男、女学生比例，不妨设女、男学生分别为，，则总数为，求得所有样本的平均值，代入方差公式，即可得答案．

【详解】由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为，

不妨设抽取女、男学生分别为，，则总数为，

则所有样本平均值为，

所以方差为．

故选：B．

8．过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设是直线的动点，由题意可得是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，计算可得．

【详解】由圆，可得圆心为，半径为，

设是直线的动点，自向圆作切线，

当长最短时，两切线所成的角最大，

即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，

由点到直线的距离公式可得，

，，，

．

故选：C．

二、多选题

9．若a，b，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据特殊值、绝对值不等式、不等式的性质、函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，时，满足，但，A选项错误；

对于B选项，，

当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C选项，，由不等式性质得，C选项正确；

因为在上单调递增，所以恒成立，D选项正确.

故选：BCD

10．若函数，则（    ）

A．在上单调递增

B．有两个零点

C．在点处切线的斜率为

D．是偶函数

【答案】AC

【分析】根据，可以判断A正确；令判定B错误；代入判定C正确；根据函数奇偶性判定D错误；

【详解】，

对于A：时，，故在递增，故A正确；

对于B：令，解得：，故B错误；

对于C：斜率，故C正确；

对于D：函数定义域为R，定义域关于原点对称，

，

所以既不是奇函数也不是偶函数，故D错误；

故选：AC.

11．某通信工具在发送､接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（    ）

A．已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为

B．在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49

C．在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.96

D．在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为

【答案】BD

【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式逐项分析判断.

【详解】对于A，两次发送的信号均为1，接收到的信号均为1的概率为，故A错误；

对于B，在单次发送信号中，接收到0的概率为，故B正确；

对于C，在单次发送信号中，能正确接收的概率为，故C错误；

对于D，由选项B可知：在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49，

则发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率，故D正确.

故选：BD.

12．如图，棱长为2的正方体的内切球为球O，E､F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有（    ）

A．存在点G，使

B．对于任意点G，平面EFG

C．直线EF的被球О截得的弦长为

D．过直线EF的平面截球О所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为

【答案】ACD

【分析】根据线线垂直、线面平行、球的弦长、球的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，连接,则，连接，如下图所示，

当为中点时，由于是的中点，

所以，由于，所以，

根据正方体的性质可知，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以，故正确；

B选项，当与重合时，连接，则，

连接，如下图所示，由图可知：

在平面上，在平面外，故B不正确；

C选项，如下图，连接，则是的中点，内切球的半径为，

点是线段的中点，由对称性可知，

由勾股定理可知易知，

球心到距离为，

则被球截得的弦长为，故C正确；

对于D选项，如上图所示，结合C选项的分析可知：

当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，

此时圆的半径就是，

面积为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】在空间中，要证明线线垂直，可通过证明线面垂直来证明.线面平行和线面相交时，直线在平面外.求解球的截面或球的弦长有关问题，可根据球的几何性质，结合勾股定理等知识来进行求解.

三、填空题

13．已知向量，，若∥，，则      .

【答案】

【分析】设，根据向量平行、垂直关系求得，进而可得结果.

【详解】设，则，

若∥，，可得，解得，

即，所以.

故答案为：.

14．若为偶函数，则实数      .

【答案】0

【分析】由求出的值，然后再检验即可.

【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数为偶函数，

所以由得，解得：.

当时，，符合题意.

故答案为：

15．设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为          ．

【答案】

【分析】根据题意可得，再结合渐近线的斜率与离心率的关系列式求解即可.

【详解】因为以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，故.又根据渐近线的斜率可得，故离心率.

故答案为：

16．已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为      .

【答案】49

【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案.

【详解】二项式的通项为，

二项式的通项为，

，

，若，则为奇数，

此时，

，又为奇数，的最大值为49.

故答案为：49.

四、解答题

17．已知为等差数列，且公差，是和的等比中项.

（1）若数列的前m项和，求m的值；

（2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先由等差数列通项公式的基本量法得到，，，再结合已知建立方程求得和，最后根据前项和公式建立方程求出；

（2）先根据题意得到，再由（1）得到，最后求得.

