2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考（二）（期中）数学（文）试题含答案

这是一份2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考（二）（期中）数学（文）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省名校协作体高三二轮复习联考（二）（期中）数学（文）试题 一、单选题1．若集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得出集合B的具体范围再结合集合的交集运算得出结论。【详解】集合，又集合，则.故选：C.2．已知在复平面上对应的点落在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先化简复数，写出对应点的坐标，进而求解.【详解】，所以对应的点为.故选：D.3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．抛物线的焦点坐标为A． B． C． D．【答案】D【详解】题中所给的抛物线为标准型，据此可得抛物线的焦点坐标为：.本题选择D选项.点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．5．已知数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】因为，，所以，，，.故选：C6．某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆.现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆.每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料  时间  工序ABC复型91610上漆15814则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（    ）A．43 h B．46 h C．47 h D．49 h【答案】B【分析】根据题意组合工序顺序计算即可.【详解】由题意，甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，此时完成修复工作所需时间最短，最短时间为.故选：B.7．一个四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据三视图，还原几何体，然后根据锥体的体积计算公式即可求解.【详解】该四棱锥如图所示：由图可知，，，面ABCD，面SAB，，底面是直角梯形，.故选：C.8．已知函数，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论.【详解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示：由图可知的解集为.故选：A.9．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ）A．是奇函数，最大值为 B．是偶函数，最大值为C．是奇函数，最大值为 D．为偶函数，最大值为【答案】D【分析】使用奇偶性定义以及换元法化归为二次函数给定区间求最值得出结论。【详解】因为，所以是偶函数，因为 ，令 ，则 ，所以当时，取得最大值，最大值为.故选：D.10．已知点为直线上的动点，若在圆上存在两点，，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得与圆相切且时的长，根据圆与直线的位置关系求得点的横坐标的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径，当与圆相切且时，，以为圆心，半径为的圆的标准方程为，由消去并化简得，解得或，所以点的横坐标的取值范围.故选：C11．设函数在R上存在导数，是偶函数，在上.若，则实数t的取值范围为（        ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可.【详解】在上有，，故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，由得，即，，即，解得.故选：A.12．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（    ）①存在，使得②存在，使得平面③当时，取最小值④当时，存在，使得A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】根据线面的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定定理可判断②；利用和异面直线都垂直且相交的线段的长为异面直线间的最短距离的含义可判断③；利用球的半径和点到球心的距离的比较可判断④，即得答案.【详解】因为平面，且平面，所以不存在，，使得，故①错误；记平面，在平面中，过点M作直线，交直线于点N，在正方体中,平面平面,故,连接,则,而,平面,故平面，所以此时平面，故②正确；当时，分别为，的中点，M点也为的中点，则，且直线与不垂直，即与不垂直，即MN不是线段和上两点连线的最小值，故③错误；当时，N为的中点，，如图，设的中点为O，连接，交于点，则为的中点，设中点为，则，因此以为直径的球与线段必有交点，即存在，使得.故④正确,故选：D.【点睛】难点点睛：解决此类空间几何体中的存在性问题，属于较难问题，解答是要充分发挥空间想象能力，明确空间几何体中的点线面的位置关系，对于存在性的判断，可以找到特殊位置或特殊值，说明适合题意，如果不存在，要加以证明或说明. 二、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________（结果用一般式表示）.【答案】【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程.【详解】,所以，所以由点斜式可得切线方程为，即，故答案为：14．在边长为6的正中，若点满足，则__________.【答案】【分析】以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________.【答案】/60°【分析】由三角恒等变换及正弦定理计算即可.【详解】由得，由正弦定理可得，，，因为，所以，所以，且，所以.故答案为：.16．已知双曲线的右焦点为，双曲线的一条渐近线与圆在第二象限的交点为，圆在点处的切线与轴的交点为，若，则双曲线的离心率为__________.【答案】/【分析】依题意得：，渐近线的方程为，联立渐近线方程和圆的方程求得，根据求得直线的斜率，进而得到其方程，从而求得.由，结合正弦定理可得，，从而利用两点距离公式代入可得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得：，渐近线的方程为，联立 ，解得 ，.的方程为，令，得 .，根据正弦定理可得，则，即.