2023届河北省衡水中学高三下学期第五次综合素养测评数学试题含答案

这是一份2023届河北省衡水中学高三下学期第五次综合素养测评数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届河北省衡水中学高三下学期第五次综合素养测评数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据补集的定义和运算求出B的补集，结合并集的定义和运算即可求解.
【详解】由，得，∴，
又，
∴
故选：A．
2．塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方如图中，表示塔身，塔身的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线的夹角为倾斜角，塔顶到铅垂线的距离为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为，，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为（    ）

A．1.2米 B．0.6米 C．1米 D．0.8米
【答案】D
【分析】由题意可得塔的偏移距离，设两座塔的塔高为，结合题意可得两座塔的偏移距离差的绝对值为，进而得到，结合塔顶到地面的距离，进而求解.
【详解】塔的偏移距离，设两座塔的塔高为，
则根据倾斜角的正弦值分别为，，
得两座塔的偏移距离差的绝对值为，
即，，
塔顶到地面的距离，
根据倾斜角的正弦值分别为，，
得倾斜角的余弦值分别为，，
两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为.
故选：D.
3．已知向量，，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由求得，再用倍角公式求即可.
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），
所以，
故选：B
4．若成等差数列；成等比数列，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．
【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．
∴
故答案为A．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
5．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设是方程的实数根，易知，则，根据复数的几何意义可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，设是方程的实数根，
则，若，则，等式不成立，
所以，有，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的取值范围为.
故选：B.
6．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是（    ）

A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
【答案】D
【分析】写出各组数据，分别求得标准差，从而得出结论.
【详解】第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0;第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为;第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为;第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为，故标准差最大的一组是第四组.
故选：D.
7．双曲线的两个焦点为，以C的虚轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的渐近线交于点H，若的面积为，则C的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据几何关系表示出切线的方程为，进而可求点的坐标，表示出三角形的面积，利用齐次化法求离心率.
【详解】
如图，不妨设切线的倾斜角为锐角，
过的直线与圆相切于点，
则,且所以，
所以，即切线的斜率等于，
所以切线的方程为，
联立，解得，
所以，
所以，即，
解得或（舍），
所以，则，即，
所以离心率为，
故选:D.
8．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（    ）
A． B．的最小正周期
C．有4个零点 D．
【答案】D
【分析】对于A：根据奇函数性质运算求解；对于B：根据对称性和奇偶性分析可得，进而可得周期性；对于C：分别作出的图象，结合图象分析判断；对于D：根据题意结合函数性质分析运算.
【详解】对于A：由题意可得：，解得，故A正确；
对于B：∵是偶函数，则，则，
又∵为奇函数，则，可得，
∴，则的最小正周期，故B正确；
对C：令，则，
注意到此时，分别作出的图象，

由图象可知：有4个交点，故有4个零点，
故C正确；
对D：∵，
则，
可得，故D不正确.
故选：D.

二、多选题
9．下列结论正确的有（    ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若，则事件相互独立
D．某医院住院的8位肺炎患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第50百分位数为5.5
【答案】BCD
【分析】根据方差相关性质直接判断A；根据正态分布相关知识即可判断B；结合条件概率与独立事件的判断公式从而判断C；先按从小到大的顺序排列，再根据百分位数计算方法即可求解D.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若随机变量，且，则，所以，故B正确；
对于C，若，则，所以，则事件相互独立，故C正确；
对于D，某医院住院的8位肺炎患者的潜伏天数从小到大排序为，共8个数，，
该样本数据的第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，为，故D正确；
故选：BCD
10．已知函数的图象为C，则（    ）
A．图象C关于直线对称
B．图象C关于点中心对称
C．将的图象向左平移个单位长度可以得到图象C
D．若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是奇函数
【答案】AC
【分析】利用代入检验法可判断AB的正误，利用图象变换可判断CD的正误.
【详解】当时，，
故图象C关于直线对称，故A正确.
当时，，
故图象C不关于点中心对称，故B不正确.
将的图象向左平移个单位长度可以得到图象对应的解析式为，故C正确.
若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故，
而，故不是奇函数，故D错误.
故选：AC.
11．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，BD=，则在该四面体中（    ）

