2024届江苏省南京市第九中学高三暑期第一阶段调研数学试题含答案

这是一份2024届江苏省南京市第九中学高三暑期第一阶段调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届江苏省南京市第九中学高三暑期第一阶段调研数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据对数函数性质确定集合，然后由交集定义计算．【详解】由题意，∴．故选：C．2．已知复数，为的共轭复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3．已知命题：直线与平行，命题，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题．则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．故选：A．4．已知随机变量服从正态分布，若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知曲线关于对称，利用曲线的对称性求.【详解】由题意可知，正态分布曲线关于对称， ,根据对称性可知，,.故选：C【点睛】本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，及曲线与轴之间的面积为1.(2)利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个.5．化简可得（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可得正确的选项.【详解】因为，所以原式，故选：B.6．的展开式中的系数是（    ）A．60 B．80 C．84 D．120【答案】D【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.【详解】的展开式中的系数是因为且，所以，所以，以此类推，.故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.7．已知，则最小值为（　　）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】令并确定范围，结合平方关系有，再设，结合对勾函数性质求最小值即可.【详解】令，则，故，所以，则，所以且，而，仅当时等号成立，给定区间内等号不成立，结合对勾函数性质知：在上递增，所以在上递增，则最小值为.故选：B8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且满足当时，，若对任意，成立，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数的奇偶性和题设条件，求得，再根据，画出函数图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，即，又由当时，，可画出函数图象，如图所示.由图知，当时，；则当时，；当时，令，解得(舍去)，若对任意，成立，所以的最大值为.故选：B. 二、多选题9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（    ）A．一定是递增数列 B．可能是递增数列也可能是递减数列C．、、仍成等比 D．，【答案】BCD【分析】根据等比数列的性质依次判断即可.【详解】对于A，当，时，为递减数列，故A错误；对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确；对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确；对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确.故选：BCD.10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（   ）  A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，【答案】AD【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，，，所以，则，又点，此时代入可得，解得，又，所以，故A正确；因为，当时，，所以函数先增后减，故B错误；当时，所以，则，则，故C错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确；故选：AD11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）A．为奇函数B．C．当时，在上有4个极值点D．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【分析】利用题目已知条件，求出，再结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】∵∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴，故B对.由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，∵在上单调，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，故D对故选：BCD.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.12．设函数，则（    ）A． B．的最大值为C．在单调递增 D．在单调递减【答案】AD【解析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误．【详解】的定义域为，且，，故A正确．又，令，则，其中，故即，故，当时，有，此时即，故，故B错误．，当时，，故在为减函数，故D正确．当时，，故，因为为增函数且，而在为增函数，所以在上为增函数，故在有唯一解，故当时，即，故在为减函数，故C不正确．故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用． 三、双空题13．若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为      ，      .【答案】          【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故，.故答案为：；. 四、填空题14．写出一个使等式成立的的值为             ．【答案】（答案不唯一，只要满足即可）.【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到，由正弦函数性质可确定，由此可解得结果.【详解】，，，解得：，当时，，使得等式成立的一个的值为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）.15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是      ．【答案】/0.5【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.故答案为：16．已知数列满足，的前项的和记为，则      .【答案】【分析】利用两角差的正弦公式化简得出，可求得，进而可计算得出的值.【详解】，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题. 五、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函数在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范围．【答案】【分析】根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得；选择①由正弦定理将边化角，即可求得；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得；无论选择哪个条件，角都一样大小.利用正弦定理，构造关于角的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.【详解】根据题意，.又.选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：，故可得，又，故可得，又，故.选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：，由余弦定理得，有，故.选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：，解得，又，故可得.故不论选择哪个条件，都有.又.则.故，又，故，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.18．在平面四边形中，已知，，平分.(1)若，，求四边形的面积；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解【详解】（1），则，在中，由正弦定理可知，则，则.（2）设，在中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，即，即，则，解得.19．如图，在直三棱柱中，点E为的中点，点在上，且．(1)证明：平面平面；(2)若，，且三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可；（2）根据三棱锥的体积为求出直三棱柱侧面棱长和底面边长，再建立空间直角坐标系求解即可.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，∴，           ∵点E为的中点，且，∴，        ∵，∴，     ∵，∴平面，     ∵平面，∴平面平面；（2）∵，，∴为正三角形．设，则，由（1）可得，平面，依题意得，故点F到平面的距离为，    ∴，∴，       ∵三棱锥的体积为，∴，解得．    以E为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，     设平面的法向量为，则即令，得，     ∴，      ∴与平面所成角的正弦值为．20．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为，并用p作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担.（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）方案二，理由见解析.【分析】（1）依题意，的可能取值为50，100. 分别求出概率即可求得分布列；（2）分别求出方案一和方案二的概率，作差比较大小即可求得结论.【详解】（1）依题意，的可能取值为50，100.，.故的分布列为：50100（2）方案一通过检验的概率为；方案二通过检验的概率为.由知：，所以，又，，所以，即，所以供应商希望该工厂的质检部门采取方案二检验.