2023-2024学年福建省泉州市永春县华侨中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省泉州市永春县华侨中学九年级（上）期初数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设点在第二象限，且，，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据：，，，，，的平均数和中位数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  如图，是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数图象上，在等腰三角，，且三角形的面积为，则的值(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

6.  已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，▱的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：；▱；；成立的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为(    )

A.
B.
C.
D. 或

9.  平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，矩形中，，，为矩形内一点，连接，，，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  要使函数有意义，则的取值范围是______．

12.  如图，菱形中，于点，交于，若为中点，且，则到边的距离为______．

13.  若一组数据，，，的平均数为，方差为，则另一组数据，，，的平均数是______ ，方差是______ ．

14.  平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：若，，，四个点的“积和”运算满足：，若，，，为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以，，，为顶点的四边形的结论：
四边形可以是平行四边形；
四边形可以是菱形；
四边形可以是矩形；
四边形不可能是正方形；
其中正确的______写出所有正确结论的序号

15.  如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则 ______ ．

16.  如图，在边长为的正方形中，点在边上，且点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，在求值：，再从、、三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，用元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多本．
求打折前每支笔的售价是多少元？
由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共件，笔袋每个原售价为元，两种物品都打八折，若购买总金额不低于元，问最多购买多少支笔？

20.  本小题分
如图，在直角坐标系中，，．
画出线段关于轴对称线段；
将线段绕点顺时针旋转一个角，得到对应线段，使得轴，请画出线段；
判断四边形的形状：______ ．
若直线平分中四边形的面积，请直接写出实数的值．

21.  本小题分
四边形是矩形，四边形是正方形，，点在线段的左侧，连接，．
如图，若点在边上时，，，求的长．
如图，连接，若，，求证：三点，，在同一直线上．

 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
求反比例函数的表达式；
当时，直接写出的取值范围；
在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
当时，当 ______ 时，有最小值，且最小值为______ ；
设，，求的最小值，并指出当取得该最小值时对应的的值；
在平面直角坐标系中，点，点点是函数在第一象限内图象上的一个动点，过点作垂直于轴，垂直于轴，垂足分别为点，设点的横坐标为，四边形的面积为求和之间的函数关系式，并判断出当的值最小时，说明四边形是何特殊四边形．

24.  本小题分
阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
已知，，则 ______ ；
已知，，求证：；
已知其中、、互不相等，求的值．

25.  本小题分
规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
求出直线的“旋转垂线”的解析式；
若直线的“旋转垂线”为直线求证：；
如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，度，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，且，，
，，
点的坐标为．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数结合绝对值的性质求出、的值，然后写出即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

2.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
且，
解得，
故选：．
根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：由平均数定义可知：，
因为，，，，是个正数，且，
所以将这组数据按从小到大排列为，，，，，，
由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数，
其中位数为，
故选：．
对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．
本题考查了平均数和中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．

4.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
．
点在反比例函数图象上，
设点为，
则，
三角形的面积为，
又，且反比例函数在第二象限．
．
故选：．
过点作，利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5.【答案】 

【解析】解：将分式方程两边同乘，去分母可得：，
移项，合并同类项得：，
原分式方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：．
解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件切得的取值范围即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为．

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
的值按照，，，，次一个循环周期的规律出现，
，
的值是，
故选：．
通过分别计算，，，，，的值归纳出的值出现规律进行求解．
此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现的规律．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
▱，
故正确；
，
，
，
故错误，
故选：．
由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，而，则是等边三角形，所以，则，所以，即可求得，所以，可判断正确；由，，得，所以▱，可判断正确；由“垂线段最短”可知，，可判断错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明是等边三角形是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，交的延长线于点，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
延长到使，
在与中，
，
≌，
，，
，
在和中，

≌，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得或．
或．
故选：．
过点作，交的延长线于点，推出四边形是正方形，得到，延长到使，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理求得的长．
本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．

9.【答案】 

【解析】解：点，
点是直线上的动点，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，如图，
则，
为最小值，

由两点间距离公式得：，
的最小值为．
故选：．
由点，可知点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时为最小值，再利用两点间距离公式即可求得答案．
本题考查了利用轴对称求最小值，两点间距离公式等，根据点，判断点是直线上的动点是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求．

由旋转的性质可知：是等边三角形，
，
，
，
当、、、共线时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
将绕点逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求．
本题考查轴对称最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

11.【答案】且且 

【解析】解：由题意得：，，，
解得：且且，
故答案为：且且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为、的零次幂无意义列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为、的零次幂无意义是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过作于，
四边形是菱形，
，，
，为中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，，
，
即到边的距离为，
故答案为：．
连接，过作于，证是等边三角形，得，再求出，然后由角平分线的性质得，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．

