2023届广东省韶关市南雄中学高三下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2023届广东省韶关市南雄中学高三下学期4月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省韶关市南雄中学2023届高三下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（    ）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】利用复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式得到的根，从而得到，再由复数的模的定义即可求解.【详解】复数是一元二次方程的一个根，又，该方程的根为，即或，则.故选：B．2．设集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再利用并集的运算即可求解.【详解】集合，又因为集合，由交集的定义可得，，故选：C.3．在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（     ）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得，所以，，所以.故选：A.4．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.【详解】，则，所以，所以.故选：C.5．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（    ）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，因为，所以，且，，所以球的半径，所以球缺的高，所以球缺的体积，所以该壶壶身的容积约为：.故选：A.6．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出从8个点中任取3个点的所有情况，求出满足条件的情况 即可求出.【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种情况，则所求的概率.故选：A.7．正方体的棱长为1，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，点在以为球心，半径的球面上，进而依次讨论该球与三棱锥的表面的交线即可得答案.【详解】解：由题设知点在以为球心，半径的球面上，所以点P的轨迹就是该球与三棱锥的表面的交线．由正方体性质易知三棱锥为正四面体，所以，点到平面的距离，所以球在平面上的截面圆的半径，所以，截面圆的圆心是正中心，正的边长为，其内切圆的半径．因此，点P在面内的轨迹是圆在内的弧长，如图所示．，所以，所以，所以，点P在此面内的轨迹长度为．因为平面ABCD，所以球在平面ABCD上的截面圆心为A，其半径，又，所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧，如图所示，，所以，从而，所以．由于对称性，点P在平面和平面内的轨迹长度都是，故点P在三棱锥的表面上的轨迹的长度是．故选：A8．已知，，，则（    ）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【答案】A【分析】根据数的结构构造函数，利用导数法研究函数的单调性，最后利用单调性比较大小即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，又，所以，又，，，所以c＞b＞a，故选：A 二、多选题9．下列说法正确的有（    ）A．若随机变量服从正态分布，则B．数据的第70百分位数为8C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】ABC【分析】利用正态分布对称性计算即可得A正确；将数据按照从小到大顺序重新排列可计算出第70百分位数为8；由回归分析相关指数公式可得残差平方和越小，拟合效果越好；根据独立性检验可知时，犯错误的概率超过0.05.【详解】由正态分布的对称性可知，若，则，所以，故正确；数据重排后如下：共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故B正确；回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故C正确；由独立性检验可知，犯错误的概率会超过0.05，即D错误.故选：ABC.10．如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（    ）A．B．点P在线段上C．平面D．直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为【答案】BC【分析】对A，由面面平行说明；对B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C，P三点共线；对C，由向量法证，再由线线垂直证平面；对D，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长，所以，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，所以，，．因为，所以，所以，即，所以，所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确；对于C，，，，，，由，因为，，平面，所以平面，C正确；对于D，，，平面的一个法向量为．设与平面的夹角为，为锐角，其正弦值为．由，得，D错误．故选：BC．11．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）A．的图象关于点对称B．在上有且只有5个极值点C．在上单调递增D．的取值范围是【答案】CD【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.【详解】由题设，在上，若，所以在上有5个零点，则，解得，D正确；在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；且，故不为0，A错误；在上，则，故递增，即在上递增，C正确.故选：CD12．定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(    )A．的图象关于对称 B．4是的一个周期C．  D． 【答案】AD【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.对B：令,由及可得到的图象于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期.对C：举例说明.对D：由的周期性求得的值.【详解】对A：因为关于对称,有，令，则，的图象关于对称.选项A正确；对B：由题设条件得，令，有，则的图象于对称，因为，有，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，所以，所以，所以4为的一个周期，即，则.选项B不正确；对C：由上知图象关于对称，对称，则令符合题意，而.故C不正确;对D：因为图象关于对称，所以， 故，有.