2023届江西省贵溪市实验中学高三下学期第四次月考数学（理）试题含解析

2023届江西省贵溪市实验中学高三下学期第四次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出，即得解.

【详解】∵，

∴

∴

∵，

∴.

故选：D

2．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为，若图中粽子的底面边长为，高为，则该粽子的重量大约是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等边三角形面积公式和正三棱锥体积公式求出粽子的体积，然后利用密度公式计算粽子的质量.

【详解】由题知，

粽子的体积，

根据可得，

该粽子重量大约为，

与C选项最为接近.

故选：C

3．已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】举反例判断充分性，再证明必要性得解.

【详解】若∥，，如果，则“”不一定成立.如图所示，所以“，”是“”非充分条件.

如果“”， 又，所以，因为，所以，所以“，”是“”的必要条件.

所以“，”是“”的必要非充分条件.

故选：B

4．数列是等差数列，若，，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列性质得到，得到答案.

【详解】，故.

故选：C

5．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，求出不等式的解集即可.

【详解】函数的定义域为.

，则.

令，解得.

故选：D

6．已知平面向量，满足，若，，则，的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，的夹角为，由数量积的定义和模长公式求解即可.

【详解】设，的夹角为，，则，

由可得：，则，

所以，解得：.

因为，故.

故选：D.

7．在等差数列中，，，依次成公比为3的等比数列，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】B

【分析】直接利用等差数列和等比数列的公式计算得到答案.

【详解】，故，，

即，，解得.

故选：B

8．已知数列的前项和满足，数列满足，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用与的关系，求出数列的通项公式，再通过判断数列的单调性即可得出答案.

【详解】当时，，可得，

当时，，，两式相减得，

即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以；

所以，所以，

令得，，又，所以，此时有，

当时，，即，此时数列是递减数列，故有.

故选：C.

9．已知正项等比数列中，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由条件可得，然后由代入计算，结合二次函数的最值即可得到结果.

【详解】由题意，设等比数列的公比为，则

因为，即，即，

所以，

则，

所以当时，.

故选:B

10．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，先证明，再以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，利用向量法求出，再利用函数求出最值即得解.

【详解】如图所示，连接. 由题得，所以是等边三角形，所以.

因为平面，所以.以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设.

则.

由题得,

.

设.

所以.

设异面直线与所成角为，

则.

当时，最大为，此时最小，最小值为.

故选：C

11．已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和对称性得到函数周期，变换，代入计算得到答案.

【详解】偶函数的图象关于点中心对称，

则，且，故，

，故函数为周期为的函数，

.

故选：C

12．三棱锥中，D是PA的中点，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，，即平面，三棱锥的外接球即边长为的正方体的外接球，求解即可.

【详解】因为D是PA的中点，，，，

所以由余弦定理可得：，

所以，解得：，

所以，故，

由，则，

所以，

因为，则，，则

所以，故，故，

平面，故平面，

所以可将三棱锥放在如下图所示的正方体中，

故棱锥的外接球的半径为，

故三棱锥的外接球的体积为：.

故选：D.

二、填空题

13．函数的最小正周期是______．

【答案】

【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解.

【详解】所以最小正周期为，

故答案为：

14．在三棱锥中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的正切值为______．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角的余弦值，根据同角关系即可求解正切值.

【详解】由于BA，BC，BD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

,

设平面的法向量为，则,

所以 ，取，则，

又平面轴，所以平面的法向量为，

设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，

所以 因此，

故答案为：

15．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥内切球的表面积是圆锥底面积的___________倍.

【答案】

【分析】利用圆锥侧面积和底面积的比求得，进而求得圆锥内切球半径与底面半径的关系式，从而求得内切球表面积是圆锥底面积的倍.

【详解】圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径r=BD，母线为l，则，，所以，得l=2r，如图，可知是正三角形，O是内切球球心，R=OD是内切球半径，所以，所以内切球表面积，所以，所以内切球表面积是圆锥底面积的倍.

故答案为：

16．已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．

【答案】

【分析】变换得到，设，得到，利用累加法计算得到答案.

【详解】，则，

设，，则，

，

故.

故答案为：

三、解答题

17．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，______，若三角形唯一，求此时的周长，若不唯一，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】见解析

【分析】根据余弦定理边角互化可得，进而结合正余弦定理，即可求解的长度，即可根据唯一性求解.

【详解】由得，

即，

即，

若选①，由正弦定理可得，即，

，，即

即，得，得，，

此时三角形唯一，则周长为，

若选②，

，，即，

得，得，联立得或，

此时三角形不唯一，故不符合要求，舍去，

若选③，

，，，得，

则，即，得，

则或，此时构成三角形不唯一，不符合要求，舍去.

18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．

(1)证明：；

(2)求点E到平面的距离．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）利用空间直角坐标系，利用向量垂直即可求证线线垂直，

（2）利用空间向量即可求解点面距离.

【详解】（1）由于平面ABC，，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

则,

，所以故

（2）由题意可知是，的中点，所以,

设平面的法向量为，则

,

故 ，取 ，则

所以点E到平面的距离为

19．设数列的前n项和为，，是公差为1的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)记，解关于n的不等式．

【答案】(1)

(2) 且，

【分析】（1）根据等差数列的性质，结合即可求解的通项，进而可得，

（2）根据裂项求和可得，即可求解.

【详解】（1）由是公差为1的等差数列，可得，

所以，

所以，

当时，，所以，

当时，也符合，所以

（2），

所以

由得，由于，所以 且，

20．已知，分别为等差数列和等比数列，，，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据错位相减求和法进行求解即可.

【详解】（1）已知为等差数列，由，则，解得，

又， 则，代入，解得，

所以.

已知为等比数列,，，又，，

则，，所以公比，.

（2）由（1）得，

则，

，

则，

所以数列的前项和．

21．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面ABP是全等三角形，侧面PBC是正三角形，，，，D、E、F、G分别是所在棱的中点，平面ADE与平面CFG相交于直线MN．

(1)求证：∥；

(2)求直线PC与平面ADE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形重心的性质，先证明//，然后根据平行的传递性得出证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决.

【详解】（1）由为的中线，于是的交点即为的重心，根据重心性质可知，，同理可说明，于是和相似，故，故//. 又是中对应的中位线，故//，于是//.

（2）

由，，可知，又底面与侧面是全等三角形，注意到，于是，则，又，平面，于是平面.

连接，由于，故（三线合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面.

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，则.

,,设平面的法向量为.

,则为其中一个法向量.

又，则直线PC与平面ADE所成角的正弦值为：

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点顺时针方向旋转与曲线交于点．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)求的面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，先将参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；

（2）根据题意，设，设，然后结合极坐标方程，代入计算，即可得到的面积的范围，从而得到结果.

【详解】（1）因为，则，且，则，

根据，转化为极坐标方程为.

（2）由（1）可知，曲线的极坐标方程为，

设，

则

由于，则，即，

所以，即，所以

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设函数的值域为，，，试比较与的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段去绝对值求解，然后取并集可得；

（2）分段求值域，然后作差，因式分解，根据a，b范围可得.

【详解】（1）

所以或或

解得或或

综上，不等式的解集为

（2）当时，，

当时，，即

当时，

综上，函数的值域，

因为，所以，

所以，所以