安徽省怀宁县第二中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（理）【试卷+答案】

2021—2022学年度第一学期第三次考试

高三数学试题（理科）

 (时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 已知集合则

2．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于

A．sinx　  　B．cosx      C．cos α＋sinx      D．2sinα＋cosx

3．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程

A．(1－e)x－y＋1＝0  B．(1－e)x－y－1＝0

C．(e－1)x－y＋1＝0  D．(e－1)x－y－1＝0

4 已知条件，那么

充分不必要条件                 必要不充分条件 

充要条件                       既不充分又不必要条件

5．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点

A．1个      B．2个       C．3个         D．4个

6．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是

A.   B.

C. ，  D.，

7．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是

A．1           B.            C．0              D．－1

8．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝

A．2              B．3            C．4              D．5

9．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是

A.∪  B．[0，π)  

 C.                          D.∪

10．设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是(　　)

A．a＜c＜b        B．b＜c＜a       C．c＜b＜a      D．c＜a＜b

11.已知f(x)是R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，>0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为

A.[－1，0)∪(0，1]              B.[－3，－2)∪(0，1]

 C.(－2，－1)∪(0，1]            D.(－2，0)∪(0，1]

12.已知函数f(x)的导函数f'(x)满足(x+xlnx)f'(x)<f(x)对x∈恒成立,则下列不等式中一定成立的是             

A.2f(1)>f(e)　　B.e2f(1)>f(e)      C.2f(1)<f(e)　　D.ef(1)<f(e)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知函数是R上的减函数,则实数a的取值范围

是            

14．若曲线y＝ax2－ln(x＋1)在点(1，b)处的切线平行于x轴，则a＝________，b＝________．

15.由曲线 与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为________．

16．若函数f(x)＝在区间(m，2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.

(1)求实数a，b的值；

(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程．

18．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．

19．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2ex，x≤1，求f(x)的极值点以及极值、最值点以及最值．

20．(本小题满分12分)如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头．已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－.

(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；

(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)<x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．

2021—2022学年度第一学期第三次考试

高三数学试题（理科）参考答案

一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2.   B   
3. 解析：选A　函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．

3.解析：选C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)·(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

4. 解：所以选B.

5．解析：选A　设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．

6．解析：选A　∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.

7．解析：选A　f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1，∴f(x)在[0，1]上的最大值为1.

8．解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.

9.解析：选A　y′＝cos x，∵cos x∈[－1，1]，∴切线的斜率范围是[－1，1]，∴倾斜角的范围是∪.

10．解析：选A　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x＞e时，f′(x)＞0，则f(x)在(e，＋∞)上单调递增．又e＜3＜π，∴f(e)＜f(3)＜f(π)，即＜＜，故a＜c＜b.故选A.

11.【答案】D【解析】∵当，且时，，∴在区间上是增函数．∵是上的奇函数，∴，且在区间上是增函数．∴当时，，当时，．∵，∴的图象关于直线对称，∴，且在区间上是减函数．又，∴，即函数的周期为．∴是区间上的减函数，且．综上所述，不等式的解集为．

12.答案　A　令g(x)=,x∈.则g'(x)=,

由(x+xlnx)f'(x)<f(x),得(1+lnx)f'(x)-f(x)<0,则g'(x)<0,

故g(x)在x∈上递减,故g(e)<g(1),即 <,∴2f(1)>f(e).故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．答案：   解析：因为为R上的减函数,所以时,单调递减,即①;时,单调递减,即②,且③.联立①②③,解得.故选B.

14.解析：由题意得y′＝2ax－，∵曲线在点(1，b)处的切线平行于x轴，∴2a－＝0，∴a＝，∴b＝－ln(1＋1)＝－ln 2.答案：　－ln 2

15.【答案】【详解】解： ,当x=1时，y=1， ,

在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2， 直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），可得围成图形的面积：S====，故答案：.

16．解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，即函数f(x)的增区间为(－1，1)．又因为f(x)在(m，2m＋1)上单调递增，所以解得－1＜m≤0.

答案：(－1，0]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．解：(1)f′(x)＝＋2x，由于直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1，2)，

故解得

(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝x，

故切线方程为y－－＝x(x－x0)．由切线过点(2，4)，

代入可解得x0＝2或x0＝－1，∴切点为(2，4)或(－1，1)，则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

18．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<.

所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．

又因为f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1，1)上恒成立，也就是a≥＝

x＋1－在(－1，1)上恒成立．

设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，

即y＝x＋1－在(－1，1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.即实数a的取值范围为.

19．解：当x＜1时，f′(x)＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex.

解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝0.

解不等式f′(x)＞0，可得x＜－2或0＜x＜1，此时f(x)递增．

解不等式f′(x)＜0，可得－2＜x＜0，此时f(x)递减．

因此，f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，0)上递减，在(0，1)上递增．

由于f′(－2)＝f′(0)＝0，可知x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝4e－2＝；

x＝0是函数的极小值点，极小值为f(0)＝0.

又因为f(1)＝e＞，所以函数的最大值点为x＝1，最大值为e；x2ex≥0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为x＝0，而且最小值是0.

20．解：设点C与点B的距离为x km，运输时间为T(x)h，则T(x)＝＋，0≤x≤300.

因为T′(x)＝－＝

－，

令T′(x)＞0，可解得x＞.

因此可知T(x)在上递减，在上递增，从而T(x)在x＝时取得最小值．

这就是说，点C选在离B点为 km时可使运输时间最短．

21．解：(1)由题意得，f′(x)＝3ax2＋b.∵函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－，

∴即解得经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x3－3x.

(2)设切点坐标为(x0，2x－3x0)，则曲线y＝f(x)的切线的斜率k＝f′(x0)＝6x－3，

切线方程为y－(2x－3x0)＝(6x－3)(x－x0)，

代入点M(1，m)，得m＝－4x＋6x－3，

依题意，方程m＝－4x＋6x－3有三个不同的实根．

令g(x)＝－4x3＋6x2－3，

则g′(x)＝－12x2＋12x＝－12x(x－1)，

∴当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；

当x∈(0，1)时，g′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.

故g(x)＝－4x3＋6x2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1.

∴当－3<m<－1时，g(x)＝－4x3＋6x2－3的图象与直线y＝m有三个不同的交点，

∴－3<m<－1时，存在这样的三条切线．

故实数m的取值范围是(－3，－1)．

22．解：(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，

当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

f(x)不存在最小值；

当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，

且0<x<－a时，f′(x)<0，

x>－a时，f′(x)>0.

∴x＝－a时，f(x)取得最小值，

f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.

(2)g(x)<x2即ln x－a<x2，即a>ln x－x2，

故g(x)<x2在(0，e]上恒成立，也就是a>ln x－x2在(0，e]上恒成立．

设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，

由h′(x)＝0及0<x≤e得x＝.

当0<x<时，h′(x)>0，当<x≤e时，h′(x)<0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，

所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln －.

所以g(x)<x2在(0，e]上恒成立时，a的取值范围为.