选项D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题也转化为的求值问题. 三、填空题13．的展开式中含项的系数为________.【答案】【分析】先将原式整理得到，根据题意，只需求出中含的系数，即可得出结果.【详解】因为，而中含的系数为，所以的系数为.故答案为【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.14．已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．【答案】（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.【详解】设点，由可得，整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，所以，直线的方程可为.故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.15．已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为________【答案】【分析】连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【详解】设，则，，由，得，，在△中，，又在中，，得故离心率【点睛】本题考查了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.16．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．【答案】/【分析】根据给定的不等式，两边同乘x，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.【详解】由得，即，令，求导得，则在上单调递增，显然，当时，恒有，即恒成立，于是当时，，有，从而对恒成立，即对恒成立，令，求导得，则当时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以实数m的最小值是．故答案为：【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解. 四、解答题17．已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，即可证明.【详解】（1）依题意可得，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：由（1）可知，所以，，所以成立.18．已知的内角的对边分别为，且.(1)求的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用诱导公式、和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到；（2）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范围即可.【详解】（1），，，，，，可得，，又，.（2）为锐角三角形，，解得，则，，，.的取值范围是19．如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.(1)证明：直线平面.(2)若在直线上且为锐角，当时，求面与面的夹角余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由得平面，利用线面平行的性质可得，由平面平面和，可得平面，从而可得平面；（2）由题意，当时可得，以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得面与面的法向量，利用向量夹角公式求解.【详解】（1）分别是的中点，，又平面，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面.（2）是的中位线，，而，，又，当时，，又因为，故此时，以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，令平面的法向量为，则，令，则，令平面的法向量为，则，令，则，因为，所以面与面的夹角余弦值为.20．作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．【答案】(1)0.375(2)0.4 【分析】(1)利用条件概率公式求解；(2)利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，根据题意，，记“小明获胜”，则有，，，由全概率公式，小明在比赛中获胜的概率为，所以小明获胜的概率为0.375．（2）小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为，即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．21．已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，．(1)求直线的方程（含m）；(2)证明直线过点C，并比较与的大小．【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）利用易知分别求出两点处的切线方程，将分别代入两切线方程即可得直线的方程为；（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理可得的中点，同理根据（1）中结论可得直线的方程为，显然在直线上；联立双曲线和直线方程可得即为中点即可得.【详解】（1）根据题意可设，由已知可得双曲线在处的切线方程为，同理，在处的切线方程为；又两切线交点为，所以满足，即同时满足方程，所以直线的方程为.（2）联立整理可得，所以,即可得线段的中点，设，根据已知可得在两点处的切线方程分别为，；两切线交点为，所以可得直线的方程为，整理可得；易知满足直线方程，即直线过点C；联立双曲线与直线方程，整理可得，所以，可得，所以的中点坐标为，即为的中点，即；易知的面积为，的面积；又，可得；即与的大小关系为.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目提供的已知条件直接写出双曲线在某点处的切线方程，再根据两切线交点坐标得出两切点的直线方程，联立并利用韦达定理化简即可实现问题求解.22．已知函数，.(1)求函数在处的切线方程；(2)（i）若函数在为递减函数，求的值；（ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）（ii） 【分析】（1）根据题意求出斜率，求解计算即可；（2）（i）设，讨论单调性求解即可；（ii）根据条件得，分和两种情况构造函数求解即可.【详解】（1）因为，所以.函数在处即过点的切线方程：，故所求的切线方程为：.（2）（i）设，则， ，当时，，在为增函数.当时，，在为增函数与在为减函数矛盾；当时，时，在增函数，时，，在减函数，，因为在为减函数，所以成立.记，则，因为时，，时，，所以，又，所以. （i i）由（i）成立的条件，即，则.因为，（不妨设）.所以又在为减函数，而，所以只有和两种情况. 当时，，所以， 当时，所以.，记，所以在为递增函数，又，在为递减函数，所以又时，，，因为，所以.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．