A．
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为
【答案】ABC
【分析】画出直观图，利用线面垂直判断A；取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，过O作 于H，证明OH是内切球的半径，OA是外接球的半径，求出半径可判断CD；证明 是BE与平面DCE所成角，利用余弦定理判断B
【详解】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，
， ，所以四面体的4个面是全等三角形，
取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，
所以 ，，
过O作 于H，
所以，，
因为，AB中点M，所以，
，
对于A：
，，，在平面ABN内，
故 平面ABN，而平面ABN ，所以 ，故A正确；
对于B：
由于 平面ACD，故平面ABN平面ACD，则B在平面DCE上的投影是在射线AN上,
故 是BE与平面DCE所成角，
故 ，故B正确；
对于C：
，，，在平面CDM内，
故 平面CDM，因为平面CDM，所以
又因为，在平面内相交，所以平面，
易得，
所以即 ，
即到平面的距离为，
因为四面体的4个面是全等三角形，
所以根据对称性，同理可求得到平面的距离都为，
即四面体ABCD的内切球半径为，故C正确；
对于D：
，
因为四面体的4个面是全等三角形，
所以根据对称性，同理可求得，
即四面体外接球的球心为O，半径为，
所以外接球的表面积为 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】12．古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有（    ）
A．函数可以是某个正方形的“优美函数”
B．函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”
C．函数可以是无数个正方形的“优美函数”
D．若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形
【答案】AC
【分析】由正方形的“优美函数”这一定义结合函数的对称性逐一分析即可.
【详解】对于A，易知函数，故为定义在的奇函数，所以函数可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故A正确；
对于B，令，得，
所以函数图象的对称中心为，
故以为中心的正方形都能被函数的图象平分，即可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故B错误；
对于C，令，易知，即为奇函数.
又因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位长度得到的，所以函数图象的对称中心为，故以为中心的正方形都能被函数的图象平分，故C正确；
对于D，如图所示（可找出无数反例），正方形中函数图象过正方形中心，并平分其周长与面积，但函数图象并不中心对称，可知D错误.

故选：AC

三、填空题
13．已知函数，若是从，，三个数中任取的一个数，是以，两个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 .
【答案】/0.5
【分析】这是古典概型的题目，，的取法共有种.再根据函数有两个极值点，即导数有两个不同的根，求出的所有情况，根据古典概型的概率公式解出结果.
【详解】解：，的取法共有种，
又，由题意有个不等实根，
则，因为、均大于零，所以，
而满足的有，，共种，
故所求的概率为.
故答案为：.
14．如图，在梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且，则三棱锥外接球的表面积是 .

【答案】
【分析】先证明出面，作出的外心，过作，判断出三棱锥外接球的球心必在直线上，设外接球的半径为，利用球的性质列方程
求出，即可求出三棱锥外接球的表面积.
【详解】在梯形ABCD中，，
所以梯形ABCD为等腰梯形，.
因为，所以，所以，即.
所以，.
因为,所以，所以.
又面,面,,
所以面.
在中，作出其外心如图所示：

所以,.
过作，由球的性质可知，三棱锥外接球的球心必在直线上.

设外接球的半径为，由球的性质可得：，即，解得：.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
15．设点为抛物线上到直线距离最短的点，且在点处的切线与轴和轴的交点分别是和，则过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为 ．
【答案】4
【分析】在P处的切线与直线平行，利用导数求出P点坐标和切线方程，得两点坐标，以为直径的圆为所求最小圆，利用垂径定理求弦长.
【详解】设切点为，根据题意可知在P处的切线与直线平行，
则 ， 所以 ，得，所以，因此，
可得切线方程为，从而，
则过两点的最小圆，以为直径，方程为，
抛物线的准线方程为，利用垂径定理可得圆截抛物线的准线所得的弦长为 ．
故答案为：4

四、双空题
16．项数为的有限数列的各项均不小于-1的整数，满足，其中.若，则 ；若，则满足条件的数列所有项的和组成的集合为 .
【答案】 2
【分析】根据已知，利用数列的性质、不等式的性质一一列举进行求解.
【详解】因为的各项均不小于-1的整数，所有，，，
又，
所以，
所以，且，为整数，所以，
当时，，解得.
若，，又，所以，所以，
所以，又为整数，所以的可能取值为：-1，0，1，2，对应的的取值为：6，4，2，0，
故数列可能为；；；，共4个，
满足条件的数列所有项的和组成的集合为.
故答案为：2，.

