2023届江苏省南通市通州高级中学高三上学期第一次阶段性测试数学试题含答案

2023届江苏省南通市通州高级中学高三上学期第一次阶段性测试数学试题

一、单选题

1．已知集合则A∩B= （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数定义域得到集合A，利用基本不等式得到集合B，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】由题得，

，

，当且仅当，即时等号成立.

所以.

所以A∩B=.

故选：B

2．已知复数和共轭复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，，根据复数代数形式的加减运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得、，即可得解.

【详解】设，，则，

则，

所以，解得，因此．

故选：C．

3．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和特殊值的思路判断即可.

【详解】根据函数图象可得函数为偶函数，

A选项，

B选项，所以AB选项为奇函数，

故AB选项不正确；

根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.

故选：D.

4．若，则（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】利用差角公式得到即可求出，再利用二倍角公式同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.

【详解】因为，即，

即，解得，

所以

.

故选：A

5．命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．

【详解】命题”为假命题，命题“，”为真命题，

当时，成立，

当时，，故方程的解得：，

故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意.

故选：B

6．若函数是偶函数，则的最小值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.

【详解】由为偶函数可得，即，

所以．

因为，且，，所以，

所以，

则，当且仅当，即时，取最小值4．

故选：A

7．已知函数与的图象交于点P，过点P作轴的平行线，该直线与函数的图象交于点Q，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，根据求出，结合求出，计算即可.

【详解】由题意知，设点，，

因为函数与函数图象交于点P，

所以，即，

又，有，

解得或(舍去)，所以，

由，得.

又直线轴，且与函数交于点Q，

则，

所以.

故选：A.

8．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.

【详解】解：，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

即，

所以，

即，所以，

由，得，

由，得，

，

因为，

所以，所以，

所以，即，

所以，

综上所述.

故选：A.

【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.

二、多选题

9．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ）.

A．函数的最小正周期是

B．函数在区间上是减函数

C．函数的图象关于直线对称:

D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

【答案】BC

【分析】先将化简为，再逐个选项判断即可．

【详解】

A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；

B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；

C选项，因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确；

D选项，设，则，结论错误．

故选：BC．

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.

10．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有（    ）

A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0

C．当d＞0时，a10+a22＞0 D．当d＜0时，|a10|＞|a22|

【答案】BC

【分析】根据等差数列前n项和公式，结合二次函数的性质、等差数列的通项公式逐一判断即可.

【详解】∵d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，S10＝S20，

∴10a120a1d，

解得a1＝﹣14.5d，

Sn＝na114.5nd（n﹣15）2，

当d＞0时，当n＝15时，Sn取最小值；当d＜0时，当n＝15时，Sn取最大值，故A错误；

当n＝30时，Sn（n﹣15）20，故B正确；

当d＞0时，a10+a22＝2a1+30d＝d＞0，故C正确；

当d＜0时，|a10|＝|a1+9d|＝﹣5.5d，

|a22|＝|a1+21d|＝﹣6.5d，

∴当d＜0时，|a10|＜|a22|，故D错误．

故选：BC．

11．在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则

B．若向量在向量上的投影向量是，则

C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是

D．若，则的值为

【答案】AC

【分析】由向量线性运算可利用表示出，知A正确；由投影向量定义可求得向量在上的投影向量为，知B错误；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可知C正确；设，根据可求得的值，进而得到，知D错误.

【详解】对于A，若，则为中点，

，A正确；

对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，

则向量在上的投影向量为，，B错误；

对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，，

，C正确；

对于D，由题意知：，，，

设，，，

，解得：，，，

，即，D错误.

故选：AC.

12．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为

B．平面

C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是

D．异面直线与所成的角的余弦值为

【答案】ABC

【分析】对于A直接计算即可；对于B,D选项以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量计算即可；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，计算面积即可.

【详解】

对于A，，故A正确；

对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，

则，，，，，，

则平面EFG，B正确；

对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；

对于D，，，，故D错误．

故选:ABC.

三、填空题

13．已知向量，，且，则实数__．

【答案】

【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为，，所以，

，

因为，所以，解得.

故答案为：

14．写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．

①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据条件①②可令函数为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，再验证单调性作答.

【详解】因为是上偶函数，且在上恰有三个零点，于是的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0，

不妨令，显然是上偶函数，且有3个零点分别为，

求导得，当时，恒成立，因此函数在上单调递增，

所以函数符合题意.

