2022年四川省宜宾市中考数学真题（解析版）

这是一份2022年四川省宜宾市中考数学真题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

宜宾市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1. 4的平方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±2 ）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选A．
【点睛】本题主要考查平方根定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给几何体判断即可．
【详解】解：从正面看，所看到的图形是：


故选：D．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
3. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定D．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项符合题意；
B、(-a3)2=a6，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除法，同底数幂相除法，熟练掌握合并同类项、幂的乘方 、，同底数幂相除法、同底数幂相除法运算法则是解题的关键．
4. 某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 94，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，94
【答案】D
【解析】
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义以及众数的定义求解即可．
【详解】将这组数据从小到大重新排列为88，91，93，94，95，95，97，
∴这组数据的中位数为94，95出现了2次，次数最多，故众数为95
故选：D．
【点睛】本题主要考查中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
5. 如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（ ）

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE的周长等于AB＋AC．
【详解】∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以□AFDE的周长等于AB＋AC＝10．
故答案为B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
6. 2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．
【详解】解：亿－0.04亿=20.26亿=2026000000=2.026×109，
故选：D．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
7. 某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】设原计划每天完成x套桌凳，根据“提前3天完成任务”列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划每天完成x套桌凳，根据题意得，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意是解题的关键．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
10. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 0 B. －10 C. 3 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
11. 已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．
【详解】解：抛物线的图象与x轴交于点、，
设抛物线的解析式为

顶点坐标为，
,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，


解得
故选：A
【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．
12. 如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）


A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得， 根据即可判断④．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，，



故①正确；



四点共圆，


故②正确；
如图，过点作于,交的延长线于点，


,



，
,
设，则，，
则




AH∥CE，



则；
故③正确
如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，



，
当共线时，取得最小值，
此时

，
此时，
，，，
，
，
，
平分，
，
四点共圆，
，
又,，
，
则四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，
则，，
，
，
，
，
则，
，
，
，
故④不正确，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13. 分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
【详解】解：==x（x+2）（x﹣2）．
故答案为x（x+2）（x﹣2）．
14. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可．
【详解】解：，
解①得：x≤–1，
解②得：x>-4，
∴-4 故答案为：-4 【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题的关键．
15. 如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即
∵，，，
∴，
∴EF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
16. 《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴
解得






故答案为：
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
17. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．

【答案】289
【解析】
【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
18. 如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．


【答案】
【解析】
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图：


∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，
∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，
设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，
∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5，
∴OD=ON-DN=15-2x，
∴点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，
∵反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B，
∴x•x=(15-2x)( 2x-5)，
解得x=5(舍去)或x=3，
∴点B(3，)，
∴k= 9．
故答案为：9．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式

．
【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．
20. 已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．


【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
　　　

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【答案】（1）40人，见解析
（2）40 （3）
【解析】
【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图；
（2）根据的人数与总人数即可求解．
（3）用画树状图或列表的方法求概率即可求解．
【小问1详解】
九（1）班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：

【小问2详解】
，
∴，
【小问3详解】
（方法一）画树状图：

共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
（方法二）列表：

























共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
【点睛】本题考查是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
．
22. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）


【答案】
【解析】
【分析】根据，，设，则，根据勾股定理求得，又设，则，，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解．
【详解】解：在中，，，
设，则，由，
得，
解得：，
∴，
又设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
解得：，
∴．
∴东楼的高度约为40m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．
23. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C、D．若，．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；再通过比例关系解出点C的坐标，可得反比例函数表达式；
（2）过D作轴，垂足为点，联列方程组解出点D的坐标，再根据即可求出的面积．
【小问1详解】
在中，∵，
∴，
∵，∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点C作轴，垂足为E，则，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解方程组，得，
∴，
过D作轴，垂足为点
∵
∴

．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．
24. 如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．


（1）求证：DE是的切线；
（2）若点F是OA的中点，，，求EC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解．
【小问1详解】
证明：如图，连结OC，


∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴DE是的切线；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点F为AO中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．


（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】（1），顶点D的坐标为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
【小问2详解】
解：设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，


∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
【小问3详解】
解：由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．


在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．