2023届重庆市万州第二高级中学高三下学期5月月考数学试题含解析
展开万州二中2022-2023年高三下期5月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，E为AD中点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（ ）
A 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的函数的导函数为，则下列错误的是（ ）
A. 若关于中心对称，则关于对称
B. 若关于对称，则有对称中心
C. 若有1个对称中心和1条与轴垂直的不过对称中心的对称轴，则为周期函数
D. 若有两个不同的对称中心，则为周期函数
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 下列为真命题的有（ ）
A. 90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5
B. 设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8
C. 甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
D 已知随机变量，且，则
10. 已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（ ）
A. B. 平面
C. 二面角的大小为定值 D. 的最小值为
12 已知时，，则（ ）
A. 当时，， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．
14. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______.
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
16. 1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求使成立的最小正整数.
18. 已知在中，为边上的点，且，.
（1）若，，求边的长；
（2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数最大值.
19. 2021年9月15日至17日，世界新能源汽车大会在海南海口召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车，购买新能源汽车将会得到相应的补贴，标准如下：
购买的新能源汽车价格（万元） | ||||
补贴（万元） | 5 | 7 | 10 | 15 |
（1）本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人，统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格（这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间）利用样本估计总体，试估计本月A市的补贴预算（单位：亿元，保留两位小数）
（2）该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试，得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系，请建立与的回归方程（系数精确到）.周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车，请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱（单位：万元，保留两位小数）
售价x（万元） | 66 | 70 | 73 | 81 | 90 |
单次最大续航里程 | 200 | 230 | 260 | 325 | 405 |
（3）某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，活动规则如下：箱子里有2个红球，1个黄球，1个蓝球，客户从箱子里随机取出一个球（每一个球被取出的概率相同），确定颜色后放回，连续抽到两个红球时游戏结束，取球次数越少奖励越好，记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动，请求周小姐取球次数的数学期望.
20. 如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．
（1）求；
（2）当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
21. 有一个半径为4圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）记折痕与的交点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
（2）若直线：（）与曲线交于，两点．
（ⅰ）当为何值时，为定值，并求出该定值；
（ⅱ），为切点，作曲线的两条切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点，若过，求出该定点；若不过，请说明理由．
22. 已知函数.
（1）若，判断的零点个数；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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