2023届宁夏银川市贺兰县第二高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

2023届宁夏银川市贺兰县第二高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，或，则集合等于（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集运算法则得到答案.

【详解】，或，则.

故选：C.

2．设命题则命题 p 的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，

命题 p 的否定为.

故选：B.

3．函数f（x）=2x+x-2的零点所在区间是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间．

【详解】解：函数，，

（1），

根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间为，

故选C．

【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理的应用,属于基础题 ．

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.

【详解】解：由题意，，即，

所以，

所以函数的定义域为，

故选：A.

5．设是周期为3的奇函数，当时，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和周期性得到，计算得到答案.

【详解】是周期为3的奇函数，则.

故选：D.

6．函数的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】计算，排除BC，当趋近时，趋近，排除D，得到答案.

【详解】，则，排除BC；

当趋近时，趋近，排除D.

故选：A.

7．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数得到，，再根据单调性得到答案.

【详解】偶函数的定义域为，则，，

当时，是减函数，故，

即.

故选：B

8．已知命题，命题，则是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据分式不等式的解法，先求得，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】由，等价于，解得或，

所以．

因为，且，

所以是q的既不充分也不必要条件．

故选：D

9．已知函数的导函数为，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的运算法则对已知等式两边同时求导，然后令,即可得解.

【详解】∵，

∴，

∴，

解得，

故选：A．

10．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值法可判断命题的真假，利用零点存在定理可判断命题的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项.

【详解】对于命题，当时，，故命题为假命题，

对于命题，令，，，

故函数在内必有零点，故为真命题.

所以，为真命题，、、均为假命题.

故选：C.

11．已知函数，，若有2个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出图象，观察图象可求a的范围.

【详解】

如图，分别作出的图象，观察可得当时，即时，函数有两个不同的交点，所以有两个零点，故选D.

【点睛】本题主要考查利用函数零点的个数求解参数的范围问题，主要策略是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.

12．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.

【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，

当，，故在上单调递减，

且易知为奇函数，故在上单调递减，由，

所以.

故选：B.

二、填空题

13．设函数，则曲线在点处的切线方程是________.

【答案】

【分析】根据函数的解析式求出的值和导函数，把代入导函数中可得，根据导数的几何意义可知即为切线的斜率，根据点斜式即可求出切线方程．

【详解】由题意可知，

又，所以，

所以曲线在点处的切线方程，即.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，和曲线在某点处切线方程的求法，属于基础题.

14．函数的值域为_________.

【答案】

【分析】变换，根据函数的单调性得到值域.

【详解】在上单调递减，且，

故函数的值域为.

故答案为：

15．函数的单调递增区间为______.

【答案】

【分析】根据复合函数的单调性及定义域解答即可.

【详解】由题意，，解得或，

所以的定义域为.由二次函数的图象与性质，知函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.

故答案为：

16．已知奇函数在上为增函数，对任意的 恒成立，则的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性转化为，借助一次函数的性质可得的不等式组，解出即可

【详解】奇函数在上为增函数，

可化为：

由递增可知：，即

则对任意的 恒成立等价于：

任意的 恒成立

，解得

即的取值范围是

故答案为

【点睛】本题主要考查了恒成立问题，在解决不等式恒成立问题时注意变换主元的方法，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查了转化能力，以及灵活运用知识解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题

17．（1）计算：

（2）已知函数，求.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据对数函数和指数函数的计算公式计算得到答案.

（2）根据复合函数的求导公式计算得到答案.

【详解】（1）.

（2），

则.

18．已知函数，且.

（1）求函数的定义域;

（2）求使函数的值为正数时的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意可得，，从而可求得函数的定义域；

（2）由>0，得f(x)>g(x)，即loga(x+1)>loga(42x)，然后分a>1和0<a<1两种情况解不等式即可

【详解】（1）由题意可知，，要使函数有意义，

则有

解得.

故函数的定义域是.

（2）令>0，得f(x)>g(x)，

即loga(x+1)>loga(42x).

当a>1时，可得x+1>42x，解得x>1.

由（1）知-1<x<2，

所以1<x<2;

当0<a<1时，可得x+1<42x，解得x<1，

由（1）知1<x<2，所以1<x<1.

综上所述，当a>1时，x的取值范围是(1，2);

当0<a<1时，x的取值范围是(1，1).

【点睛】此题考查求对数型函数的定义域，考查利用对数函数单调性解不等式，考查分类思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题.

19．（1）若幂函数在单调递减，求实数值；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据函数是幂函数，由求得m，再根据在单调递减验证即可；

（2）根据函数在上单调递增，由在上恒成立求解；

【详解】解：（1）因为函数是幂函数，

所以，即，

解得，

当时，在单调递增，不符合题意；

当时，在单调递减，符合题意；

所以实数的值为-1；

（2）因为函数，

所以，

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，解得或（舍去），

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值为，

所以，

所以实数的取值范围是.

20．已知函数

(1)判断并证明函数的奇偶性;

(2)判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式

【答案】(1)函数是R上的偶函数，证明见解析

(2)函数在上单调递增，

【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；

（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.

【详解】（1）证明：依题意，函数的定义域为R．对于任意，

都有，

所以函数是R上的偶函数．

（2）解：函数在上单调递增．

因为函数R上的偶数函数，所以

等价于．因为函数在上单调递增，

所以，即，解得，

所以不等式的解集为．

21．已知函数在与处都取得极值．

(1)求函数的解析式及单调区间；

(2)求函数在区间的最大值与最小值．

【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），

【分析】（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；

（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.

【详解】（1）因为，所以,

因为在与处都取得极值，

所以，即，解得

即，所以，

令或，令，

所以的单调增区间是，减区间是.

（2）由（1）可知，

的极小值，的极大值，而，，

可得时，，.

故得解.

【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)当时函数，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求导后分和两种情况讨论单调性即可；

（2）根据函数在处取得极值，可得，再代入函数参变分离可得在上恒成立，构造函数，再求导分析最小值即可

【详解】（1）函数的定义域是且

当时，，从而，函数在上单调递减；

当时，若，则，从而；若，则，从而，所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，函数的极值点是，若，则.

若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立.              

令，则，易知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即=，故只要即可.所以b的取值范围是.