2023届江西省部分学校高三下学期3月月考数学（文）试题含解析

2023届江西省部分学校高三下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则的元素个数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用交集的定义求得结果.

【详解】因为，所以.

故选：B.

2．若函数的最小正周期大于，则的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的周期性公式求得结果.

【详解】函数的最小正周期为； 的最小正周期为；的最小正周期为；的最小正周期为.

故选：D.

3．青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（    ）

A．两组数据的中位数相等 B．两组数据的极差相等

C．两组数据的平均数相等 D．两组数据的众数相等

【答案】C

【分析】将两组数据从小到大排列，分别根据中位数、极差、平均数、众数的概念及求法，求解并判断即可．

【详解】A组数据按从小到大排列为：4.0，4.4，4.6，4.6，4.6，4.7，4.8，5.0，5.1，5.2，

B组数据按从小到大排列为：4.2，4.4，4.4，4.5，4.8，4.8，4.8，4.9，5.0，5.2，

所以A组数据的中位数为＝4.65，B组数据的中位数为＝4.8，

故两组数据的中位数不相等，故A错误；

A两组数据的极差为5.2－4.0＝1.2，B组数据的极差为5.2－4.2＝1.0，故两组数据的极差不相等，故B错误；

A组数据的平均数为×(4.0＋4.4＋3×4.6＋4.7＋4.8＋5.0＋5.1＋5.2)＝4.7，

B组数据的平均数为×(4.2＋2×4.4＋4.5＋3×4.8＋4.9＋5.0＋5.2)＝4.7，

故两组数据的平均数相等，故C正确；

A组数据的众数为4.6，B组数据的众数为4.8，故两组数据的众数不相等，故D错误．

故选：C．

4．在四面体ABCD中，为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则（    ）

A．AB与CD可能垂直 B．A在平面BCD内的射影可能是B

C．AB与CD不可能垂直 D．平面ABC与平面BCD不可能垂直

【答案】A

【分析】根据线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识确定正确答案.

【详解】当四面体ABCD为正四面体时，

如图所示，在平面上的射影为，即平面，

由于平面，所以.

延长交于，则，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以.

所以A正确，C错误.

若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，B错误.

平面ABC与平面BCD可能垂直，D错误.

故选：A

5．若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.

【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，，

A选项，对于函数，

，所以函数不是奇函数.

B选项，对于函数，

，所以函数不是奇函数.

C选项，对于函数，

，所以函数是奇函数.

D选项，对于函数，

，所以函数不是奇函数.

故选：C

6．的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得.

【详解】，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：D

7．若一个等比数列的首项为，公比为2，S是该等比数列前10项之和，是该等比数列前10项的倒数之和，则（    ）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】B

【分析】易得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列，且其首项为4，公比为，再根据等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列，且其首项为4，公比为．

故．

故选：B

8．已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】先由函数的导函数求得函数原点处的切线与在点处的切线的倾斜角的正切值，再由与两倾斜角的关系结合两角差的正切公式可得.

【详解】由，可得，，则曲线在点O处的切线的倾斜角为，设曲线在点A处的切线的倾斜角为，则．

由图可知，．

故选：A

9．已知两个单位向量满足与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量数量积解决夹角问题，根据所列方程求解即可.

【详解】依题意可得，

令，得，解得，因为，所以.

故选：A

10．若函数有零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过导数求解函数的单调区间，得到其最小值，令最小值小于等于零进行求解即可.

【详解】已知函数，则，，

当时，；当时，.

在区间上单调递减；在区间上单调递增.

所以，则，又，

所以.

故选：C.

11．已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，，，，则D的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，进而求得椭圆的离心率.

【详解】设椭圆D的方程为，

如图，点C的横坐标为，纵坐标为，

因为，所以，

将点C的坐标代入，得，解得，

故.

故选：D

12．已知数列共有m项，，且当时，．当项数m的最大值为220时，常数p的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当项数m最大时，，则，m的最大值为220，解得．

【详解】当时，，

当项数m最大时，，则，

，

将以上各式相加得，

即．

因为m的最大值为220，所以，

解得．

故选：C

二、填空题

13．如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 1 次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机按其中一个开关1次，则（2，3）的状态发生改变的概率为__________.

【答案】

【分析】若要使得的状态发生改变，要将上、下相邻或左、右相邻的开关改变状态，用古典概型求解.

【详解】若要使得的状态发生改变，则需要按这五个开关中的一个，共有16个开关，故所求概率为.

故答案为：

14．写出一个满足下列两个条件的复数：______.①的实部为5；②z的虚部不为0.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据复数运算、实部、虚部的知识写出正确答案.

【详解】设，则，

依题意可得，.

故可取，.

