2024届江苏省南京师范大学苏州实验学校高三上学期7月阶段性调研数学试题含答案

这是一份2024届江苏省南京师范大学苏州实验学校高三上学期7月阶段性调研数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届江苏省南京师范大学苏州实验学校高三上学期7月阶段性调研数学试题

一、单选题
1．已知集合，集合，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
因此，.
故选：B.
2．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（    ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】根据所有项的系数之和求解，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项.
【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴
，展开式第项，
时，，，
时，，，，
故选：B．
3．已知，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用诱导公式化简整理，可求得的值，将所求改写成，上下同除，即可得结果.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以.
故选：A
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，
当时，函数且，图象如选项B中的图象；
当时，若时，函数，可得，
函数在区间单调递增，此时选项C符合题意；
当时，若时，可得，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以选项D符合题意.
故选：A.
5．已知函数，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】首先判断出函数的单调性与的大小，根据函数的单调性即可比较出大小.
【详解】由，且，故；
，，故，
又因为函数在上单调递减，所以，
故选：C
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，比较指数与对数的大小，利用函数的单调性比较函数值的大小，
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（    ）（参考数据：，）
A．4．1小时 B．4．2小时 C．4．3小时 D．4．4小时
【答案】B
【解析】由题意知经过小时，血液中的酒精含量为，则，解不等式即可.
【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时，
故选：B．
【点晴】关键点点晴：实际问题，关键是读懂题意抽象出具体函数.
7．已知函数，则不正确的是（    ）
A．若点可能是曲线的对称中心，则，
B．一定有两个极值点
C．函数可能在上单调递增
D．直线可能是曲线的切线
【答案】C
【分析】根据函数的对称性和导数确定单调性和极值点，导数的几何意义即可求解.
【详解】，
若点可能是曲线的对称中心，
则有恒成立，
所以恒成立，
所以，，
故选项A正确；
因为，
所以，
所以，
所以有两个变号零点，不妨假设为且，
x












↗
极大值
↘
极小值
↗
所以一定有两个极值点，
故选项B正确；
，
所以有两根，不妨假设为且
所以在区间函数单调递增，在函数单调递减，在函数单调递增，
故选项C错误；
设切点为，则有
，
解得或
故直线可能是曲线的切线，
故D选项正确.
故选：C.
8．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.

二、多选题
9．给出下列命题，其中正确命题为（    ）.
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4
B．回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系
C．随机变量服从正态分布，，则
D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好
【答案】BD
【分析】根据线性变化后新旧数据方差的关系，线性回归方程的性质，正态分布，相关指数与拟合度的关系判断各选项．
【详解】A、若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故A错误；
B、回归方程为，可知，则变量与具有负的线性相关关系，B正确；
C、随机变量服从正态分布，，根据正态分布的对称性，所以，∴C错误；
D、相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查线性变化后新旧数据方差的关系，回归方程与正负相关性，正态分布的概率，相关指数与拟合程度关系，掌握相应的概念，方法即可求解，属于基础题．
10．若函数（，，）的部分图象如图，则（    ）

A．是以为周期的周期函数
B．的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数
C．在上单调递减
D．的图象的对称中心为，
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象得到，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，向左平移后得到，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据的图象的对称中心为，即可判断D错误.
【详解】由题图可知，因为当时，，所以.
因为，所以，所以.
由题图可知，所以，所以.
由题图可知，当时，取得最大值，
所以，，解得，.
又，所以，所以.
对于A，，则A正确.
对于B，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
此函数不是奇函数，故B错误.
对选项C，，则，
所以在上单调递减，故C正确.
对选项D，，，得，，
所以的图象的对称中心为，，则D错误.
故选：AC.
11．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（    ）
A． B．必为奇函数
C． D．若，则
【答案】BCD
【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.
【详解】对于A，令，则由可得，
故或，故A错误；
对于B，当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，B正确；
对于C，令 ，则，故.
由于,令,即，即有，故C正确；
对于D，若，令 ，则，则 ，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，

由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故D正确，
故选：BCD.
12．对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得，，
易知，则，，
则在有解，
求导得：，令，解得，可得下表：










极大值

则当时，取得最大值为，
，
则的取值范围为，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以的值可以是，，.
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

