2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考数学试题含解析

2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算列式求解.

【详解】因为，则，

联立，解得，

所以.

故答案为：D.

2．若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】先对函数求导，然后代值计算即可

【详解】由，得，

所以，

故选：A

3．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式性质、结合指数函数单调性推理判断C作答.

【详解】对于A，令，显然有，，而，A错误；

对于B，由，知，令，显然有，而，B错误；

对于C，由，，得，因此，C正确；

对于D，若，令，有，而，D错误.

故选：C

4．若：，则成立的一个充分不必要条件为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别解一元二次不等式、对数式不等式、指数式不等式、分式不等式即可判断充分性与必要性，即可得答案.

【详解】对于A，由可得，解得，所以“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故A不符合；

对于B，可得，则，解得，所以“”成立的一个充分不必要条件，故B符合；

对于C，可得，则，解得，所以“”是成立的一个必要不充分条件，故C不符合；

对于D，由可解得或，故“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故D不符合.

故选：B.

5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性及在轴右侧的第一个零点与1的距离关系分析判断.

【详解】由图可知，是奇函数，在轴右侧的第一个零点与1的距离小于1.

对于A，的定义域为，

，

则为偶函数，故A不符合；

对于B，的定义域为，

，则为奇函数，

在轴右侧的第一个零点是，而，故B不符合；

对于C，的定义域为，

，则为奇函数，

在轴右侧的第一个零点是，且，故C符合；

对于D，的定义域为，

，

则为偶函数，故D不符合.

故选：C.

6．已知正数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，

由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故选：B.

7．设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指、对数函数的单调性结合中间值分析判断.

【详解】因为在定义域内单调递增，则，即；

又因为在定义域内单调递增，则，即；

因为在定义域内单调递增，则，即；

综上所述；.

故答案为：B.

8．定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可求出、的值，分析可知函数是周期为的周期函数，计算出、的值，结合函数周期性和奇偶性的性质可求得的值.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，

由，①

且，②

由①②可得，

整理可得，解得，此时，，可得，

故当时，，

，合乎题意，

因为，则，

所以，函数是周期为的周期函数，

所以，，

在等式中，令可得，可得，

，

因此，.

故选：B.

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】分别对各个选项进行运算验证即可得出结论.

【详解】对于A，函数满足，所以函数为奇函数，

由幂函数的性质可知，当时，函数在定义域内单调递增，故A正确；

对于B，函数满足，所以函数为奇函数，

由导数的四则运算法则可知，

因为，所以，

所以函数在单调递增，故B正确；

对于C,当时，，当时，，

因为，故在不是单调递增，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数；

当时，函数，令，

因为在上单调递增，在上单调递增，

由复合函数的单调性可知函数，在上单调递增，故D正确.

故选：ABD.

10．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ）

A．该校男生和女生人数之比为

B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系

C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率

D．从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为

【答案】AC

【分析】根据样本中的抽样比可以确定该校男生和女生人数之比为；虽然等高堆积条形图中不同性别手机成瘾有很大差异，只能表明手机是否成瘾与学生的性别有很大的关系，但不能表明一定有关系；易知样本中手机成瘾的概率为，即可估计该校任一学生手机成瘾的概率；利用条件概率公式即可求得该校学生中抽样到一手机成瘾的学生，该生是男生的概率为.

【详解】根据分层抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为，

用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比为，故A正确；

从等高堆积条形图来看，样本中男生有手机成瘾，女生中有手机成瘾，比例关系差异很大，

因此手机是否成瘾与学生的性别有很大的关系，但不能说“一定与学生的性别有关系”，故B错误；

结合样本数据以及等高堆积条形图可知，男生中有人手机成瘾，女生中有人手机成瘾，

即样本的100人中共有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的概率，用样本估计总体可知该校学生中手机成瘾的概率，即C正确；

根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为，

用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为，即D错误；

故选：AC

11．已知函数，，，则下列说法正确的有（    ）

A．，使得有2个零点 B．，使得有3个零点

C．若有3个零点，则 D．若有4个零点，则

【答案】ABD

【分析】利用换元将问题转化为，，的交点情况，利用导数求解相切时的直线方程，即可根据平移求解的图象交点个数，结合的图象交点情况即可求解.

