2023届云南省大理州鹤庆县第三中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2023届云南省大理州鹤庆县第三中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届云南省大理州鹤庆县第三中学高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件结合交集的定义直接计算即可判断作答.【详解】因集合，，所以.故选：B2．如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.【详解】，因复数为纯虚数，于是得且，解得，所以.故选：A3．“”是命题：，成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别分析每一个结论后就可以判断.【详解】当时，在上单调递增，而此时，所以，成立，因此“”是命题：，成立的充分条件；若，，则可知，且时，恒成立，因此，从而可得，故必要性成立.故选：C4．设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据给定条件可得圆与圆内切，再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝对值列式，然后分析计算作答.【详解】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，于是得，所以圆的半径的最大值是2.故选：B5．在平行四边形中，，点M在AB边上，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，用，进行转化，运算即可.【详解】如图，作DE⊥AB于E，CD⊥AD于F，易得，，  .故选：A.6．设，，且，则当取最小值时，（    ）A．8 B．12 C．16 D．【答案】B【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.【详解】，，当取最小值时，取最小值，，，，，，当且仅当即时取等号，.故选：7．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可．【详解】已知点，设点，，又，故，故，，故选：C8．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，在中，由，，则得，所以，因为球O的表面积为，则，解得，所以球心到的距离，即三棱锥的高为，，所以三棱锥的体积.故选：C. 二、多选题9．已知，，则（    ）A．若，则 B．若，则C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则【答案】BC【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；B：两向量垂直，数量积为零；C：当两向量同向时，它们差的模最小；D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.【详解】由，得，A不正确；由，得，，B正确；，当时，取得最小值5，C正确；当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则，或，D不正确.故选：BC.10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系列式作答.【详解】依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.故选：AB11．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C． D．点与不重合时，平面平面【答案】BCD【分析】令，求出即可计算判断A；把与矩形展开在同一平面内，计算即可判断B；证明平面可判断C；由平面可判断D作答.【详解】对于A，在正方体中，连接，如图，而，则，令，在中，，由余弦定理得，而是矩形，则，中，，，当时，，即是钝角，A不正确；对于B，把与矩形展开在同一平面内，连接交于点，如图，在中，，由余弦定理得：，因点P在线段上，，当且仅当点P与重合时取“=”，所以的最小值为，B正确；对于C，因平面，平面，则，正方形中，，，平面，于是得平面，又平面，因此，，C正确；对于D，因平面，而平面，于是得平面平面，即平面平面，D正确.故选：BCD12．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B．C．取得最小值时等于5 D．设，为的前项和，则【答案】ABD【分析】根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.【详解】在等差数列中，因，，则公差，则，，A，B正确；，当且仅当，即时取“”，因，且，，，则取最小值时，等于6，C不正确；因，则，D正确.故选：ABD 三、填空题13．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为       .【答案】【解析】根据离心率为2，得到，从而得到两条渐近线方程即可.【详解】∵，∴，故，所以，∴两条渐近线方程为：，∴两条渐近线所成的锐角为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．在中，内角，，的对边分别为，，且，则           .【答案】【分析】利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和以及诱导公式即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因为，所以，即，所以，故答案为：15．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是           .【答案】【解析】设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.【详解】设点的坐标是，即，因为向量，，所以，，，当时，有最小值，此时点的坐标是，故答案为：.【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.16．普罗斯数是具有如下形式的数：，其中是奇数，是正整数，且.如就是一个普罗斯数.普罗斯数是以数学家法兰西斯-普罗斯的名字命名的，结合普罗斯定理可以用来判断普罗斯数是否为素数.现从30以内的6个普罗斯数中任取两个，这两个数都是素数的概率为           .【答案】/0.4【分析】根据题意，写出30以内的普洛斯数，共6个，其中找去素数，共4个，由古典概型概率公式，可得答案.【详解】易知30以内的6个普罗斯数分别为3，5，9，13，17，25（），其中素数有4个，从中任取两个，由古典概型可知，这两个都是素数的概率为.故答案为：. 四、解答题17．随机抽取某电子厂的某种电子元件400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6元、2元、1元，而1件次品亏损2元.设1件产品的利润（单位：元）为.(1)求1件产品的平均利润（即的数学期望）；(2)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75元，则三等品率最多是多少？【答案】(1)；(2)1%. 【分析】(1)X的所有可能取值有6，2，1，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．(2)设技术革新后的三等品率为，求出此时1件产品的平均利润为，由此能求出三等品率的最大值．【详解】（1）的所有可能取值有6，2，1，.，，，，故的分布列为6210.630.250.10.02.（2）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为.依题意，，即，解得，∴三等品率最多为1%.18．在数列中，，.(1)设，求证数列是等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)根据给定的递推公式结合进行变形，再将代入整理即可得解.(2)利用(1)的结论求出数列的通项公式即可计算作答.【详解】（1）在数列中，，，则当时，有，两式相减得：，而，即，则有，整理得，即，所以数列是等差数列.（2）由得：，而，则，，，因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列，则，即，于是得：，所以数列的通项公式.19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求面积的最大值及此时边b，c的值．【答案】(1)(2)最大值为，， 【分析】（1）利用正弦定理、和角的正弦公式以及三角形的性质进行求解.（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式计算求解.【详解】（1）在中由正弦定理得：，，所以，即，化简得：，即，∵，∴，∴，∵，∴.（2）由余弦定理得，又，，∴，又，∴，当且仅当时，取到等号.则，∴的面积最大值为，当且仅当时等号成立，即此时，.20．如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．(1)求证：；(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．【答案】(1)证明见解析(2)3 【分析】（1）由线面平行性质定理去证明即可.（2）建立空间直角坐标系，以向量法去表示二面角的余弦值为，进而可求得AB的值．【详解】（1）因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故．又因为四边形ABCD为矩形，故，则．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面SAD．∵平面SAD，∴．同理．又，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．,，,设为平面ABE的法向量，∵，∴，令，则．∴．设为平面CBE的法向量，∵，∴，令，则．∴．∴，解得．故21．已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，．(1)求抛物线的方程；(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令，求出纵坐标的值，再根据进行求解即可；（2）设直线的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA，PM，PB的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可.【详解】（1）因为，在抛物线方程中，令，可得，所以当直线与轴垂直时，解得，抛物线的方程为.（2）（2）因为抛物线的准线方程为，由题意可知直线的方程为，所以.联立消去，得，设，，则，，若存在定点满足条件，则，即，因为点均在抛物线上，所以.代入化简可得，将，代入整理可得，即，所以，解得，将代入抛物线方程，可得，于是点即为满足题意的定点.22．已知函数．(1)证明：当时，；(2)记函数，判断在区间上零点的个数．【答案】(1)证明见解析(2)个零点 【分析】（1）求导后可知在上单调递增，由可得结论；（2）由可知是的一个零点；分别在、和的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到的单调性，确定区间内零点个数，得到在上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果.【详解】（1）由题意得：；当时，，，在上单调递增，.（2），，，是的一个零点；①当时，设，则，在上单调递减，，又，，即在上无零点；②当时，，，在上单调递减，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，，在上存在唯一零点，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，在有唯一零点；③当时，，，在上单调递减，，在上无零点；综上所述：在上有两个零点；，为奇函数，图象关于原点对称，在上有两个零点；又，在上共有个零点.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.