2023届北京市中央民族大学附属中学高三适应性练习数学试题含答案

2023届北京市中央民族大学附属中学高三适应性练习数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集的定义计算即可.

【详解】由题意得.

故选：C

2．若复数z满足，则（    ）

A． B．5 C．7 D．25

【答案】B

【分析】计算出，利用复数模长的性质计算出答案.

【详解】，故，则.

故选：B

3．设a，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．

【详解】，，故A错；

，，即，可得，，故B错；

，，而，则，故C错；

，，，等号取不到，故D正确；

故选：D

4．设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可

【详解】∵函数是奇函数，在内是增函数，

∴在内也是增函数．

又，∴．

∵，

∴①当时，，∴；

②当时，，∴；

③当时，不等式的解集为．

综上，的解集为或．

故选：D．

5．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.

【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，

故C到的距离为，

故所求弦长为．

故选：C

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝

A．36 B．35 C．34 D．33

【答案】C

【详解】试题分析：由，得，，则；故选C．

【解析】的应用．

7．在中，若，则一定是（    ）

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】由余弦定理化简计算即可.

【详解】由及余弦定理得：，即.

故选：D

8．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；

【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；

故选：C

9．已知直线m，n及平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由充分条件与必要条件求解即可

【详解】由题意可知：

当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；

当时，成立，故必要性成立；

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

10．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在t使得成立，则k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数图象，结合函数的对称性将问题转化为与在内有交点，分离参数计算即可.

【详解】如图所示，作出函数与的图象，

易得两函数交点位于两侧，不妨设，

若存在t使得成立，即，

又关于对称，

故，

因为，所以，

即在有解，

则.

故选：B

二、填空题

11．在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为________．

【答案】16

【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和.

【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是16，

所以，故，

取可得二项式的展开式中各项系数和为，即16.

故答案为：16.

12．已知向量的夹角为，，则__________．

【答案】

【分析】利用条件，根据向量数量积的定义及模长的定义即可求出结果.

【详解】因为向量的夹角为，，

所以

所以，

故答案为：.

13．函数在的零点个数为________．

【答案】

【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．

【详解】［方法一］：【最优解】

由题可知，或

解得,或故有3个零点．

故答案为：．

方法二：

令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．

故答案为：．

【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；

方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．

三、双空题

14．已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为__________，此时点坐标为__________．

【答案】     3    

【分析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，由图形推断出当，，三点共线时最小，答案可得．

【详解】过点作垂直于准线，过作垂直于准线，，

取到最小值时，且为；

点与点的纵坐标相同，可设点为，，

则，解得，

所以点，．

故答案为： 3；

四、填空题

15．已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，．给出下列四个结论：

①；

②数列有最大值，无最小值；

③；

④存在，使得.

其中所有正确结论的序号是________．

【答案】①②④

【分析】赋值和即可求出；作差比较判断数列单调性可判断②；证明可判断③④.

【详解】令，则，所以，

令，得，

又，可解得，故①正确；

依题意有，，因为，所以，

所以，，由得，

所以，

因为随着的增大而增大，所以，所以，

即，所以随着的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，

且，故数列有最大值，无最小值，即②正确；

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，故③错误；

因为对任意恒成立，当且仅当时取等号，

故有，即④正确.

故答案为：①②④

五、解答题

16．已知函数，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的最小正周期；

(2)在区间上的最小值.

【答案】(1)选条件①；选条件②

(2)选条件①；选条件②

【分析】选条件①：；

（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得，

由周期公式可得答案；

（2）根据的范围求得的范围可得答案；

选条件②：.

（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得，

由周期公式可得答案；

（2）根据的范围求得的范围可得答案.

【详解】（1）选条件①：；

（1）

，

所以的最小正周期是.

选条件②：.

，

所以最小正周期是.

（2）选条件①：；

因为，

所以≤≤，

所以≤≤，

所以≤≤，

当，即时，有最小值.

选条件②：.

因为，

所以≤≤，

所以≤≤，

当，即时，有最小值.

17．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.

【分析】(1)线线垂直需要借助于线面垂直，结合图形分析出需要先证明平面；而证明线面垂直需要证明与面里面的两条相交线垂直即和；

(2)由两两垂直可建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量之后，直接利用空间向量的夹角公式即可求得；

(3)通过向量表示出所求线段的比例关系，然后依次表示出所需向量的坐标，利用线面垂直时线与面的法向量平行即可得出等量关系，解方程即可求得结果.