故答案为：（答案不唯一）

15．设是函数图象上一点，，若，则__________.

【答案】

【分析】的图象是双曲线的一部分，由双曲线的定义结合题意求解即可.

【详解】设，则，

则的图象是双曲线的一部分.

因为，所以是双曲线的焦点，

则，

所以，

所以.

故答案为：.

16．将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______.

【答案】108

【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.

【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即.

故答案为：

三、解答题

17．分别为的内角的对边.已知.

(1)若的周长为，求；

(2)若，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）用正弦定理由得，再由周长为求得；

（2）由条件求得，由余弦定理求得，从而有，根据的范围可得.

【详解】（1）因为，所以，

又因为的周长为，所以

所以.

（2）证明：因为，所以，

则，

，

因为，

所以，

又，所以均为锐角，

所以为锐角，所以.

18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为的中点.

(1)过作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；

(2)设分别为棱上一点，与均不重合，且，求三棱锥体积的最大值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）取的中点H，连接，所以截面为要求作的截面.通过面面平行的判定进行证明；

（2）利用三棱锥的体积公式并结合均值不等式进行求解.

【详解】（1）取的中点H，

连接，所以截面为要求作的截面.

理由如下：

因为E，F分别为的中点，所以，又平面平面，所以平面.

在正方形中，因为G为的中点，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，同理可证，

又平面平面，可得平面.

又，平面，所以平面平面.

连接，因为G为的中点， H为中点，所以，又，则，

所以，B，H，G四点共面，从而截面为要求作的截面.

（2）设，由，

得，则，

当仅当时，等号成立.

，

因为，所以三棱琟体积的最大值为.

19．2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.

(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.

(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？

（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.

参考公式：，，.当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.

参考数据：.

【答案】(1)具有很强的线性相关关系,

(2)（ⅰ）35.25百万元

（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一

【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.

（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.

（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.

【详解】（1），

.

，

，

，

代入公式可得相关系数.

由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.

经计算可得，

.

所以所求线性回归方程为.

（2）（ⅰ）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元.

（ⅱ）因为％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.

发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，

比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；

A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.

（只要写出一个原因即可）.

20．已知定义在上的函数的导函数都存在，且.

(1)若，求的取值范围；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件得，可得a的取值范围；

（2）将条件转化为，构造函数，对函数求导数，研究单调性，得，即可证明命题.

【详解】（1）因为，，，

所以，

因为，所以，

因为，所以，即的取值范围是.

（2）证明：由，

得.

设函数，

则

所以在上单淍递增.

因为，

所以，

即，

即.

21．已知抛物线的焦点为为圆上一动点，且的最小值为.

(1)求的方程；

(2)在的准线上，过作直线的垂线交于两点，分别为线段的中点，试判断直线与的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)

(2)直线与相切，理由见解析

【分析】（1）由的最小值，可求出，从而得到的方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立方程组，设的坐标分别为，直线的方程为，则，表示出点和的坐标和直线的方程，利用韦达定理和判别式证明直线与相切.

【详解】（1）圆，圆心，半径为，

因为，所以，

又，所以，故的方程为.

（2）设直线的方程为，如图所示，

由，得直线的方程为，

则点的坐标为.

联立消去后整理得，

设的坐标分别为，则，，

可得点的坐标为.

由分别为线段的中点，可得点的坐标为，即，

同理可得点的坐标为.

当时，点的坐标为，轴，直线的方程为，显然与相切.

当时，直线的斜率为，

则直线的方程为，

将代入，得，整理得，

将代入，得直线的方程为，

联立方程得，

则，可得直线与相切.

综上，直线与相切.

【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，半径为2，且圆C经过极点．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P为圆C上的动点，过P作直线的垂线，垂足分别为A，B，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设为圆C上一点，再根据圆的性质与三角函数关系求解即可；

（2）根据极坐标与直角坐标的互化可得圆C的直角坐标方程，再设，进而表达出面积，结合二次函数与三角函数的值域求解即可.

【详解】（1）如图，设为圆C上一点，O为极点，为圆C的直径，

连接，则，

则．

故圆C的极坐标方程为．

（2）极坐标中的直线对应的直角坐标方程为．

因为圆C的直角坐标方程为，设，

所以，，

则的面积；

设，则，

当时，S取得最大值．

23．已知函数．

(1)若，证明：．

(2)记集合，试判断A与B的关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)，理由见解析.

【分析】（1）利用绝对值三角不等式，结合正弦函数最大值推理作答.

（2）分段讨论解含绝对值不等式得集合A，再求出集合B作答.

【详解】（1）当时，，当且仅当，即时取等号，

而，所以.

（2）依题意，，，

不等式化为：或或，

解得，解得，解得，

因此，

由，得，解得，

因此，

所以.