2023届安徽省六安第一中学高三第八次月考数学试题含解析

这是一份2023届安徽省六安第一中学高三第八次月考数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省六安第一中学高三第八次月考数学试题

一、单选题
1．设全集，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案.
【详解】解得，
全集，
则，
故选：D.
2．在复平面内，复数对应点的坐标是，是复数的共轭复数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标，写出，再写出，利用复数除法法则计算即可.
【详解】因为复数对应点的坐标是，
所以，则
所以.
故选：A.
3．设是等比数列，且，，则（    ）
A．8 B．12 C．16 D．32
【答案】D
【分析】由得出，进而得出.
【详解】设公比为，因为，所以，
则.
故选：D
4．已知平面向量，满足，，，则，夹角的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算性质，利用夹角公式直接求解.
【详解】因为，所以.
因为，，所以，
所以，
又，所以．
故选：C．
5．为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果．某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示．若图中，，且，则（    ）

A．44 B．66 C．88 D．110
【答案】A
【分析】根据二倍角公式得到，代入式子得到，解得答案.
【详解】，即，所以，
，解得，
故选：A.
6．已知点为抛物线上一点，过点A作准线的垂线，垂足为B，若（O为原点）的面积为，则（    ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案.
【详解】由题意点为抛物线上一点可得，
即，则的面积，
解得，
故选：B
7．已知函数，则下列结论错误的是（    ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】B
【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；
对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值；
对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可；
对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案.
【详解】对于A ，，当时，，，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时取得极大值，当时取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，

设切点为，则切线的斜率

化简
由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，，
令，解得或，
当，，当，，当，，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
存在极值点，
由得
令，
，于是，
所以
，
化简得：，
，，于是，
.故选项D正确；
故选：B
8．我市正在创建全国文明城市，全民参与创城活动．我校现将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行志愿者活动，每个社区至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社区”；B表示事件“志愿者乙派往①社区”；C表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（    ）
A．事件A与B相互独立 B．
C．事件A与C为互斥事件 D．
【答案】B
【分析】利用部分平均分组公式，可得总事件数，根据题意，分情况，利用古典概型，求得概率，根据独立事件的概率公式、互斥事件定义，以及条件概率公式，可得答案.
【详解】每个社区至少派一名志愿者，则有种方法，
事件：甲派往①，则若①社区分2人，则有种，若①社区分1人：则有种，共有种，∴，同理，
若甲与乙同时派往①社区，则①社区分两人，有种，
∴，，A错误；
事件：志愿者乙派往②社区，若②社区分2人，则有种，若②社区分1人，则有种，共有种，
∴，若事件，同时发生，则有种，
∴，，B正确；
由互斥事件概念易知，C错误；
由，D错误，
故选：B

二、多选题
9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（    ）

A．甲城市日均气温的中位数与平均数相等
B．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
C．乙城市日均气温的极差为
D．乙城市日均气温的众数为
【答案】AD
【分析】根据图表中的数据，计算平均值、极差、众数结合图形即得.
【详解】甲城市的气温分别为，，，，，，；
乙城市的气温分别为，，，，，，．
对于A，甲城市气温的中位数为；平均数为，故A正确；
对于B，根据折线图知乙城市的日均气温更稳定，故B错误；
对于C，乙城市日均气温的极差为，故C错误；
对于D，乙城市日均气温众数为，故D正确．
故选：AD．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．
B．在区间上单调递增
C．是函数的一条对称轴
D．将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图像
【答案】AC
【分析】根据图象得到周期可判断A，再求出函数解析式根据余弦函数单调性判断B，利用余弦型函数性质判断C，根据图象的变换判断D.
【详解】由图象可知，，，
又，，，
,
，，故A正确；
当时，，
故不单调，故B错误；
当时，，
所以是函数的一条对称轴，故C正确；
将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），可得，
再将所得图象向右平移个单位长度得到，
故D错误.
故选：AC
11．如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，过AE的截面与棱BB、分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（    ）

A．当点F为棱中点时，截面的周长为
B．线段长度的取值范围是
C．当点F与点B重合时，三棱锥的体积为
D．存在点F，使得
【答案】ABC
【分析】延长交延长线于，连接，利用比例式及勾股定理计算判断A；用长表示长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断D作答.
【详解】在直三棱柱中，，，E为的中点，有，
延长交延长线于，连接，如图1，令，
于是，即，由，得，即，

对于A，当点F为棱中点时，，，，
，，
所以截面的周长为，A正确；
对于B，显然在上单调递增，所以，B正确；
对于C，当点F与点B重合时，如图2，，，，三棱锥的体积：
，C正确；
对于D，以点C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，
，，显然与不垂直，
因此不存在点F，使得，D错误.
故选：ABC
12．已知在数列中，，，下列说法正确的是（    ）
A．存在实数，使数列单调递增
B．若存在正整数n，使，则
C．当时，对任意正整数n，都有
D．若对任意正整数n，都有，则
【答案】AD
【分析】根据递推关系式，结合数列的单调性判断A正确，取特殊值判断BC，利用累加法和反证法可得D．
【详解】，
当时，使恒成立，此时,故数列单调递增,故A正确，
对B,取则，，即存在正整数，使，但．故B不正确．
对C,取，则,．故C不正确．
对D,,即．累加可得：．
假设，则存在充分大的，使得,这与题设矛盾，所以．D正确
故选：AD．

