2023届山西大学附属中学高三下学期5月月考试题数学含解析

  数学试题

考试时间：120分           总分：150分

一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，为虚数单位，若为实数，则 

A.        B. C.3 D.

2.如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，则  

A.，4，6， B.，4，6， C.，3，4，5，6，D.，2，4，6，

3.已知函数同时满足性质：①；②当，时，，则函数可能为      )

A.        B.      C.       D.

4.我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如图①，是一个“勾股圆方图”，设，，；在正方形中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形，且，如图②．若，且，则  

A. B. C. D.

5.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则椭圆的离心率的概率是   

A. B. C. D.

6. 2021年春节联欢晚会以“共圆小康梦，欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票、乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票分配到家庭的不同方法种数为   

A.48 B.72 C.120 D.240

7.若，，，则　　

A． B． C． D．

8．已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最大值为  

A. B. C. D.

二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有  

A．展开式共有7项 

B．二项式系数最大的项是第4项 

C．所有二项式系数和为128 

D．展开式的有理项共有4项

10．已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值可能是     

A.1 B.3 C.5 D.7

11.已知，，，，且，则的不可能的取值为  

（参考数据：，

A. B. C. D.

12．已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是　　

A.当时，，使得 

B.当时，，使得 

C.当时，，使得 

D.当时，，使得

三．填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列前9项的和为27，，则      ．

14.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值，2，3，，，记这100名高中生身体素质指标值的平均分和方差分别为，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，用的值分别作为的近似值，则估计该市高中生身体素质的合格率为       ．（用百分数作答，精确到

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

15．已知，，，，为抛物线上不同的五点，抛物线焦点为，满足，则        ．

16. （5分）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是         ．

四．解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.记为正项数列的前项积，且，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：

18.在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求的值；

（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．

19.已知双曲线的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称．若双曲线的实轴长为2，焦距为，且点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点、，交双曲线的两条渐近线于点、在轴左侧）．记和的面积分别为、，求的取值范围．

20．如图，在四棱锥中，，，，，且．

（1）若平面，证明：点为棱的中点；

（2）已知二面角的大小为，设平面和平面的夹角为.

求证：满足．

21．为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表

（1）当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为，求的分布列与数学期望；

（2）定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量，相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立．根据的计算公式，求解下面问题：

当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；

（ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？

附：

22．（12分）已知函数．

（1）若单调递减，求的取值范围；

（2）若的两个零点分别为，，且，证明：．

（参考数据：