13.【答案】   

【解析】解：数据，，，的平均数为，
，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，
数据，，，的方差不变，还是；
故答案为：；．
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据，，，的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
点，，，在同一反比例函数的图象上，
以，，，为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形．
故答案为：．
根据新运算得到，即可得到点，，，在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以，，，为顶点的四边形不可能是菱形，正方形．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形，矩形，菱形的判定与性质，解题的关键是确定点，，，在同一反比例函数的图象上．

15.【答案】 

【解析】解：连接，，，延长交轴于，
同底等高的三角形面积相等
，
同理：，
，
，
，
故答案为
根据同底等高的三角形面积相等以及反比例函数系数的几何意义得出，然后根据，，即可求得的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积以及不同底等高是三角形面积的关系，证得是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

，
，，
，
，
≌，
，
点在直线的上方到直线的距离为的直线上运动，
将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形，
，，
，
过点作直线于，
根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小，最小值，
故答案为．
如图，过点作于首先说明等的运动轨迹是直线，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形，推出，，推出，过点作直线于，根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小．
本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

17.【答案】解：原式． 

【解析】先根据乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
此题考查的是负整数指数幂、有理数的混合运算、零指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．

18.【答案】解：原式

，
要使分式有意义，不能取，，
则当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：设笔打折前售价为，则打折后售价为，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：打折前每支笔的售价是元；

设购买笔件，则购买笔袋件，
由题意得：
解得：，
答：最多购买支笔． 

【解析】根据打折后购买的数量比打折前多本，进而得出等式求出答案；
利用购买总金额不低于元，得出不等关系进而求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．

20.【答案】线段如图所示；
线段如图所示；

平行四边形；
，，
平行四边形的中心坐标为，
代入直线得，，
解得． 

【解析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考查了平行四边形的判定与性质，是基础题，要注意平分四边形面积的直线经过中心的应用．
根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点的位置，然后连接即可；
根据轴对称的性质找出点关于直线的对称点，即为所求的点；
对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形的形状；
根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出的中点，代入直线计算即可求出值．
【解答】
解：见答案；
由图可知，，，
四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
见答案．

21.【答案】解：如图，作于点，
四边形是正方形，点在边上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
证明：如图，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，，
点、点都在线段的垂直平分线上，
三点，，在同一直线上． 

【解析】作于点，由四边形是正方形得，根据勾股定理求出的长为，则，而，所以，再根据勾股定理求出的长即可；
先证明≌，得，可证明四边形是正方形，则，可知点在线段的垂直平分线上，而，，则点、点都在线段的垂直平分线上，由此可得三点，，在同一直线上．
此题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

22.【答案】将，代入得：，
解得：，
一次函数表达式为：，
将代入得：，
，
将代入得：，
反比例函数的表达式为：；
设一次函数与反比例函数在第二象限交于点，
联立，
解得：或，
，
由图象可知：当或时，，
存在，理由：
过点作交轴于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立：，
解得：或，
点的坐标为：或． 

【解析】将，代入，求得一次函数表达式，进而可得点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可；
将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
过点作交轴于点，证明∽得出点的坐标，在求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．

23.【答案】   

【解析】解：当时，，
即，
当时，有最小值，且最小值为，
故答案为：，；

，，
，
，
根据的结论可知，
当时，的最小值为，
即当时，的最小值为；

，
和之间的函数关系式为；
四边形是菱形，理由如下：
当时，的值最小，此时，，
，，
，，
又，
四边形是菱形．
由，即可求解；
先化简，然后根据的结论即可求解；
运用菱形的判定与性质即可求解．
本题考查二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质和运用、完全平方公式得的运用、及菱形的判定与性质等，体现了创新思想．

24.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
．
．
．
．
故答案为：．
由题意，，
．
．
．
．
．
．
．
由得：，
由得：，
把代入得：，
．
．
同理得：，
，
．
、、互不相等，
，
．
依据题意，根据已知条件分别求出和，然后再相乘得，然后再变形可以得解；
依据题意，类似求出再与相乘可得，的式子，再变形可以得解；

本题是阅读材料问题，也是分式的化简问题，考查了分式的基本性质，有难度．

25.【答案】解：如图，

由得：，，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
设的解析式为：，
，
，
直线的“旋转垂线”的解析式是：；
证明：如图，

当时，，
当时，，
，
，，
同理可得：，，
由，得，
，
，
，
；
如图，

作，作，作于，
，，
直线的解析式为：，
由得，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点的纵坐标是，
当时，，
，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
当时，，
． 

【解析】求出与，轴的交点坐标，然后求得旋转后的点的坐标，进而求得结果；
分别求出和与，轴交点坐标，根据“旋转垂线“的定义得出等式，进一步得出结果；
作，作，作于，先求出直线的解析式，进而求得直线的解析式，证明≌，从而得出点的纵坐标是，进而求得点的坐标，从而求得的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．