【详解】解：(1)证明：在直四棱柱中，  

底面，

因为底面，

所以.

因为，，

所以平面.

因为平面，

所以.

(2)因为平面，且，所以两两垂直.

如图建立空间直角坐标系，则，，   

，，，    

设平面的法向量为

，，

由  可得

令，解得，

所以                                        

因为平面，

所以平面的一个法向量为           

所以                     

由题可知二面角为锐角，

所以二面角的大小为.           

(3)设.                           

因为，

由(2)知平面的一个法向量为，     

因为平面，可得.

所以，解得.

所以，在线段上存在点使得平面，的值是.

【点睛】向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需要做辅助线；建立右手直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）；

2、设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标；

3、求：求出所需平面的法向量；

4、算：运用向量的数量积，验证平行垂直，求出两个平面的法向量的夹角的余弦值；

5、取：根据题意或者二面角线面角的范围，得出答案.

18．随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；

（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；

（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．

【答案】（1）；（2）；（3）青年人．

【分析】（1）用频率估计概率，直接计算；

（2）先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意”分成一老年人、一青年人满意和两老年人满意讨论，进行计算即可；

（3）直接判断出青年人.

【详解】解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A，总人次为500人，

共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以．

（2）由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为，抽取青年人满意度的概率为，抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率，

，

所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为．

（3）青年人.

【点睛】(1)实际问题中一般用频率估计概率；

(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.

19．已知函数．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在处取得极值，求实数的值；

(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）根据可导函数在极值点处的导数值为求出，再根据极值点的定义验证即可得解；

（3）二次求导后，分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得结果.

【详解】（1）当时，，定义域为，，

，，

所以函数在点处的切线方程为，即.

（2），

设，则，

依题意得，即，

当时，，当时，，当时，，

所以在处取得极大值，符合题意.

综上所述：.

（3）当时，，，

当时， ,

令，，

则，

①当时，在上恒成立，故在上为增函数，

所以，故在上为增函数，

故，不合题意.

②当时，令，得，

（i）若，即时，在时，，在上为减函数，

，即，在上为减函数，，符合题意；

(ii)若，即时，

当时，，在上为增函数，，

在上为增函数，，不合题意.

综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，有成立，故；

（3）若，使得成立，故；

（4）若，使得成立，故；

20．已知曲线．

(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．

(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)在定直线上，理由见详解.

【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可；

（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.

【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.

（2）是在定直线上，理由如下：

当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，

，且，

所以

易知，则，

两式作商得是定值，

故G在定直线上.

21．已知点列(，)满足，且与() 中有且仅有一个成立．

（Ⅰ）写出满足且的所有点列；

（Ⅱ） 证明：对于任意给定的（，），不存在点列，使得；

（Ⅲ）当且（）时，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；或；或．（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）本题就是及时定义，按定义分类列举：或；或．（Ⅱ）证明不存在命题，一般利用反证法，即先假设存在点列，使得，则 ，即．因为整数和总是一个为奇数，一个为偶数，且，而整数中不含有大于1的奇因子，因此矛盾，假设不成立

（Ⅲ）令，

则.这是关于的二次函数，从对称轴及正整数条件可得当为奇数时，时， 有最大值．当为偶数时，时， 有最大值．

试题解析：（Ⅰ）解：符合条件的点列为；

或；或． 3分

（Ⅱ）证明：由已知，得，

所以数列是公差为1的等差数列．

由，得（）． 3分

故． 5分

若存在点列，使得，

则 ，即．

因为整数和总是一个为奇数，一个为偶数，且，

而整数中不含有大于1的奇因子，

所以对于任意正整数，任意点列均不能满足． 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，，

所以

，

令，

则. 10分

考察关于的二次函数．

（1）当为奇数时，可得是正整数，

可构造数列：，

对应数列：．（由此构造的点列符合已知条件）

而且此时，

，

所以当时， 有最大值． 12分

（2）当为偶数时，不是正整数，而是离其最近的正整数，

可构造数列：，

对应数列：，（由此构造的点列符合已知条件）

而且此时，

，

所以当时， 有最大值．

13分

【解析】及时定义，反证法，二次函数求最值