2023届湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三下学期入学考试数学试题含答案

这是一份2023届湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三下学期入学考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三下学期入学考试数学试题 一、单选题1．已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据题意，由条件可得复数表示以为圆心，2为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得到结果.【详解】设，∵，∴，表示以为圆心，2为半径的圆，∴，表示圆上的点到点的距离，∴的最小值为.故选：A.2．已知，，，则的大小关系是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，找到中间值和进行辅助判断.【详解】根据指数函数在上递增可得，；根据对数函数在上递增可得，，根据指数函数在上递减和值域可得，，∴.故选：D3．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若方程表示双曲线，则，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选：B.4．直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，即可得到当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，再由勾股定理即可得到结果.【详解】圆C：的圆心，半径为2，由直线l：为，∴直线l过定点，又，∴P在圆C内部，当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，∵，∴弦AB长的最小值为.故选：C.5．a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①，，则；②若，，则；③，，则；④若，，则；⑤若，，则；⑥若，，则.其中真命题的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据空间中线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理判断即可.【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤，，则或，所以⑤不正确；⑥，，则或，所以⑥不正确；故选：C.6．甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（　　）元.A．700 B．600 C．200 D．100【答案】D【分析】根据题意，先计算得到甲应得奖金的期望，从而得到乙应得奖金.【详解】设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3中情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为，∴甲赢的概率为，∴，则乙应得奖金，故选：D.7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A． 8．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据图象可得：，，，.，则.令，，求函数的值域，即可得出结果.【详解】画出函数的大致图象如下：根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，则，，，.，，，则.令，，而函数在单调递增，所以，则.故选：A.【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题. 二、多选题9．已知正数x，y，z满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.【详解】解：设，，则，，，所以，A正确；因为，则，因为，则，所以，B正确；因为，则，D正确.因为，则，所以，C错误.故选：ABD.10．已知数列的前项和，则（    ）A． B．不是等差数列C．数列中最小 D．【答案】BD【分析】根据求出数列的通项公式，即可判断A、B、C，再根据数列的特征计算D；【详解】解：因为，当时，当时，所以，显然当时不成立，所以，所以从第二项起以为公差的等差数列，故数列不是等差数列，即A错误，B正确；从第二项起为递增的等差数列，又，所以为数列的最小项，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：BD11．下列说法正确的是（    ）A．直线的倾斜角为B．存在使得直与直线垂直C．对于任意，直线与圆相交D．若直线过第一象限，则【答案】ABC【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.【详解】对于A：∵，∴，∴，故A正确；对于B：时符合题意，故B正确；对于C：化简得：∴，解得∴直线过定点，又∵∴该定点在圆内，∴直线与圆相交，故C正确；对于D：当此时直线为，经过第一象限，此时，故D错误．故选：ABC．12．已知四面体ABCD中，，，，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，，有下列结论正确的是（　　）A．该四面体的外接球的表面积为B．该四面体的体积为10C．D．【答案】AD【分析】将四面体补形为长方体，结合长方体的外接球以及棱锥的体积公式即可判断AB，由，，分别等同于长方体的体的体对角线AE与面对角线AB，AC，AD所成的角即可判断C，由，，为三角形的三个内角，即可判断D.【详解】依题意，把四面体补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，，，解得，，；由于四面体的外接球就是长方体的外接球，所以球的半径，可得该四面体的外接球的表面积为，故A正确；该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积，则，故B错误；四面体的外接球的球心O是长方体体对角线的中点，则，，分别等同于长方体的体的体对角线AE与面对角线AB，AC，AD所成的角，则，即，故C错误；，，是边长为5，，的三角形的三个内角，故，故D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知集合，，若，则______．【答案】【分析】由两个集合相等，结合集合元素的特征，分析可得，即可计算出答案.【详解】因为集合，且,所以，所以即，此时，，所以即，根据集合元素的互异性，所以，所以.