2023届江苏省常州市田家炳高级中学高三暑期自主学习情况调研数学试题含答案

这是一份2023届江苏省常州市田家炳高级中学高三暑期自主学习情况调研数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省常州市田家炳高级中学高三暑期自主学习情况调研数学试题 一、单选题1．已知均为的子集，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：,，据此可得.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，矩形区域CDFG表示集合N，满足，结合图形可得：.故选：B.2．设（为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定等式求出复数，再求模长可得答案.【详解】因，则，即，解得，可得，所以.故选：A.3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某市居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（    ）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】C【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数为.故选：C.4．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为，他们的学号分别为，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，其中满足题意的结果有，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.6．在中，，，，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量的线性运算算出答案即可.【详解】因为，因为，所以，即，所以.故选：C7．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.   8．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，故选：C. 二、多选题9．数据的组测量值为，已知，，，．若对的线性回归方程记作，则（     ）附：线性回归方程中，，，其中、为样本平均值．A． B．C．与正相关 D．时，的估计值为【答案】ABC【分析】利用题干中的数据求出回归直线方程，可判断各选项的正误.【详解】由已知的数据可得，，，，所以，回归直线方程为，当时，，故ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC.10．若，等比数列的公比为，前项和为，则（    ）A．B．成等比数列C．若，则成等差数列D．若，则成等差数列【答案】ACD【分析】对A：根据等比数列的定义与性质分析判断；对B：取特例：，分析判断；对C：结合等比数列的求和公式可得，进而分析判断；对D：根据等差中项结合等比数列的定义分析判断.【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：例如，则，则，不是等比数列，故B错误；对于选项C：若，因为（为常数），则，即，所以成等差数列，故C正确；对于选项D：因为，若，则，即，所以成等差数列，故D正确；故选：ACD.11．已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（    ）A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，C．直线的方程为 D．直线的方程为【答案】BD【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即最小，最大，最小，根据二倍角公式及三角函数可得，设点，求的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线与的方程，进而可得点与点的坐标，即可得直线.【详解】由已知得抛物线过点，即，所以，即抛物线为，对于AB选项，如图所示，设点当劣弧的弧长最短时，最小，又，所以最大，即最小，又，又圆，所以圆心，半径，，又，所以当时，取最小值为，此时最小为，所以A选项错误，B选项正确；对于CD选项，设过点作圆切线的方程为，即，所以，解得，则直线的方程为：，即，直线的方程为：，即，联立直线与抛物线，得，故，，，同理可得，所以，直线的方程为，即，所以C选项错误，D选项正确；故选：BD.12．如图所示，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，点为正方形的中心，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）A．直线与是异面直线B．线段与的长度不相等C．直线平面D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】BD【分析】利用空间中线线的位置关系可判断A选项的正误；对于B选项，设的中点为，连接、，证明平面，进而利用几何关系可得；由于不满足，故C错误；设与平面所成的角为，则，进而可计算得【详解】解：对于A选项，连接，易知平面，平面，所以直线和共面，A项错误；对于B选项，设的中点为，连接、，则，∵ ，，，∴ 平面，平面，∴ 平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，、分别为、的中点，则，又，故，，，故B项正确；对于C选项，由于平面，故平面，故，所以不满足，所以直线平面不成立，故C选项错误；对于D选项，设与平面所成的角为，则，则，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题是立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、异面直线的判断、线段长的计算以及线面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.本题解题的关键是连接，设的中点为，连接、，进而证明平面平面，再根据相关的几何关系计算即可解决. 三、填空题13．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则        ．【答案】【详解】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．【解析】二项式定理． 14．已知，是椭圆:（）的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为       .【答案】【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.