【详解】解：（1）因为是等差数列，

所以，，，

因为是和的等比中项，

所以，所以，

由化简得.

所以，

由，

解得：.        

（2）因为，，，，…，成等比数列，

所以该数列的公比，所以；

又因为为等差数列，所以，

所以.

【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量法、根据等差数列前项和求参数、等比数列求通项公式，是基础题.

18．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

(1)求角的大小；

(2)设边上的高，求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意及正弦定理可得的值，再由角的取值范围，可得角的大小；

（2）由题意和（1）可得，再由余弦定理可得的最小值，进而求出该三角形的面积最小值．

【详解】（1）由正弦定理可知：

所以

又，所以，所以．

因为，所以．

（2），所以①

而

所以，当且仅当时等号成立②

由①②两式可知，

所以，即面积的最小值为．

19．如图，圆锥的高为3，是底面圆的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先得到平行四边形OADC为菱形，得到，再结合得到线面垂直，证明出面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面法向量，得到两平面夹角的余弦值.

【详解】（1）由已知可得，且，

所以四边形OADC为平行四边形，

又因为，所以平行四边形OADC为菱形，

所以

在圆锥PO中，因为平面ABCD，平面ABCD，

所以

因为，平面POD，平面POD，

所以平面POD．

又因为平面AEC，所以平面平面POD．

（2）取CD中点M，易知平面PAB，，

以O为原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

因为，所以，

所以，

所以，，

设平面AEC的一个法向量为，

因为，所以，

令，则，，所以，

易知平面EAB即平面yOz，所以平面EAB的一个法向量为，

设平面AEC与平面EAB的夹角为，

则，

所以平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值为．

20．已知动圆过定点，且在y轴上截得弦长为4.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)过点的直线l与轨迹C交于A，B两点，若点满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，求的值.

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）根据给定信息，探讨点的几何特征，再列式化简作答.

（2）设出直线的方程，与轨迹C的方程联立，结合斜率坐标公式求解作答.

【详解】（1）如图，设动圆圆心，令圆截y轴所得弦为，有，

当不在轴上时，过作交于，则是的中点，

于是，化简得，

当在轴上时，动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4，

则与原点重合，即点也满足方程，

所以动圆圆心的轨迹的方程为.

（2）设直线的方程为，

由直线与的倾斜角互补，知直线与的斜率存在，并且互为相反数，

则，因此，

由消去x并整理得，有，

于是，即.

所以

.

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为．解不等式．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对函数求导，然后对参数分类讨论，注意讨论正负以及与的关系。然后根据导数判断函数的单调性；

（2）由（1）知，的范围是且，，题目转化为求解，构造函数，然后结合函数的单调性以及特殊值，从而解得不等式的解集；

【详解】（1）定义域：，

1° 时，

令，解得；令，解得；

所以在上单调递增，在上单调递减；

2° 时

①当时，即时，

令，解得或；令，解得；

所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增；

②当时，即时，

恒成立，所以在上单调递增；

③当时，即时，

令，解得或；令，解得；

所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．

综上所述：

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增．

（2）由（1）知：且，

且

即：解不等式；（且）

等价于解不等式：

令，

，

所以在单调递增，

且，所以，

即不等式的解集为．

22．航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和．

(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数；

(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过6，求的最大值．

（附：，，，，，若，则，）

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据题意结合正态分布可得，再结合二项分布运算求解；

（2）根据题意求分布列，根据期望公式结合错位相减法求得，根据题中数据和单调性分析求解.

【详解】（1）由题意，全市高中生航天创新知识竞赛成绩X近似服从正态分布，

则，，即，，

且，

即，

设该市4万名高中生中航天创新知识竞赛成绩位于区间的人数为，

则，可得，

所以该市4万名高中生中航天创新知识竞赛成绩位于区间的人数约为（人）.

（2）由,

可知任意抽取一人，等级为优秀的概率，

设抽取次数为，则的分布列如下：

故，

又，

两式相减得：，

所以，

而在时递增，

结合，，，，

可知：当时，；当时，；当时，；

如果抽取次数的期望值不超过6，所以n的最大值为6．

【点睛】关键点睛：本题求期望时应借助于错位相减法运算求解.