故答案为：.14．函数的部分图像如图所示，则 ______ .【答案】2.【解析】由正切函数性质求得两点的坐标，然后计算数量积．【详解】，，，，最小的正整数为，，，，，，最小的正整数为，，，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是由正切函数性质求出两点坐标，然后计算．15．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．【答案】8【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.【解析】导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．  四、双空题16．设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，直线与相交于点.若，且的面积为，则直线的斜率___________，抛物线的方程为___________.【答案】          【分析】根据，的坐标得到，根据∥轴，和得到四边形为平行四边形，再结合抛物线的定义得到点的坐标，利用列方程，解方程得到，即可得到抛物线方程，最后利用坐标求斜率即可.【详解】如图所示，，，所以，∵轴，，，∴，所以四边形为平行四边形，∴，，∴解得，代入可取，∴解得，∴， ∴.故答案为：；. 五、解答题17．已知函数．(1)求函数的最小正周期及单调增区间；(2)设的内角的对边分别为，若，，且的面积为，求的值．【答案】(1)增区间为，最小正周期为；(2)或. 【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间；（2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得结果.【详解】（1），所以最小正周期；由，得函数的增区间为（2）由得，∴，∵，∴，∴，∴，，①由余弦定理，∴，②由①②解得或18．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；（ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；(2)用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．【答案】(1)（ⅰ）；（ii）分布列见解析,；(2)月份. 【分析】（1）（ⅰ）根据已知条件写出基本事件的个数，再利用古典概型的计算公式即可求解；（ii）根据已知条件写出随机变量的取值求出对应的概率，进而得出分布列，根据分布列及数学期望的公式即可求解；（2）根据已知条件求出，结合某年12个月的非制造业PMI值趋势图即可求解.【详解】（1）（ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有，共有10个，设“组内三个PMI值至少有一个低于50．0”为事件，则事件包含的结果有共4个，由古典概型的计算公式，得（ii）的可能取值为，，，.的分布列为所以随机变量的数学期望.（2）月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可知当时，取得最大值为.19．已知数列是等比数列，且公比，．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，且前n项和为，求的表达式；（3）设由（2）中及构成函数，，求的最小值与最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据已知求出公比即可得出通项公式；（2）利用分组求和法即可求出；（3）化简得出，根据通项公式即可求出最值.【详解】（1）由题可得，，，；（2），；（3），所以当时，有最小值，当时，有最大值.20．如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.(1)求证：；(2)与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线平行，先证平面即可.（2）用向量法求二面角.【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，所以，由等腰梯形知，设，则，，故，即得，所以，因为平面平面，，平面平面，平面PAD，所以平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由（1）得，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，因为平面，所以平面所成的角为，设，则，，则，，，，则，，，设平面PAB的法向量为，则，即   ，取，则，设平面PBC的法向量为，则，即，取，则，所以，所以二面角的余弦值为.21．已知椭圆C：的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由椭圆的相关概念及离心率求解即可；（2）设出动点P的坐标，求出切线方程，联立方程组由求解即可（注意分类讨论）.【详解】（1）由题意可知，解得，，∵，∴椭圆C的标准方程为；（2）设点，①当两条切线斜率均存在时，设其中一条切线为，另一条为，联立方程，消去y得，∴，即，则，是方程的两个不等实根，∴，又∵两条切线相互垂直，∴，∴，整理得，即点P的轨迹方程为，②当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为，把点代入亦成立，综上所述，点P的轨迹方程为：.22．已知函数，其中函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最大值；（3）当时，对于给定的正整数，问：函数是否有零点？请说明理由.（参考数据，，，）【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数无零点；当时，函数有零点，理由见解析.【分析】（1）由导数可得切线斜率，进而由点斜式即可得切线方程；（2）先求得，可得或，再比较和的大小，利用函数单调性可得最大值；（3）先证明，函数无零点，构造，，利用可证得，，函数有零点，利用零点存在性定理即可证得.【详解】（1），故，，∴切线方程为，即.（2），，可得或.①，即时，在上递减，在上递增，∴；②，即时，在上递增，递减，在上递增，∴；综上所述，；（3），函数无零点，，函数有零点.理由如下：时，证明即可，即证明.令，，而，令，解得：，令，解得：，∴，，令，解得：，令，解得：，故，∴，故命题得证.当时，，，，所以，函数有零点.【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求函数的最值，第二问分两种情况讨论是本题的难点，通过构造，，是解题的关键，属于难题.