五、解答题
17．如图，在平面四边形，已知，.

（1）若平分，且，求的长；
（2）若，求的长.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由平分，得出，进而得出，再由余弦定理，即可得出的长；
（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再由正弦定理得出的长.
【详解】（1）若平分，则


由余弦定理得
解得或（舍）

（2）
又

在中，由正弦定理可得
即
【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.
18．已知正项数列的前项和为，满足，数列的前项积为!.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）对于数列，用代换，通过式子相减易得是等比数列，从而求解通项公式；对于数列，通过前项积即可求出时的通项公式，再代入检验即可；
（2）写出数列通项公式后运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，①
当时，可得，
当时，，②
由①②得，
因为，所以，
所以为常数，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
由于数列的前项的乘积为!，
当时，得；
当时，得.
又因为符合通项，
所以.
（2）由（1）可知，，
则，①
即，②
则①-②得：，
即.
19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，，，，．

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)若二面角的大小为，求锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，首先利用线面垂直的判定得平面POB，再利用线面垂直的性质定理得，最后再利用面面垂直的判定即可证明.
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角得余弦值.
【详解】（1）取AD中点O，连接OP，OB，因为在矩形ABCD中，

，所以，所以，
又，所以，
所以，因为，
所以，所以，
又因为且PB，平面POB，
所以平面POB，因为平面POB，所以，
因为，O为AD中点，所以，
又平面ABCD，
所以平面ABCD，因为平面PAD，
所以平面平面ABCD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，平面平面，
所以即为二面角的平面角，因为，
且，所以，所以，
作BC中点M，连接OM，以为正交基底，建立空间直角坐标系，

则，
所以，设平面APC的法向量为，
则，取，则，所以，
因为平面PAD的法向量，设锐二面角为，
则．
20．某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.
(1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？
项目
对员工管理水平满意
对员工管理水平不满意
合计
对员工敬业精神满意



对员工敬业精神不满意



合计



(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)在统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，现从该企业员工中任选一人，表示“选到对员工管理水平不满意”、表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计的值.
附：，.

0.05
0.01
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1)表格见解析，能认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联；
(2)分布列见解析，；
(3)的值为.

【分析】（1）根据给定的数据完善2×2列联表，再计算观测值作答.
（2）求出的可能值，求出对应的概率，列出分布列并计算期望作答.
（3）根据给定定义，利用条件概率计算作答.
【详解】（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表
项目
对员工管理水平满意
对员工管理水平不满意
合计
对员工敬业精神满意
50
30
80
对员工敬业精神不满意
40
80
120
合计
90
110
200
零假设为：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.
据表中数据计算得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联.
（2）对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
其中；；
；，
所以随机变量的分布列为

0
1
2
3





则.
（3），
所以估计的值为.
21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，直线与交于，两点，当时，直线经过椭圆的上顶点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为中点，当在圆上时，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）当时，,所以经过,可求出，得出椭圆方程；
（2）联立直线与的方程得出点，由在圆上得出两个未知量间关系，应用面积公式结合基本不等式可以求出最大值.
【详解】（1）当时，直线，椭圆上顶点为,，连接，
有，而的周长为，
所以经过，故，所以,所以.
.
（2）联立直线与的方程，有，
设，有：

,

有，由在圆上，有：
整理有,
原点到直线的距离，
所以的面积
,
等号成立时，结合,
解得
面积的最大值为.
22．三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
(3)若，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.
【答案】(1)是与在上的“分割函数”；
不是与在上的“分割函数”；
(2)；
(3).

【分析】（1）根据题意可得当时恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；
（2）根据“分割函数”的性质，则对一切实数恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数恒成立，结合图形即可求解；
（3）利用导数求出函数的极值，则，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立,由,
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.

（3）关于函数，令，可得，
当与时,；当与时,.
可知是函数极小值点，0是极大值点,
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间,上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，),
所以严格减，故的最大值为,可知的最大值为，
所以的最大值为.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.