三、填空题
13．设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的横坐标为 ．
【答案】
【详解】，，则，
则，得．
点睛：本题考查导数的应用．本题中，考查导数的切线应用，导数的几何意义就是切线的斜率，所以求得，则由题可知，解得．
14．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有 种不同的坐法.
【答案】480
【分析】先排甲、乙、丙、丁4人就坐，根据甲、乙两人都在丙的同侧，由丙四个位置讨论排法，再根据有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，然后利用分步计数原理求解.
【详解】先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1，2，3，4号位置，
因为甲、乙两人都在丙的同侧，
当丙在1号位置有种排法，当丙在2号位置有种排法，
当丙在3号位置有种排法，当丙在4号位置有种排法，共有16种排法；
又因为有且仅有两个空位相邻，
将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有种排法，
所以共有种排法，
故答案为：480
15．2020年9月1日至23日（日代码分别为1，2，…，23），某餐馆在区域内投放广告单数量（万张）与日代码的数据符合回归方程，则 （精确到小数点后两位）.参考数据：，.
【答案】0.29
【分析】对取对数，得，所以与为线性相关关系，利用线性回归方程过中心点可得结论．
【详解】对取对数，得，所以与为线性相关关系.因为，
所以，
所以，所以.
故答案为：0.29．
16．已知函数，若存在实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作出的图像，数形结合，可得，确定，从而化简可得则，由此可构造函数，利用导数求其最小值，即可得答案.
【详解】因为，故作出图象如图：
    
由图象可知存在实数，满足，
则，则
，
结合图象可知，即，故，
设，其中，
则，
令，则，
即在上单调递增，而，
当时，，当时，，
故在单调递减，在上单调递增，
故，
所以的最小值为，
故答案为：
方法点睛：由于已知，故作出其图像，数形结合，可得，从而化简可得则，由此可构造函数，利用导数解决问题.

四、解答题
17．（1）已知，且，求；
（2）化简：.
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得 ，,将化为,即可利用两角差的正弦公式求得答案;
（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.
【详解】（1），,
又 ， ,
，,
  
;
（2）
.
18．对于二项式：
(1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；
（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可.
【详解】（1）解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得，
则展开式通项为
，
令，解得，代入通项有：
，所以的系数为；
（2）二项式通项为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，
所以展开式有9项，中间一项为.
19．已知函数，其中，函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值-2．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调递增区间；
（3）若函数在内的值域为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由给定条件依次求出的周期，，初相及A即可得解；
(2)根据给定变换求出函数的解析式，即可求出其单调递增区间；
(3)根据函数定义域与值域的关系即可求出参数m的取值范围.
【详解】(1)函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，设周期为T，则，即，因此，，
因在处取到最小值-2，则，而，则，，
所以函数的解析式是；
(2)由(1)知：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到，
再将所得图象向左平移个单位，到函数的图象，
由得：，
所以函数的单调递增区间为；
(3)由(2)知，由于，则有，
因函数的值域为，而，，显然在上单调递减，则有，
当时，，于是有在上单调递增，又，则，即，
从而得，解得，综上得：，
所以的取值范围为．
20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：


.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
21．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.
（1）当时，
（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）最小值为.
【分析】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，分别求得的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；
（ii）求得甲答对某道题的概率为，得到，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；
（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，求得， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.
【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，
则，所以.
（ii）随机变量X可取，甲答对某道题的概率为，
则，则，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





则.
（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，
其中甲答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为
则，，
，，
所以甲答对题数比乙多的概率为


解得，即甲的亲友团助力的概率P的最小值为.
【点睛】方法点拨：记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”， 分别求得，，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)若，且，证明：.
【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）先求定义域，然后对进行分类讨论，求解不同情况下的单调区间；（2）在第一问的基础上，讨论实数的取值，保证函数有两个不同的零点，根据函数单调性及极值列出不等式，求出时满足题意，再证明充分性即可；（3）设，对题干条件变形，构造函数对不等式进行证明.
【详解】（1）函数定义域为，
，

①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为
②当时，，解得，当时，，
函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
函数至多有一个零点，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，，
又函数有两个零点，
又，使得，
又，设
函数在上单调递减，，
，使得，
综上可知，为所求.
（3）依题意，是函数的两个零点，
设，因为，
，，
不等式，
，所证不等式即
设，
在上是增函数，且，
所以在上是增函数，且，
即，从而所证不等式成立.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.