故答案为：

15．已知中有且仅有一个元素，则的最小值为______．

【答案】/

【分析】根据已知求出，化简，再换元利用基本不等式求解.

【详解】由于有且仅有一个元素，

所以. 所以.

所以,

设，

所以.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．记表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则，10的正因数有1，2，5，10，则，记，______； ______．

【答案】     5    

【分析】当n为奇数时，R（n）＝n，当n为偶数时，，再利用等差等比数列的前n项和公式及累加法求解．

【详解】当n为奇数时，R（n）＝n，当n为偶数时，，

，

，

∴．

．n=1成立

故答案为：（1）5（2）.

五、解答题

17．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答.

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出，即可求出角的值；选择条件③，根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出，从而可求出角的值；

（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出，，再根据三角形面积公式化简得出，由为锐角三角形，求出角的范围，从而得出的面积的取值范围.

【详解】解：（1）选①，

由正弦定理得：，

∴，

∵，∴，∴，

∵，∴；

选②，

∴，

∴，

∵，∴，则，

∴；

选③，

得，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，∴.

（2）已知为锐角三角形，且，

由正弦定理得：，

∴，，

∴，

∵为锐角三角形，

∴，

∴，∴.

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.

18．已知数列中，，满足，设为数列的前项和．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，公比为的等比数列，即可求出其通项公式；

（2）利用分组求和法求出，依题意可得对于任意正整数恒成立，参变分离可得，令，求出，即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以是以为首项，公比为的等比数列，

所以，所以．

（2）因为，

所以

，

若对于恒成立，即，

可得即对于任意正整数恒成立，

所以，令，则，

所以，可得，所以，

所以的取值范围为．

19．已知函数在上的最小值为．

(1)求a的值；

(2)若函数有3个零点，求实数b的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求导，再对分四种讨论，求出函数的单调性即得解；

（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.

【详解】（1）由,,            

当时,在上恒大于等于0,所以在上单调递增,

,不合题意；

当时,则时,,单调递减；时,,单调递增,所以,,

所以,不满足；

当时,在上,且不恒为0,所以在上单调递减,

,适合题意；

当时,在上,,所以在上单调递减,

,所以,不满足；

综上,．

（2）由（1）,所以,

令,则,            

所以,且当时,；当时,；当时,,

所以极小值为,

极大值为,      

如图：

当时,函数有3个零点．

20．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD

(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，

因为E，F分别为PA，BC的中点，

所以，

又底面ABCD为菱形，所以，

所以，

所以四边形EGCF为平行四边形，

所以

又平面PCD．平面PCD，

所以EF//平面PCD．

（2）解：连接，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为四边形ABCD为菱形，，

所以为等边三角形，

因为F为BC的中点，

所以，

因为∥，

所以，

所以两两垂直，

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．

因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），

则．

设平面DEF的法向量，则

，令，得．

设直线AF与平面DEF所成的角为θ，

则，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为

21．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；

(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)存在，2

【分析】（1）根据题意可得，，即可求解的值，进而得到双曲线方程；

（2）设直线的方程及点的坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，得到的值，进而得到点的坐标，计算的值即可；

（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得，再证明对直线存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即，，即可求解.

【详解】（1）解：由题可知：

∵，∴c＝2

∵，∴，

∴双曲线C的方程为：

（2）证明：设直线的方程为：，另设：，，

∴，

∴，

又直线的方程为，代入,

同理，直线的方程为，代入,

∴，

∴

,

故为定值.

（3）解：当直线的方程为时，解得，

易知此时为等腰直角三角形，其中 ，

即，也即：，

下证：对直线存在斜率的情形也成立，

，

∵，

∴，

∴，

∴结合正切函数在上的图像可知，，

22．已知函数.

(1)当时，证明：：

(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用导数求函数的最大值，由此证明，再证明；

(2)由条件可得在上恒成立，化简可得在上恒成立，利用导数求的最小值可得的取值范围.

【详解】（1）当时，，

要证，即证，

设，

令，解得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

则，

所以，即成立，

所以成立.

（2）由已知可得，所以

因为对任意的在上单调递减，所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上为增函数，

又因为，

所以，使得，即，

当时，，可得，所以在上单调递减；

当时，，可得，所以在上单调递增，

所以，

由，可得，

又由，所以在上单调递增，

所以，可得，所以，即，

所以，

即得.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．