三、填空题
13．若数据0，1，2，3，4，5，7，8，9，10的第60百分位数为n，求展开式中的常数项是__________．
【答案】
【分析】计算第60百分位数，再由组合知识求二项展开式的常数项.
【详解】，
第60百分位数
则的常数项为，
故答案为：
14．若直线平分圆的周长和面积，则的最小值是__________．
【答案】2
【分析】首先由条件可得，再利用基本不等式求最值.
【详解】由题意可知，直线过圆的圆心，即，
所以，
当，即时，等号成立，
所以的最小值是2.
故答案为：2
15．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________．

【答案】/
【分析】根据椭圆的焦点三角形以及内切圆的性质，结合两点距离公式化简得，由等面积法可得，由斜率关系即可代入化简求值.
【详解】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设,
则
，
故，，
，
由于点在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
当代人得（负值舍去），
故答案为：


四、双空题
16．已知，过点倾斜角为的直线l交C于A，B两点（A在第一象限内），过点A作轴，垂足为D，现将C所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得平面平面BPD，连接AB，则线段AB的长为__________，三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】翻折前，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点A，的坐标，然后得三棱锥的结构特征，AB的长，外接球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】翻折前，设点、，则，直线的方程为，
联立可得或，即点，，
易知点，则，，，，
翻折后，如图，因为平面平面，平面平面，
又因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，，
设四棱锥的外接球半径为R，外接圆半径为，
则，则，
所以，
外接球表面积为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：棱锥有一条侧棱垂直于底面时，设棱锥高为，底面外接圆半径为，棱锥外接球半径为，则.

五、解答题
17．在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因为,所以，
所以，又,
所以．
若选②，由，得
，
∴，
因为,所以，当时，不存在，
所以，又,
所以．
若选③，因为的面积为，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵内切圆半径为，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
联立，得，解得，
所以．
18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面SCD是等边三角形，侧面SBC是等腰直角三角形，．

(1)求证：平面；
(2)若P是棱SC上的一点，且平面PBD．求直线AP与平面SAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据长度关系可由勾股定理证明线线垂直，由线线垂直即可求证线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线面角.
【详解】（1）在梯形中，作于点E．
因为，，，
所以四边形是正方形，且，，
所以，，
在中，，，，
所以，所以．
在四棱锥中，由，，平面，平面，
，∴平面,

（2）连接AC交BD于点F，连接PF，
因为平面，平面平面，平面,
所以，因为，
所以，所以，
∴．
由，，可知，
又由于（1）平面，平面,故平面平面，
又两平面的交线为,,平面,所以平面,
故BC，BD，BS两两垂直，故可以点B为原点，
以BC,BD,BS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
由，可得，所以．
平面SAB的法向量为．
则，所以直线AP与平面SAB所成角的正弦值．
19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，．
(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式
(2)若表示不超过x的最大整数，如，．求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1

【分析】（1）由与的关系结合等差的定义证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）由裂项相消求和法结合不等式的性质得出，再由题设定义得出的值．
【详解】（1）因为，所以当时，，
即，而，有，
所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；
，则，
当时，，
又满足上式，所以的通项公式为．
（2）因为，所以当时，，
故，
当时，，所以对任意的，都有．
又，
所以，所以．
20．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中近似为（1）中计算的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取4位，求4位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量X服从正态分布，则，,，，，．
【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23
(2)0.0006

【分析】（1）首先根据每一层的均值和方差，代入总体样本的均值和方差公式，即可求解；
（2）首先由参考公式计算，再根据独立重复事件求概率.
【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．
则，；，．记总样本数据的平均数为，方差为．
由，，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本平均数，
根据方差的定义，总样本方差为


由，可得
同理，，
因此，

，
所以总样本的均值为17，方差为23，
并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．
（2）由（1）知，
所以，又因为，
所以，
,
因为
所以,
所以4位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.0006．
21．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点到渐近线的距离为2，实轴长为4．

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与交于M，N两点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由实轴长以及焦点到渐近线的距离即可求解，，
（2）将问题转化为，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理，代入即可化简求值.
【详解】（1）因为实轴长为4，即，，
又渐进线方程为,焦点为,故焦点到渐近线的距离为，
所以，故C的方程为．
（2）因为，又，即，
故，即，所以，
设，，，由题意可知，
有题意可知直线斜率，
则直线，直线，
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，
可知，故M坐标为，所以，
又，由，则，
整理可得，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，
代入双曲线方程：中，可得，所以．
所以，，
又
，
所以，
故，即，所以点P坐标为．
【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线主要涉及定点定值问题，面积长度最值和范围的问题.联立直线与曲线的方程，得到韦达定理是常用甚至必要的途径，结合两点斜率公式，向量的坐标运算等.范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.定值定点类问题,需要列出关系式,进行代入化简即可找到.
22．已知函数，其中．
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求导，利用导数确定函数的单调性，即可比较端点处以及极值点处的函数值，即可求解最值，
（2）方法一：根据导数确定函数的最小值，进而构造函数，求导即可求解，方法二：将形式变形为，构造函数，即可求导解决，方法三根据，即可得
【详解】（1）当时，，，
所以在上是单调递增的，且，，
所以，使得，
得在上是单调递减，在上是单调递增．
所以．
由于，
故的最大值为
（2）（方法一）解：因为，记
则，
∵，∴，∴在上是单调递增，
且，，
所以存在，使得
，
当时，，所以在单调递减的，
当时，，所以在单调递增的．
当时，，又因为，
所以要使在上有两个零点，
则需要，即．
，
设，则有，令，．
因为，所以单调递减，
∵，∴，即，
设，，所以单调递减，
所以，所以a的取值范围．
（方法二）因为
令，则，所以为单调递增，
，因此有两个实数根，，
令，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
由，，，
（也可利用，），
当，，可知，即．
（方法三）由（1）知是增函数且有唯一零点t，
所以是减函数且有唯一零点，
所以，．所以a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．