中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册2.21 向量的加法运算教学设计及反思

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授课题目2.2向量的线性运算选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长3课时授课类型新授课教学提示本课通过设置因“堵车”而改变路线的情境并提出问题：“两次位移、的结果，与原计划的位移有什么关系？”继而推出向量加法的定义，这样让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义；再类比数的减法，利用相反向量引入向量的减法；然后以跨栏运动为背景设置情境，引入向量的数乘运算，并给出了相应的运算法则，最后推出了向量平行的充要条件．教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.教学重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．教学难点向量减法法则．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图引入我们知道，数可以进行加法和减法运算.那么，向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算.    向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算.提出问题 引发思考思考 分析 讨论类比数的运算引出新知识情境导入2.2.1. 向量的加法运算家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移                 、的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移   有什么关系？ 提出问题 引发思考思考 分析 回答结合生活常识思考，让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移看作两次位移与的和.一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做，，得到一个△ABC，称向量为向量a与向量b的和,也称   为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b==+.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作，，得到一个新的向量，称向量为向量a与向量b的和，记作a+b .规定：            a+b=0+a=a；                 a+(−a)=0 .                                   由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .讲解  说明   展示    讲解      展示图形引发思考          理解  思考   领会    理解      结合图形思考问题          结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养       数形结合方法分析特殊情况，渗透分类讨论思想   总结了向量加法的几何意义典型例题例1  如图所示，在⏥ABCD中，用向量、表示向量.解  根据向量加法的三角形法则可知，=+.又因为⏥ABCD中， =，所以=+.提问引导 讲解强调思考分析 解决交流引出平行四边形法则探索新知一般地,给定两个非零向量与，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量就是向量与的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)讲解  说明  展示 领会  理解  思考 在例题基础上学习平行四边形法则典型例题例2  已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解 (1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作，，则a+b；   (2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=a+b. 例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解  如图所示，表示船在静水中的速度, 为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，是船的实际航行速度.在RtΔABC中，因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.  例2进一步从几何角度巩固向量加法的三角形和平行四边形法则，也表明两种法则实质是一致的例3借助实际问题展示数学知识的应用性巩固练习练习2.2.11.如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b.2. 如图所示，已知向量a、b、c,则 3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移的大小和方向. 提问     巡视     指导 思考     动手求解    交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺情境导入2.2.2. 向量的减法运算    我们知道，实数x减去实数y相当于加上y的相反数，即 x−y= x +(−y)，向量的减法如何定义呢？提问引导启发分析思考交流类比实数减法探索新知向量a−b称为向量a与b的差.求两个向量差的运算称为向量的减法，也称a−b为差向量． 类似实数的减法，我们用向量的加法定义向量的减法.即a−b= a +(−b)，也就是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 如图所示，向量 ，，则探究与发现试说出向量减法的几何意义.讲解  说明   展示 讲解  展示图像 理解  思考   领会 理解  观察思考   类比实数减法以及结合图示进行验证，直观易于学生理解,提出向量减法的几何意义典型例题例4 如图(1)所示，已知向量a 、b，求作向量a−b.     解  如图(2)所示，在平面上任取一点O，作，，则向量为所求的差向量，即. 提问 引导 讲解 强调  思考 分析 解决 交流  帮助学生进一步体会向量减法的几何意义巩固练习练习2.2.2    1. 已知向量a、b，如图所示，分别画出向量a−b.    2. 填空.    3.已知⏥ABCD，如图所示，试用向量和分别表示向量、、.提问    巡视      指导思考    动手求解     交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺情境导入2.2.3. 向量的数乘运算在2004年奥运会上，刘翔以12.91s的成绩获得男子 110m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子110m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14m.记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，……，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示.试问，位移s1，s2，…，s8，具有怎样的关系？ 提问 引导 启发 分析 思考 交流 借助实例说明向量数乘运算，渗透课程思政教育探索新知容易看出，位移s1、s2的方向相同，它们的模满足    |s2|=2|s1|.因此，位移s2是位移s1与位移s1的和，即s2=s1+s1.沿用运算习惯，即为s2=2s1.类似地，可以得到，s3=3s1，…，s8=8s1.     一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量，记作λa. λa的模为|λa|= |λ||a|.     当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；     当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；     当λ=0时，因为 λa=0,所以其方向是任意的.求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算，简称数乘运算.上述定义表明，当 λ>0时，向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时，向量 λa可以看作由向量−a 伸长或缩短|λ|倍得到. 这是向量数乘运算的几何意义．容易验证，对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ，向量的数乘运算满足以下法则:

可以看出，向量λa与向量a平行.反之，若有一个向量b与向量a(a≠0)平行，则向量b与a的关系如下：
因此，当a≠0时,a∥b ⇔存在实数λ,使得b＝λa．    讲解  说明   展示    理解  思考   领会    类比实数运算学习向量的数乘运算   在求λ的过程中可以帮助学生理解向量平行的充要条件  典型例题例5 计算.    解 例6 如图所示，O为⏥ABCD两条对角线的交点，，，试用向量a、b表示向量、.分析 注意到，,故可用向量a、b表示向量与.解 根据向量的加法、减法法则，可得   一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数)，则称向量c可以由向量a、b线性表示.如例6中，向量可以由向量a和b线性表示为.提问引导  讲解强调思考分析  解决交流例5帮助体会数与向量的乘法运算和数与字母的乘法运算的类似的性例6加深对向量运算法则及其几何意义的理解，也为线性表示做准备巩固练习练习2.2.31.计算.(1) 5(2a-b)；(2) ；(3) -2(a-3b-c)+3(a+2b-c).2.根据已知条件，试用向量a表示b.(1) a=2e，b=4e；(2) a=e，b=-3e；(3)；b=3e.3. 如图所示，向量a、b不共线. 画出有向线段，使=a+2b.4.如图所示，⏥ABCD的两条对角线交于点M，，.试用向量a、b分别表示向量、和.   (第3题)                (第4题)5.化简.(1) ；(2) ；(3) .6.已知向量i、j分别为x轴、y轴上的单位向量，试判断下列向量a、b是否共线.(1) a=3i，b=；(2) a=2i，b=；(3) a=，b=.提问     巡视      指导思考     动手求解     交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺归纳总结引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习