2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高三上学期12月月考数学（文）试题含解析

2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学高三上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出，然后再由交集的运算求．

【详解】解：∵，∴，∴，

∴，又，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用．

2．复数满足，则复数的实部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数模的运算、除法的运算化简，由此求得复数的实部.

【详解】依题意，所以，故的实部为.

故选：D.

3．命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为(　　)

A．p∧q B．p∨q C．p∧(q) D．q

【答案】B

【分析】先判断命题p,q的真假，再得到命题的真假，最后逐一判断选项的真假.

【详解】由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，

∴命题p是假命题．

由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，

所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(q)为假命题，q为假命题．

故选B.

【点睛】(1)本题主要考查命题的真假和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.

4．已知的最大值为5，则可以为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】对四个选项，依次代入，求出相应的函数最大值，选出正确答案.

【详解】当时，，其中，函数最大值为，故A错误；

当时，，函数最大值为5，B正确；

当时，，其中，函数最大值为，故C错误；

当时，，函数最大值为1，故D错误.

故选：B

5．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为元、元，生产甲产品每件需用原料千克、原料千克，生产乙产品每件需用原料千克、原料千克．原料每日供应量限额为千克，原料每日供应量限额为千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多件以上，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为（  ）

A．元 B．元 C．元 D．元

【答案】D

【分析】设应生产甲、乙产品分别为、件，列出、所满足的线性约束条件以及目标函数，作出可行域，平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，然后将最优解代入线性目标函数即可得最大利润．

【详解】解：设应生产甲、乙产品分别为、件，则、所满足的线性约束条件为，

目标函数为，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，得，得点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，

直线在轴上的截距取最大值，此时（元），

故选：D．

6．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q“广义互余”已知，下列角β中：①；②；③；④.可能与角a“广义互余”的有（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【分析】根据题目定义以及诱导公式，平方关系即可判断．

【详解】由，得，所以，故.

由题意，a+β= 90° ，所以sinβ，，.故①③满足；对于②，由，得cos β= ，不满足；对于④，由，可得.则，不满足.故可能与角a“广义互余”的有①③.

故选：A.

7．在区间上随机取一个数x，则的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式求得的范围，根据几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】解：由解得，

故由几何概型的概率公式得的概率为.

故选:D

.

8．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令t＝2x﹣x2，利用配方法求其值域，再由指数函数的单调性求原函数的值域；

【详解】∵t＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+11， 为减函数，

∴

∴函数的值域为；

故选A.

【点睛】本题考查复合函数单调性的应用及复合函数的值域问题，是中档题．

9．已知奇函数满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及奇函数性将转化成求解即可．

【详解】由得，则函数是周期为4的周期函数，

∴.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性的综合应用，考查转化能力，属于基础题．

常见的三种由半周期到周期的形式为:

（1）若，则，进而；

（2）若，则，进而；

（3）若，则，进而；

10．正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值  

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2），

∴=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为θ，

则

【解析】异面直线及其所成的角

11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的最大值是　　

A． B． C．10 D．

【答案】B

【分析】直接利用基本不等式以及椭圆的定义，求出最值即可．

【详解】解：若椭圆的方程知其长半轴的长为，则

因为（当且仅当时取“”

故选：B．

【点睛】本题考查基本不等式的应用，椭圆的定义的应用，考查计算能力，属于基础题．

12．已知是函数的极大值点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，则，分类讨论当时，利用导数与函数单调性的关系可得当时，；当时，，根据极大值的定义可知满足题意；当时，利用导数可得存在使得，根据导数可得，从而可得，与已知矛盾，进而得出结果.

【详解】令，则，，

当时，时，，单调递减，而，

时，，，

且，，

即在上单调递增，

时，，，

且，，

即在上单调递减，

是函数的极大值点，满足题意.

当时，存在使得，即，，

又在上单调递减，

时，，，

这与是函数的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是.

故选：B

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

二、填空题

13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为         ．

【答案】

【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，向量与共线，

可得，即，可得，解得.

故答案为：.

14．圆的圆心P到直线的距离是        .

【答案】

【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心P的坐标，再由点到直线的距离公式求解.

【详解】由圆，得，

则圆心，

圆心P到直线的距离.

故答案为：.

15．如上图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为           .

【答案】

【分析】在中，由余弦定理可得，的余弦值和正弦值，由两角和的正弦公式，可得，再在中，运用面积公式可得所求值．

【详解】解：由为等边三角形，可得，

在中，，，，

可得，

化为，解得，

设，

则，

，

所以，

则的面积为．

故答案为：．

16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积为           .

