2024届江苏省连云港市灌南高级中学高三上学期假期检测（一）数学试题含答案

这是一份2024届江苏省连云港市灌南高级中学高三上学期假期检测（一）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届江苏省连云港市灌南高级中学高三上学期假期检测（一）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．若集合，，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的包含关系，列出的不等关系，求解即可.【详解】集合，，若则，即的取值范围是.故选：D.3．设x，，则“”是”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x，，若满足，则，即不成立；若，即有，必有，从而得，即成立，所以是成立的必要不充分条件.故选：B4．已知正实数，满足，的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．【详解】，，由得，即，，当且仅当时取等号．故选：C5．若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.6．若，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.【详解】解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，所以，所以，即，，所以.故选：B.7．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出幂函数 f(x) 的解析式，再通过导数求出函数 g(x) 的单调性，从而求得最值.【详解】设，∵幂函数的图象过点，∴∴，∴，∴，当且仅当“”时取等号，∴函数·在区间上的最小值为5．故选：C．8．函数定义域均为，且，.若为偶函数，，则（    ）A．10 B．13 C．14 D．39【答案】C【分析】根据所给条件化简得，结合为偶函数，，可计算得，，，，从而根据分别计算至的值，再计算的值即可.【详解】，，又，，，，则，得，，，因为为偶函数，所以，所以， 由，得，则，，，，，，，，，.故选：C 二、多选题9．已知满足且，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.【详解】因为满足且，所以，，符号不确定，选项A：因为，，所以，选项A正确；选项B：因为，，所以，，选项B正确；选项C：因为，，当时，，所以；当且时，，所以，选项C错误；选项D：因为，，所以，，选项D正确；故选：ABD10．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．11．给出下列说法，错误的有（    ）A．若函数在定义域上为奇函数，则B．已知的值域为，则a的取值范围是C．已知函数满足，且，则D．已知函数，则函数的值域为【答案】ABD【分析】由奇函数的定义可判断A，函数的值域满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．【详解】对于A，函数为奇函数，所以，，即，即，即，整理可得，即，所以，，解得，当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，当时，，由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.综上所述，，故A错误；对于B，因为的值域为，则函数的值域满足，则，解得，故B错误；对于C，函数满足，则，故的周期为，因为，则，故C正确；对于D，因为，，由，得，解得，即函数的定义域为．则，又，故函数的值域为，故D错误：故选：ABD.12．下列说法正确的有　　A．若，则的最大值是B．若，则的最小值为2C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4D．已知，，且，则最小值是【答案】AD【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．【详解】对于，由可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，所以的最大值为，故正确；对于，，当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故错误；对于，由可得，当且仅当且，即，，时，等号成立，由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；对于，由可得，代入到，当且仅当即时，等号成立，故正确．故选：． 三、填空题13．计算求值：      .【答案】【分析】根据指对数运算性质计算即可.【详解】解：因为；.所以故答案为：14．已知集合，，且，则的子集有        个.【答案】16【解析】根据交集的定义，结合并集的定义、子集个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以有，因此，，所以，因为的元素共有4个，因此的子集有个.故答案为：1615．函数的最小值是          .【答案】【解析】函数式变形后用基本不等式求得最小值．【详解】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是把函数式变形，凑出积为定值，则和可得最小值，但要注意等号成立的条件．16．已知函数若对任意，，且，都有.则实数的取值范围为      .【答案】【解析】由得函数是增函数，然后由分段函数的两段均为增函数，且左侧端点不高于右侧端点．由此可得参数范围．【详解】由题意，函数在和上都是增函数，且的图像在上的最高点不高于函数在上的最低点，即解得．故答案为：． 四、解答题17．已知等差数列的前项和为，，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】(Ⅰ)设出公差，借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用裂项相消法求解．【详解】(Ⅰ)设 的公差为 ，．，．联立方程 ，解得 ．(Ⅱ)．18．设锐角三角形的内角，，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求 的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，根据正弦定理得，所以，由△ABC为锐角的三角形得（2）由△ABC为锐角的三角形知，所以，，，由此有，所以，的取值范围为19．如图，在直三棱柱中，已知，．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的大小．【答案】（1）（2）【分析】（1）通过判断条件可知四棱锥的高为，采用体积公式求解即可（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出是平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角的大小【详解】(1)因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥的高四棱锥的体积为 (2)如图建立空间直角坐标系则，，，，设AC的中点为M，，，平面，即是平面的一个法向量设平面的一个法向量是，，令，解得，设法向量与的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角，二面角的大小为【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题20．已知函数1)若a=1,求曲线在点处的切线方程(2)若在R上单调递增,求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，若是单调递增函数，则恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围．详解：(1)（2）所以在上单调递增，在上单调递减所以.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．21．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．(1)求在前4球中，甲领先的概率；(2)12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】(1)分别求出甲与乙的比分是和的概率，即可得答案；(2) 依题意，甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜，分别求出5：0和5：2的概率，即可得X的分布列.【详解】（1）解：甲与乙的比分是的概率为比分是的概率为，故前4球中，甲领先的概率（2）解：依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．记比分为5：0为事件A，则，记比分为5：2为事件B，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，，故依题意甲获胜的概率为X的所有可能取值为3，5，由条件概率有，故X的分布列为X35P22．已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.(1)求双曲线C的方程；(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.【答案】(1)(2)证明过程见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，所以有；（2）由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，，则有，设，则有，显然的坐标为，所以由，把代入上式，得，或当时，直线方程为，过定点，当时，直线方程为，过定点，不符合题意，因此直线过定点.【点睛】关键点睛：根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.