2023届辽宁省锦州市黑山县高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届辽宁省锦州市黑山县高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求解一元二次不等式求解集合A，再由集合交集的定义求解即可.

【详解】集合，

所以.

故选C.

【点睛】本题主要考查了集合交集的定义，属于基础题.

2．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用降幂升角公式对已知条件进行化简，再通过角的配凑以及两角和差公式即可求解.

【详解】由条件可得，

∵，，

∴，

∵．

故选：A.

3．若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件可知为定义在上的增函数，依次判断各个选项中的函数的定义域和单调性即可得到结果.

【详解】由题意可知：为定义在上的增函数，

对于A，的定义域为，A错误；

对于B，在上单调递减，B错误；

对于C，与均为上的增函数，则为上的减函数，C错误；

对于D，为上的增函数，为上的减函数，则为上的增函数，D正确.

故选：D.

4．将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（    ）

A．5 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】先由函数图象平移规律可得，再由为偶函数，可得（），则（），再由可得出的值.

【详解】由题意可知，

因为为偶函数，所以（），则（），

因为，所以.

故选：C.

5．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用特殊值排除错误选项，进而得出正确答案.

【详解】当时，，排除C、D.

当时，，排除B.

故选:A.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过指、对、幂函数的单调性即可得到结论.

【详解】，，

又，，

.

故选：A．

7．已知函数，则在上的零点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.

【详解】∵

∴

设，画出图像

可得在图像上的零点的个数为3.

故选：C.

【点睛】本题考查函数零点的知识点，涉及到将零点的问题转换为函数的交点，考查了数形结合的思想,属于简单题型.

8．已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得在内有两个零点，分和两种情况，，，可得原题意等价于与，有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解.

【详解】由题意可得：，

因为函数在上恰有两个极值点，则在内有两个零点，

1.当时，则，不合题意；

2.当时，则，可得，

令，，

原题意等价于与，有两个交点，

因为，

当时，则，可得，

则，所以在上单调递增，

可得，当趋近于时，趋近于；

当时，则，可得，

则，所以在上单调递减，

可得，当趋近于时，趋近于；

可得，的图象为

若与，有两个交点，则；

综上所述：的取值范围是.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．

二、多选题

9．已知，，，则（    ）

A．的最小值为25

B．的最小值为

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】将各选项中求最值问题转化为二次函数或者基本不等式求最值问题即可，要注意各选项中等号成立时范围是否满足题意.

【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；

对于B，，当时（此时）取得最小值，故B错误；

对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为，故C错误；

对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.

故选:AD

10．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据最小正周期的公式和函数偶函数的判断方法可得.

【详解】选项A：，最小正周期为,

函数的定义域为，，

故函数为偶函数，故A正确；

选项B：，，

故函数不是偶函数，故B错误；

选项C：，最小正周期为，

函数的定义域为，，

故函数为偶函数，故C正确；

选项D：，

，

故函数不是偶函数，故D错误.

故选：AC

11．在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由可得，进而利用可得结合内角和定理可得C值.

【详解】∵，

∴，

由，可得，

∵，∴

∴，即

解得，又

∴或，即或

故选:AD

12．已知定义在R上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的x可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】构造函数，根据题干条件可证明是偶函数，且在单调递增，在单调递减，转化不等式为，结合的单调性和奇偶性，即得解

【详解】由整理得，

设，则有，所以是偶函数，

因为时，，

所以，

所以在单调递减，

又是偶函数，所以在单调递增，

又不等式

等价于

即，

根据的单调性和奇偶性可得，

解得

故选：ABC

三、填空题

13．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是           

【答案】

【分析】根据不等式恒成立，转化为求的最小值，求实数的取值范围.

【详解】由命题“”是真命题，可知，

的最小值是2，所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：

14．曲线在处的切线的倾斜角为，则______．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求得，再结合同角三角函数基本关系即可求解

【详解】根据已知条件可知：，

因为曲线在处的切线的倾斜角为，

所以，

因为

故答案为：

15．函数（）的最大值是          ．

【答案】1

【详解】化简三角函数的解析式，

可得

，

由，可得，

当时，函数取得最大值1．

四、双空题

16．已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则        ．             ．

【答案】     0     -1

【分析】根据函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到，，然后结合，灵活变形后求出函数的周期，再根据是定义在上的奇函数，得，从而得到，，，根据函数的周期性计算可得；．

【详解】解：因为是定义在上的偶函数，所以，

是定义在上的奇函数，所以，

，

所以，

则，所以，

所以函数是以4为周期的周期函数．

因为是定义在上的奇函数，所以，

由，取，得：，

又，所以，

所以

所以，

所以

所以

．

故答案为：；．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，根据对称性判断出周期，然后通过整体替换求函数的周期是解题的关键．

五、解答题

17．已知为锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；

（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.

【详解】（1），为锐角，且，，则，

，，

，；

（2）由（1），所以，则，

又，，；

.

18．已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到的图象，求函数在上的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；

（2）根据正弦型函数图象的变换性质，运用整体代换思想，结合正弦函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）

，

所以函数的最小正周期为，

由，得单调增区间为.

（2）函数的图象向右平移个单位，

得到，再将横坐标扩大为原来的2倍得到，

令，

.

19．在①；②；③．

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：

在中，内角，，的对边分别为，，，且满足条件______（填写所选条件的序号）．

（1）求角；

（2）若的面积为，为的中点，求的最小值．

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角，化简整理得即可求解；

选②：利用正弦定理角化边，再用余弦定理即可得解；

选③：利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦公式变形即可得解；

（2）利用三角形面积定理求出ab，再用余弦定理建立关系，借助基本不等式即可求解.

【详解】选①：

，

，

，

，

，

；

选②：

，

，

，

，

，

，

；

选③：

，

，

，

，

，

；

（2），又，

，

在三角形中，

，

当且仅当时取等号，

的最小值为

20．已知函数是定义域在上的奇函数．

（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在R上是减函数；

(2)

【分析】(1)根据求出b的值，根据函数的奇偶性求出a的值，得出的解析式，并判断单调性即可.

(2)问题等价于，得到，转化为对恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可.

【详解】(1)因为是定义域在R上的奇函数，有，

所以，

所以

所以，

所以

所以，在R上为减函数；

(2)不等式

等价于，

又在R上为减函数，

所以

即对恒成立，

所以，

即实数k的取值范围为

21．设函数.

 (Ⅰ)当 ,且函数图象过（0,1） 时，求函数的极小值

 (Ⅱ) 若函数在上无极值点，求的范围.

【答案】(Ⅰ)时，极小值为  (Ⅱ)

【分析】(Ⅰ)将点代入函数解得，在求导计算函数极小值.

(Ⅱ)求导，导数大于等于0恒成立，计算得到的范围.

【详解】(Ⅰ当 ,且函数图象过（0,1）时

当或者时， ，递增

当时， ，递减

函数的极小值为

(Ⅱ)

函数在上无极值点恒成立.

即

【点睛】本题考查了函数的极值，函数的恒成立问题，意在考查学生的计算能力.

22．已知，，

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值.

【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即可得解；

（2）根据求得角，设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，再利用正弦定理求得，再根据三角形的内角关系及三角函数求出的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：

，

所以函数的最小正周期，

令，则，

所以函数单调递增区间为；

（2）解：因为，

所以，

又，则，

所以，所以，

设边上的高为，

则，所以，

因为，

所以，

，

则

，

因为，所以，

故，

所以当，即时，，

所以，

即边上的高的最大值为.