【答案】

【分析】在正方体中还原几何体，进而其外接球的直径即为边长为的正方体体对角线，再根据表面积公式求解即可.

【详解】解：由三视图可知，该几何体可从边长为的正方体中截出，

如图，四棱锥即为三视图还原后的空间几何体，

所以，其外接球的直径即为边长为的正方体体对角线，即，

所以，该四棱锥外接球的表面积为

故答案为：

三、解答题

17．（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）根据数据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.

（2）根据题意，根据数据平均数的概念和计算公式，即可求解合在一起后的样本均值.

【详解】（1）由题意，根据数据平均数的计算公式，可得：

甲在本次游戏中的平均成绩为.

（2）由题意，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，

则合在一起后的样本均值为.

18．如图，在三棱锥中，，底面ABC．M，N分别为PB，PC的中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）求证：平面平面PAC；

（3）若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）由题意可得，再利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）由线面垂直的性质定理可得，再由，利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证出.

（3）利用等体法：

【详解】证明：（1）M，N分别为PB，PC的中点，

所以，平面ABC，

平面ABC，所以平面ABC；

（2）底面ABC，平面ABC，所以，

因为，所以，又，

所以平面PAC，平面ABC，所以平面平面PAC；

（3）由（2）知，，平面PAC，所以平面PAC，

，

在三角形PAC中，，，

，

所以．

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、等体法求三棱锥的体积，考查了考生的推理能力，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.

19．等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列

（1）求{}的公比q；

（2）求－＝3，求

【答案】（Ⅰ）  （Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）依题意有

由于，故

又，从而5分

（Ⅱ）由已知可得

故

从而10分

20．分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）离心率为，焦点坐标为和的双曲线

（2）离心率，准线方程为的椭圆

（3）焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为4的抛物线

【答案】（1）;（2）;（3）.

【分析】（1）由焦点坐标可得的值,由离心率可得的值,根据公式可得,从而可求得双曲线方程.

（2）由准线方程可知椭圆焦点在轴上,根据离心率,和准线可解得与的值,根据公式可得,从而可得椭圆方程.

（3）由已知可设抛物线方程为,由已知可得,从而可得抛物线方程.

【详解】（1）设双曲线标准方程为,

由已知得：,

所以,故 ,

所以双曲线的方程为： .

（2）由已知可设椭圆的标准方程为,

有条件得：，解得， ,

所以,所以椭圆的方程为： ;

（3）当抛物线的焦点在轴的正半轴上，可设方程为,

由条件得，所以抛物线的方程为 .

21．已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；

（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；

（i）求的值；

（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；

（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.

【答案】（1）；； （2）.

【分析】（1）根据奇函数和求得；又，求得和；假设切点和切线方程，根据极大值点为可确定一条切线为；将代入切线方程可得：和，从而可得的两根为，构造函数，结合图像求得的范围；（2）根据可得，从而；将切线代入求解出，从而得到.

【详解】（1）是奇函数，且

且，即

而当时有极小值

经检验满足题意，则

设是曲线上的一点

由知：，

过点的切线方程为：

消去即得：

由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；

又由奇函数性质可知：点是极大值点

从而是一条切线且过点

再设另两条切线的切点为、，其中

则可令切线，

将代入的方程中

化简可得：且

从而有：且

是方程的两根

构造函数：

由得：或

而，，结合图象：

可得：实数的取值范围是：

（2）令，；由及

可得：

而，化简可得：，即

将切线的方程代入中并化简得：

，即

；同理：

则，，

【点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的综合应用问题，在解题过程中需要利用导数值即为切线的斜率写出函数的切线方程，根据不同条件要求进行变量之间的互化；解题关键是将切线条数问题转化为方程根的个数问题，利用构造函数的方式结合函数图像求得结果.本题对学生转化与划归思想和计算能力有较高的要求.

22．已知圆经过两点，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）由圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离为，分类直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，即可求得直线的方程.

【详解】（1）解：圆经过两点，且圆心在直线上，

设圆的方程为，

可得，解得，

所以圆的方程为，即.

（2）解：由圆，可得圆心，半径为，

因为直线过点，且被圆截得的弦长为，

可得，解得，即圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时圆心到直线的距离为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，可得直线的方程为，

即

由圆心到直线的距离为，解得，

所以直线的方程为，即，

综上可得，所求直线方程为或.