2023届江苏省扬州中学高三下学期阶段测试数学试题含答案

2023届江苏省扬州中学高三下学期阶段测试数学试题

一、单选题

1．设x，，集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集结果解指数方程，求出，进而求出，求出并集.

【详解】由于，所以，解得：，所以，所以，，所以

故选：C

2．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的几何意义结合图象可得.

【详解】

如图，由题意可知，与轴夹角为，

绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，

所以的坐标为，所以对应的复数为.

故选：A.

3．已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，若，则

C．若，、分别与、所成的角相等，则

D．若m//α，m//β，，则

【答案】B

【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项.

【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；

对于B，因为，，，且，，则，

因为，，则，故，B正确；

对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，，，则与相交，D错误.

故选：B.

4．已知，与是方程的两个根，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】先求出+和的值,确定 、的符号，进而可以缩小α、β 的围，再根据两角和的正切公式求出的值求出答案.

【详解】∵ 与是方程的两个根，

∴+，

∴，，∴，∴，

∵，又

∴.

故选: C

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件进行合理的拆角，如等．

5．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（    ）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)

A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3

【答案】B

【分析】根据已知条件得到关于m,a的方程组，求得m,a的值，进而得到函数的关系式，根据要求得到关于t的指数方程，利用指数与对数之间的转化化为对数式，利用对数的运算法则计算即得.

【详解】由题思可得：，

解得，，

所以.

令，可得，

两边同时取对数，

故小时，

故选：B.

6．若，则被8整除的余数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．

【详解】在已知等式中，取得，

取得，

两式相减得，

即，

因为

因为能被8整除，

所以被8整除的余数为5，

即被8整除的余数为5，

故选：B.

7．已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（    ）

A．1 B． C．1或 D．或

【答案】B

【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出点的位置为斜率为的直线和抛物线的切点时面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.

【详解】

不妨设，由题可得无解，

否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，

故，解得.

由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.

令，不妨，则，

又点到直线的距离为，

则，解得（舍去）.

故选：B

8．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.

【详解】作出与的图象，如图，

当时，设与相切于点，

则，解得，所以，

由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点.；

当时，设与相切于点，

由可知，，

解得或（舍去），此时，而，

由图象知，当时，与有3个交点.

综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根.

故选：A

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．对于事件A，B，若，且，，则

B．若随机变量，，则

C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强

D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差

【答案】ACD

【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.

【详解】对于A，由于，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义，正确；

对于B，根据正态分布密度函数的性质知，

，错误；

对于C，根据相关系数的性质知：约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；

对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；

故选：ACD.

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.

【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；

若为①，则有 ，即；

若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；

，并且，，即是递减的正数列， A错误；

所以，B正确；

，即对任意的n都成立，C错误；

当时，，当时，，是的最大值，D正确；

故选：BD.

11．已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】利用辅助角公式化简函数并求出，再借助函数的单调区间列式求解作答.

【详解】依题意，，于是，

当时，，

当在上单调递增时，，

即，解得，不存在整数使得取得ABCD选项中的值；

当在上单调递减时，，

即，解得，

当时，，CD符合，不存在整数使得取得AB选项中的值.

故选：CD

12．下列说法正确的是（    ）

A．若事件互斥，，则

B．若事件相互独立，，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率以及全概率公式可判断.

【详解】对于A：，正确；

对于B：，正确；

对于C：，，

所以，解得正确；

对于D：由C得，D错误，

故选：ABC.

三、填空题

13．已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是__________．

【答案】且

【详解】由平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数）可得可作为一组基底，即不共线，则得且，故答案为且.

14．已知数列的项数为，且，则的前n项和为_______．

【答案】

【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解.

【详解】因为，又，

所以

又因为，

所以，即.

故答案为：.

15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）

【答案】24

【分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数为，问题得解．

【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男教师只有、、、共4种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，故该6名教师的节目不同的编排顺序共有种.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题．

16．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.

【答案】/

【分析】根据给定的条件，画出4个球的外接球的示意图，根据图中的几何关系求解.

【详解】  

如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N，

由题意，，

半球形容器的球心为O，

显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A，

连接ON，则小球的半径=2，

球O的半径；

故答案为：.

四、解答题

17．已知的内角的对边分别为，面积为 ，满足．

(1)证明：；

(2)是否存在正整数m，n，使得和同时成立．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，，

【分析】（1）由三角形的面积公式，化简得到，求得，结合正弦定理，即可求解；

（2）假设存在正整数，使得和同时成立，结合正弦、余弦定理，化简得到，鸡儿得到，结合为均为正整数，求得的值，即可求解.

【详解】（1）解：由，即，

因为，可得，所以，

即，即，

又因为，所以，

又由正弦定理，可得．

（2）解：假设存在正整数，使得和同时成立．

所以，即，

化简整理可得，

因为，，所以，即

又因为均为正整数，所以，．

故存在，使得和同时成立

18．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明

(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.

【详解】（1）点在函数的图象上，，

是“平方递推数列”．                        

因为，

对两边同时取对数得，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，                             

由数列的通项公式得，

当时，；当时，．

又由，得                 

当且时，；                          

当且时，

，                                   

综上，

19．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.

(1)求的最小值；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的，并利用垂径定理得到最小值；

（2）在第一问基础上，得到当取得最小值时，，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

【详解】（1）过点作交于点，过点H作⊥，

此时满足平面，由平面几何知识易知，，

当弦心距最大时，，弦长最短，即取得最小值，

因为，

所以，

因为，由勾股定理得，

故，

连接，则，由勾股定理得，

所以；

（2）连接，则平面ACB，

因为平面ACB，故，而，，

所以平面，即有.

以O为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，则，

令，则，故，

设直线与平面所成角的大小为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.

(1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.

①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；

②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；

(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.

附：

①随机变量服从正态分布，则，，

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生

【答案】(1)①；②答案见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）（i）由正太分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；

（2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.

【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量

由已知结论可知，

由附①数据知，

（ii），由附②知，事件“”为小概率事件，

由题25个面包质量的平均值，

小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报

（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2

设“所取两个面包来自第箱”，所以

设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式

，

，

，

所以黑色面包个数的分布列为

所以

21．已知定义在上的函数．

(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；

(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求k的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；

（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.

【详解】（1）∵，

∴，∴，

∴切线方程为，

令，可得，令，可得，

∴，

∴；

（2）∵．

当时．，

由函数在区间上递增，且值域为，

∴存在唯一时，使得，

此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，

此时，，

同理，当时，使得，满足，

当时，使得，满足，

∴．

∵，代入可得．

又，即，

∴当时，，

当时，，

∴，整理得，此时数列为常数列，

又当，可得，不成立，

∴可知，此时．

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.

22．在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点的距离的5.

(1)求抛物线方程及点的坐标.

(2)过点的直线交于两点，延长，分别交抛物线于两点.令，，，，求的最小值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据抛物线定义列式得的值，即可得抛物线方程及点的坐标；

（2）设，，，，分别表示、，根据，得，代入，利用基本不等式求解．

【详解】（1）已知抛物线上的点到焦点的距离的5

所以，解得，故抛物线方程为，

所以，则，所以点的坐标为；

（2）设，，，，，

由于A，F，M三点共线，故，即，

同理B，F，N三点共线，，故直线的方程为：，

即，，，

由得，所以，，

所以直线的方程为：，即，直线恒过定点，

注意到，所以，设，，则：

，

，

因此，所以的最小值为，此时.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．