2023届广西防城港市高级中学高三下学期2月月考数学（理）试题含解析

2023届广西防城港市高级中学高三下学期2月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据分式不等式的解法，结合绝对值不等式的公式解法、集合交集的定义进行求解即可.

【详解】由或，

，

所以

故选：B

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】求得，进而可得.

【详解】，，.

故选：B．

3．已知向量，，且，则与夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可.

【详解】依题意有，

∴，，∴，

又，∴．

所以与的夹角为，

故选:D．

4．下列说法正确的是（    ）

A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

C．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半

D．在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

【答案】D

【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；第二组数据是由第一组乘以2得到的，可由方差的关系判断C；由回归分析模型的性质以及回归方程b的含义判断D．

【详解】对于A选项：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A选项错误；

对于B选项：概率只说明事件发生的可能性，事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B选项错误；

对于C选项：根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C选项错误；

对于D选项：在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D选项正确．

故选：D．

5．若实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的最优解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时在上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为.

故选：C.

6．如图所示，函数（且）的图像是（    ）.

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.

【详解】，

根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，

故选：C.

7．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．30

【答案】C

【分析】使用分配律后再由二项式定理的展开式的通项公式赋值计算可得结果.

【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为.

故选：C.

8．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高.

【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.

故选：C

9．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，列出方程，得到，两边取对数后，求出的值.

【详解】由题意得：，即，

两边取对数得：，

故.

故选：A

10．从今年8月开始，南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，现从6名教师志愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（    ）种

A．90 B．270 C．540 D．1080

【答案】C

【分析】先选出4人有种方法，再分为3组，最后分配到3个岗位.根据分步乘法计数原理将各步的结果乘起来即可得出答案.

【详解】用分步乘法计数原理：

第一步，从6名教师志愿者中选派4人，不同的选派方法种类为；

第二步，将选出的4人分为3组，不同的分组方法种类为；

第三步，将分好的3组，分配到不同的3项工作，不同的分配方法种类为.

所以，不同的选派方法种类为.

故选：C.

11．已知是椭圆的右焦点，为的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，的面积为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据得，进而代入椭圆方程得，进而可得离心率.

【详解】解：由题知，，设，则易知，

因为的面积为，

所以，

所以，解得，即，

因为在椭圆上，

所以，即，

所以，的离心率为.

故选：A

12．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，原不等式可整理为，求导得到的单调性，构造函数，求导，根据单调性得到，然后分和两种情况解不等式即可.

【详解】不等式可整理为，

令，定义域为，则原不等式可看成，

，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，

令，则，令，则，令，则，

所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即，

当时，，，所以，解得；

当时，，，所以，不成立；

综上可得，不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】根据不等式形式构造新函数进而判断新函数的单调性是解题的关键.

二、填空题

13．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则      .

【答案】/3.5

【分析】由题意列出方程，求出.

【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.

故答案为：.

14．已知向量，，若，则的值为      .

【答案】

【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.

【详解】已知向量，，若，则有，

∴.

故答案为：

15．设函数，          ．

【答案】9

【分析】分段函数求函数值，代入对应的解析式求解即可.

【详解】

故答案为：9

16．如图，在矩形中，为的中点，点分别在线段上运动（其中不与重合，不与重合），且，沿将折起，得到三棱锥.当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为          .

【答案】

【分析】沿将折起，当平面时，三棱锥的体积最大，此时，在利用二次函数的性质即可求出的最大值，当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，求出三棱柱的外接球的半径，从而求出三棱锥的外接球的体积．

【详解】解：设，则，

沿将折起，当平面时，三棱锥的体积最大，

此时，

当时，取最大值，最大值为1，

此时，，，为等边三角形，

当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，如图所示：

则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，

设点，分别是上下底面正三角形的中心，

线段的中点即是三棱柱的外接球的球心，

又是边长为2的等边三角形，，

三棱柱的外接球的半径，

三棱锥的外接球的体积为，

故答案为：．

三、解答题

17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：

规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．将频率视为概率．

(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？

(2)从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中成绩良好和优秀的人数之和，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）用样本的频率来估计总体的概率即可；

（2）利用二项分布求概率的方法求概率，得到分布列，然后求期望即可.

【详解】（1）∵80分及以上为优秀，∴．

∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是．

（2）在全校学生中任选一人，其成绩良好或优秀的概率为．

X的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

∴X的分布列为

∴．

18．已知等差数列满足，，的前n项和为．

(1)求及的通项公式；

(2)记，求证：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前项和；

（2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得，

，

；

（2）由（1）得，

，

即.

19．如图，等腰梯形中，//，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

(1)证明：；

(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，证明平面即可；

（2）结合直线与平面所成的角，先证明平面，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面所成的角

【详解】（1）连接，设的中点为，由//，，故四边形为平行四边形，∴，故，为等边三角形，故，，折叠后，又，且平面，故平面，又平面，故

（2）由（1）已证得平面，故在平面内可作平面，垂足为，则在直线上，直线与平面夹角为，又，故，∴两点重合，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的一个法向量为，则，即，令得，

又平面，显然为平面的一个法向量，

设平面与平面夹角的大小为，则

所以.

20．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

(1)求双曲线C的标准方程与离心率；

(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；

（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.

【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，

则

因为一条渐近线方程为，所以，

又，解得，，

所以双曲线的标准方程为，

离心率为．

（2）设直线：，，，

联立

则，

所以，

由

解得（舍）或，

所以，

：，令，得，

所以的面积为，

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.

（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

而，当时，由得，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，由得，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，

任意，存在，使等价于，恒成立，

则有，成立，令，

则，当时，，当时，，

即有在上单调递增，在上单调递减，，

因此当时，最大值为，则，

所以实数的取值范围是.

22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线的方程为.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线l和曲线的极坐标方程；

(2)设曲线分别交直线l和曲线于M，N，求的最大值.

【答案】(1)直线l：，曲线；

(2).

【分析】（1）公式法写出直线l和曲线的极坐标方程；

（2）由（1）所得极坐标方程知：、，进而可得，利用正弦函数的性质求最大值即可.

【详解】（1）由题知，直线l的普通方程为，

曲线的普通方程为，又，，

∴直线l的极坐标方程为，化简得曲线的极坐标方程为.

（2）直线l的极坐标方程为，令，则，

的极坐标方程为，令，则，

故，其中，又，

∴的最大值为.

23．已知函数.

(1)求的值域；

(2)若的最大值为m，正实数工x，y，z满足，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）写出的分段形式，结合各区间的定义域求值域即可.

（2）由（1）得，再应用柯西不等式证明不等式，注意等号成立条件.

【详解】（1）当时，，

当时，，

当时，，

综上，的值域为.

（2）由（1）知：，则，

∴由柯西不等式得：，即，当且仅当时，取等号.