2023届四川省江油中学高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题含答案

2023届四川省江油中学高三上学期第一次阶段考试数学（理）试题

一、单选题

1．若隻合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求集合，再由并集运算求解即可.

【详解】，

=，则.

故选：D.

2．下列四个命题中真命题的个数是（    ）

①“x=1”是“”的充分不必要条件；

②命题“，”的否定是“，”；

③命题p：，，命题q：，，则为真命题；

④“若，则为偶函数”的否命题为真命题.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】①由解得或，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p为真命题，命题q为假命题，则为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值，代入判断．

【详解】①，则或

“”是“或” 的充分不必要条件，①为真命题；

②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；

③命题p：，，命题p为真命题，

，命题q为假命题，

则为假命题，③为假命题；

④“若，则为偶函数”的否命题为“若，则不是偶函数”

若，则为偶函数，④为假命题

故选：C．

3．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．的图象关于点对称 D．在上单调递增

【答案】D

【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.

【详解】依题意，，则的最小正周期为，A不正确；

因为，则直线不是的图象的对称轴，B不正确；

因为，则点不是的图象的对称中心，C不正确；

当时，，则在上单调递增，D正确.

故选：D

4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.

【详解】

由题意，已知条件等价为在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

在上单调递减，，

，

的取值范围是.

故选：B.

5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接，

因为是的中点，

所以，

又，所以三点共线，

即，

又，

所以，

则，故，

所以.

故选：B.

6．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设，则，故排除D.

故选：A.

7．已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设， ，，，在同一坐标系中作出函数 的图象，可得答案.

【详解】设， ，，

在同一坐标系中作出函数 的图象，如图

为函数的交点的横坐标

为函数的交点的横坐标

为函数的交点的横坐标

根据图像可得：

故选：D

8．当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

9．已知，且，成立的充分而不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】当时，在为单调递增函数，则恒成立，

当时，在为单调递减函数，

由，可得，解得，

综上使成立a的范围是，

由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，

所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，

分析选项可得，只有A符合题意，

故选：A

10．已知函数若，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.

【详解】由题意知，

，

又，所以，

所以，

解得.

故选：C

11．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（    ）

A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）

【答案】A

【分析】根据定义在R上的偶函数满足可得的周期，构造函数，再将转化为关于的不等式，根据得到的单调性再求解即可

【详解】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得

故选：A

12．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.

【详解】依题意得，

，即，，

，即，，

，

，

又，

同构函数：，，

则，

又，

，，，又，

，单调递增，

，

.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

（1）函数零点即为函数的取值；

（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；

（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；

（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14．若，，则tanα＝          ．

【答案】/

【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，．

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

解得，

所以，

所以．

故答案为：．

15．函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则的值为            .

【答案】

【分析】由，得到，根据的在上单调递增，得到，从而得到的范围，再根据图象关于直线对称，表示出，从而得到的值.

【详解】因为，所以，

因为函数在上单调递增，

所以

即，解得且，

又，∴，即，

又函数的图象关于直线对称，

所以，得，

又，

所以取，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据正弦型函数的单调区间求参数的范围，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，属于中档题.

16．已知函数，函数，则下列结论正确的是          ．

①若有3个不同的零点，则a的取值范围是

②若有4个不同的零点，则a的取值范围是

③若有4个不同的零点，则

④若有4个不同的零点，则的取值范围是

【答案】②③④

【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像的交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案．

【详解】令，得，

即所以零点个数为函数与图像的交点个数，

作出函数图像如图，

由图可知，有3个不同的零点，

则的取值范围是，，故①错误；

有4个不同的零点，则的取值范围是，故②正确；

有4个不同的零点，，，，

此时，关于直线对称，所以，故③正确；

由③可知，所以，

由于有4个不同的零点，的取值范围是，

故，

所以，故④选项正确．

故答案为：②③④．

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将问题转化为函数与图像的交点个数问题，数形结合得出答案，考查等价转化的思想.

三、解答题

17．已知函数.

(1)若，求的极值.

(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域与导数导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）对参数分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值（最值），从而得到不等式，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：因为定义域为，

所以，

当时，，，令得

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）解：因为，

①若，当时恒成立，所以在上单调递增

要使方程在上有解，则

即 得 ，因为，所以.

②若，当时恒成立，所以在上单调递减，

此时不符合条件.

③若，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时，，要使方程在上有解，则需，

解得，所以.

综上可知，的取值范围为

18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）易知函数的定点M的坐标为，利用三角函数的定义则可求出，则可求出答案；

（2）利用诱导公式化简，再将，，代入，即可得出答案.

【详解】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，

∴角的终边经过点，

∴（O为坐标原点），

根据三角函数的定义可知，，

∴.

（2）.

19．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)若方程在上有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式将函数解析式化简，利用正弦函数的增区间求得函数的单调增区间；

（2）将问题转化为的图像与直线在区间上有交点，结合图像求得结果.

【详解】（1）由诱导公式，，令，解得，所以函数单调递增区间.

（2）由题意，函数在上有解，

即函数在有交点，

因为，可得，

所以

要使得函数在有交点，

如图所示，则.

20．已知函数为偶函数.

(1)求实数的值;

(2)解关于的不等式;

(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；

（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.

【详解】（1）函数的定义或为，

函数为偶函数.

，即 ，

，

；

（2），

当时，，单调递增，

在上单调递增，

又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

，

，

解得或，

所以所求不等式的解集为 ；

（3）函数与图象有个公共点，

，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

，

解得，即的取值范围为.

21．已知函数．

(1)证明：；

(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式；

（2），结合（1）中的结论再分和讨论即可.

【详解】（1），令，则．

∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．

又，

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∴．∴．

（2）．

由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．

（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

∴，即．

（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．

①当时，．当时，；

当时，；

当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

∴．不符合题意．

②当时，．当时，有恒成立，

故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．

③当时，．当时，；当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

∴．不符合题意．

综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可.

22．如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．

(1)当时，求点M的极坐标；

(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)（为参数，且）

【分析】（1）由题意得到点M的极角为，在中，利用正弦定理列出方程，求得的长，即可求解；

（2）求得的参数方程为，结合线段的中点N的坐标为，利用中点坐标公式，即可求解.

【详解】（1）解：由，，可得点M的极角为．

在等腰中，由正弦定理得，即．

所以，所以点M的极坐标为．

（2）解：由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，

其参数方程为（为参数，且）．

设线段的中点N的坐标为，

又由点，，

根据中点坐标公式可得 ，

所以点N的轨迹方程为（为参数，且）．

23．已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.