，即故答案为：【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把，转化为，从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率. 三、解答题17．设正项数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)能否从中选出以为首项，以原次序组成等比数列.若能，请找出使得公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式；若不能，请说明理由.【答案】(1)(2)能， 【分析】（1）根据与的关系式，分成与两种情况求解；（2）当，公比时满足题意，并证明当，公比为时不成立.【详解】（1）当时，，即，得或（舍去）.当时，由，……①得，……②得：，化简得.因为，所以，，即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）存在.当，时，会得到数列中原次序的一列等比数列，此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；下面证明此时的公比最小：，假若取，公比为，则为奇数，不可能在数列中.所以.18．如图①，在等腰梯形中，点为边上的一点，，是一个等边三角形，现将沿着翻折至，如图②.(1)在翻折过程中，求四棱锥体积的最大值；(2)当四棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平面平面时，四棱锥体积取得最大值来求得正确答案.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）依题意可知：三角形是边长为的等边三角形，高为，四边形是边长为的菱形，且，，在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥体积取得最大值，且最大值为.（2）设的中点为，连接，当平面平面时，四棱锥体积取得最大值，由于平面平面平面，，所以平面，由于平面，所以，连接，则三角形是等边三角形，所以，由于平面平面平面，，所以平面.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面的夹角为，则.19．旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表： A路线B路线合计好一般好一般男 2055 120女90  40180合计 50 75300(1)填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A、B两条路线的选择与性别有关系?(2)为提高服务质量，A路线管理部门从对A路线评价为“一般”的50人中按照分层抽样的方法抽取5人听取整改建议，并从抽取的5人中随机抽取2人给予奖励，求被奖励的人恰为一男一女的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)表格见解析，有关(2) 【分析】（1）根据题意补全统计表，结合题中公式求，并与临界值对比分析；（2）根据分层抽样求所抽取的男、女生人数，结合古典概型运算求解.【详解】（1）补全统计表如下： A路线B路线合计好一般好一般男10205535120女90302040180合计100507575300将所给数据整理，得到如下列联表：性别路线合计AB男3090120女12060180合计150150300，故在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A，B两条路线的选择与性别有关.（2）由（1）知对A路线评价一般的男顾客为20人，女顾客为30人，若按分层抽样的方法抽取5人，则抽取男顾客人，女顾客人，记2名男顾客为，，3名女顾客为，，，从中抽取两人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10个基本事件，其中一男一女的基本事件为；，，，，，，共6个，所以被奖励的人恰为一男一女的概率为.20．已知(1)求的最值；(2)若有两个零点，求k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求出函数的定义域，对函数求导，由导函数的正负确定函数的单调性，进而求出最值；（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.【详解】（1）的定义域为，.当时，恒成立，在上单调递增，此时函数无最值.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，.综上可知，时，在上无最值.时，的最大值为，无最小值.（2）有两个零点，可得有两个实根.令，.令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减..当时，，，所以，又，时，；时，.大致图象如图所示，若直线与的图象有两个交点，则，∴k的取值范围是.【点睛】常见的根据函数的零点个数求参数取值范围的方法：1.将函数的零点转化为对应方程的根的个数，进一步转化为函数与函数图像交点的个数；2.根据题意直接转化为函数的图像与轴的交点的个数，讨论求出参数的取值范围.21．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的动直线与椭圆相交于两点，直线的方程为.过点作于点，过点作于点.记的面积分别为，，.问是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用焦距求出c，再由椭圆a，b，c关系即可求出椭圆方程；（2）依题意作图，设n的方程并与椭圆方程联立，求出的解析式，即可求出的值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，所以，由椭圆的定义可得的周长为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为，设，，则，，联立可得，，由韦达定理可得，，因为.因为，，所以，所以，故，即，所以存在实数，使得成立.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P是曲线C上的一动点，求面积的最大值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转化公式计算即可；（2）利用圆的性质及弦长公式即可得出结果.【详解】（1）由直线l的参数方程消参得直线l的普通方程为：.由曲线C的极坐标方程为，得，因为，，所以，所以曲线C的直角坐标方程为.（2）因为曲线C的圆心到直线l的距离，而的半径，所以.又点P到直线l距离的最大值为，所以面积的最大值为.23．（1）已知函数.解不等式；（2）已知正实数a，b，c满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用分段函数来分段处理不等式问题；（2）“1”的代换结合基本不等式解决。【详解】解：（1）当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得，∴原不等式的解集为.（2）因为a，b，c为正实数，且满足，所以当且仅当，即，，，时取等号，所以的最小值为.