【详解】令，则，则，

的图象如下所示，

当时，有两个交点，

当时，有3个交点，

当时，有1个交点，

当时，有0个交点.

由于直线的斜率为1，

故当设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，

当，设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，

在图中作出在和的切线方程，如图：

的零点即为函数与的交点，

由图可知：当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，

当时，与有2个交点，且交点横坐标满足，和，

当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，

当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，

当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，

综上可知：当或时，有3个交点，

当时，有4个交点，

当时，有2个交点，

故选：ACD

【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

12．设、、、，称为二阶方阵，全体二阶方阵构成的集合记为，定义中的两种运算：①，，；②设，，则下列说法正确的有（    ）

A．、，有

B．，，使得

C．、，有

D．、，若，则或

【答案】BC

【分析】利用二阶方阵的运算可判断A选项；取，结合二阶方阵的运算可判断B选项；利用②中的运算可判断C选项；取，，结合二阶方阵的运算可判断D选项.

【详解】对于A选项，、，取，，

则，，

所以，，A错；

对于B选项，，取，取，

则，则，B对；

对于C选项，、，，，

，

，C对；

对于D选项，、，取，，则，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．已知幂函数在单调递减，则实数         .

【答案】

【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解即可.

【详解】由题意可得：，解得.

故答案为：.

14．函数的最小值为         .

【答案】2

【分析】将函数化为分段函数，分别求导即可确定函数单调性，由单调性即可确定函数的最值.

【详解】

当时，，则恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，，则，时，，函数递减；

时，，函数递增；

又

所以函数的最小值为.

故答案为：.

15．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线与曲线相切，则双曲线的离心率可以是         .（写出一个结果即可）

【答案】（或）

【分析】设双曲线一条渐近线方程为，设其与曲线相切的切点坐标为，利用导数的几何意义求导列方程即可得的值，即可得渐近线方程的斜率，分别求解焦点在轴的离心率即可.

【详解】设双曲线一条渐近线方程为，设其与曲线相切的切点坐标为，

又，所以斜率

于是将切点坐标代入切线可得：，整理得，解得

所以

若双曲线的焦点在轴上，则，此时双曲线的离心率；

若双曲线的焦点在轴上，则，此时双曲线的离心率；

所以双曲线的离心率为或.

故答案为：（或）.

16．已知定义在的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为         .

【答案】

【分析】根据导数不等式构造函数，求导确定其单调性，则可将不等式化为，即可求得不等式解集.

【详解】设函数，，则，

因为，所以，则函数在上单调递增，

则，

不等式可化为，即，

所以，解得，故不等式得解集为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题.解决本题的关键是将含导数的不等式构造函数从而解决函数单调性问题，构造函数需从导数的四则运算与基本初等函数求导公式入手.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，.

(1)若是等比数列，且，求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)330

【分析】（1）根据已知条件判断公比，再运用等比数列求和公式计算基本量即可；

（2）方法一：令，，得到是以6为首项，6为公差的等差数列，进而计算；方法二：根据，得到三组等差数列，进而分组求和即可.

【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为，

由，知，，

所以①；②

得，所以，

代入①得，所以

（2）方法一：令，，，

因为，

所以

所以是以6为首项，6为公差的等差数列，

所以，所以，

方法二：因为，所以为常数

所以是以为首项，公差为2的等差数列，

是以为首项，公差为2的等差数列，

是以为首项，公差为2的等差数列

故

18．已知函数，.

(1)当时，求在上的值域；

(2)若的极大值为4，求实数的值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）求导函数，从而可确定函数在闭区间上的单调性，通过比较端点处函数值与极值，从而可得函数的最值，即可得函数值域；

（2）根据极值的概念对函数求导之后，确定函数单调性及极值情况，即可求得实数的值.