【详解】如图所示，  由题意知：，直线AP的方程为，由， 则代入直线AP：，整理得，所求的椭圆离心率为.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.15．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为      ．【答案】【分析】利用导数求得图象在处的切线方程，由此求得的表达式，利用导数求得的最小值.【详解】切点为，，所以，则图象在处的切线的斜率为，则所求切线的方程为，即，则，，则， 对于函数，，当时，；当时，；所以函数在取得极小值，亦即最小值，则的最小值为． 四、双空题16．函数的定义域为，对任意，恒有，若，则      ，      ．【答案】     /     【分析】取特殊值可得；取特殊值可得是周期为函数，计算出的值可得答案.【详解】令，则，解得，令，则，因为，所以；令，则，，令，则，，令，则，，，令，则，即，可得，令，则，令，则，可得，从而，所以，可得，所以，是周期为的函数，.故答案为：①；②0.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取特殊值推出是周期函数，考查了抽象函数问题，还考查了学生思维能力即、运算能力. 五、解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立． 18．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 19．如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面∥平面，、、都垂直于平面，E、F分别为、的中点.已知，.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)﹒ 【分析】(1)证明平面即可；(2)以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面FDE的法向量，利用向量法即可求二面角的余弦值及正弦值.【详解】（1）在中，∵，，，∴根据余弦定理得，，∴，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，又∵平面，∴，∵，∴平面，又∵平面，∴；（2）∵平面，AD⊥DB，∴以、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，.∴，，，设平面的法向量为，则且，即且，令，则.设平面的法向量为，则且，即且.令，则.∴，∴二面角的正弦值为.20．医学研究表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命存续期一般不会超过三天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势，这就是大家所说的“黄金72小时”．某煤矿由于开采不当发生了矿难，发现有3个矿工被困井下．其中2个人在“黄金72小时”被营救的概率均为，另外1个人在“黄金72小时”被营救的概率为．设每个人是否被营救成功相互独立．（1）求在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率；（2）由于发生了生产安全事故，政府将对该企业罚款100万，另外，假设每个矿工在“黄金72小时”内获得营救需要赔偿10万元，否则需赔偿80万元，求该企业由于此次事故造成钱财损失的期望（精确到0.1）【答案】（1）；（2）223.3万元．【分析】（1）法一：正面考虑，分别求得在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率为和在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率，求和即可；法二：反面考虑，在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率为在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率为，则即为解；（2）设钱财损失为随机变量，，分别求得对应数据的概率，，，，，再求期望即可得解.【详解】（1）法一：在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：．法二：在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率：在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：（2）设钱财损失为随机变量，3个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工中有1个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工中有2个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工全部在“黄金72小时”内获得营救的概率：该企业由于矿难发生钱财损失的期望223.3万元．21．已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由可得与之间的关系，将代入双曲线方程可求得点坐标，进而求得，由此可得所求直线方程；（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得韦达定理的形式，利用坐标表示出，整理可得，由可化简得到定值.【详解】（1）设点，，由，可得：，即，将，代入双曲线方程得，消去，解得：，又点在轴上方，点在轴下方，，，，直线的方程为.（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，，可设直线的方程为，，，联立方程，消去整理得：，则，解得：， ，，又，，，，，又，，即为定值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消去变量可得定值.22．已知函数，其中．（1）求函数在处的切线方程；（2），，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求导数，得切线斜率，从而可得切线方程；（2）时，不等式成立，主要讨论由时不等式成立得的范围，分离参数后用导数求函数的最值可得．【详解】（1）由题意，，又，所以切线方程为，即；（2）时，不等式为，对任意实数都成立；时，不等式化为，令，则，由，令，，所以即在上递增，，所以，若，即，则在上恒成立，在上递增，，不等式成立，若，由上讨论知存在，使得，且当时，，递减，时，，递增，，而，因此时，，不成立．综上．【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查由不等式恒成立求参数范围．解题方法是构造新函数，求出，确定在上单调递增，，根据的正负分类讨论后得出结论．注意此题若用分离参数得，引入新函数后在现有知识体系下求不出新函数的最小值或取值范围，从而不能得出结论．