【详解】（1）时，，，令，得或，

∴在单调递增，单调递减，单调递增

又，，，

∴的值域为.

（2），令，解得：或，

当时，，单调递增，无极值，舍；

当时，或，在和单调递增，在单调递减，

在时取得极大值，又，不符合题意，舍去；

当时，或，在和单调递增，在单调递减，

在时取得极大值，故，解得.

综上得，.

19．如图，在三棱柱中，底面，，，，、分别为棱、的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接、，证明出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出平面，，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，分析可知，与平面所成角等于与平面所成角，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，即为所求.

【详解】（1）证明：取中点，连接、.

因为是的中点，且，故为的重心，

所以、、共线，且，

又，故，所以，

因为且，则四边形为平行四边形，故且，

因为、分别为、的中点，所以，且，

则四边形为平行四边形，所以，所以，

又平面，平面，所以面.

（2）解：因为且，、分别为、的中点，

则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，

又因为，所以，，

因平面，故平面，

又，是中点，故.

于是以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图），

则、、、、、、

，

，，，

设为平面的法向量，则，

令，得，

因为，故与平面所成角等于与平面所成角，记为，

所以.

20．为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.

(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.

（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；

（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为，求的分布列和数学期望.

(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）

（参考数据：，，，）

【答案】(1)（i）0.271；（ii）分布列见解析，0.3

(2)至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗

【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；服从二项分布，求出可以取0，1，2，3时的概率，列出分布列即可得出数学期望；

（2）宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，10位居民有人被骗，则，即，解不等式可得，再由函数的单调性即可得出结论.

【详解】（1）（i）记事件：该社区这一天有人被骗，则，

∴该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271.

（ii）可以取0，1，2，3，由题意，

，  ，

， ；

∴的分布列如下：

∴；

（2）设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，

事件：10位居民有人被骗，则.

即

,

又函数单调递减，当时，；当时，,

∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗.

21．已知椭圆经过点，两个焦点为和.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为.

（i）求证：为定值，并求出这个定值；

（ii）若，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析，；（ii）

【分析】（1）由待定系数法即可求得椭圆的标准方程；

（2）设，，直线与椭圆联立方程组，设，，则，，由韦达定理及化简运算可得的值；由（ⅰ）运算化简可得，，由建立等式，化简可得值，从而可得直线的方程.

【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为.

则，解得 ，

∴椭圆的标准方程为：.

（2）法一：（i）显然直线与轴不重合，设，，

由,得，

，

设，，则，，

且，，

，

∴，

∴为定值.

法二：设，，则，，且，

则.

（ⅱ）由（ⅰ）得

由得：

或-4（舍），

故满足，∴.

22．已知函数，其中且.

(1)讨论的单调性；

(2)，有，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求解，对的正负讨论，即的范围讨论，进行判断即可.

（2）由，有，恒成立问题转化为求，可求得，进而问题转化为，当，证明，利用导数知识求出的值域，即可得证.

【详解】（1），

当时，，可得，所以在上单调递减，

当时，，，故在单调递减，在单调递增.

（2）①当时，在上单减，因为，故，

所以，不符题意，故舍去.

（也可用时，，舍去）

②当时，在单减，单增，，

故，

令，则有，

令，且，

，

令，，故在单减，

因为，，故使得，

当时，，，单增，

当时，，，单减，

又，，

故存在使得，

所以由不等式解得，即，

又，，所以函数在单减，

所以，，

记，则，

所以在单减，，

而，显然成立，

综上：.

【点睛】思路点睛：第一问，利用导数研究函数的单调性（含参），注意导函数结构，对影响其正负的点讨论，进行判断即可；第二问，不等式恒成立问题转化为最值，可得出的取值范围，接下来问题转化为求解函数的值域，从而问题得证.