数学4.4.1 两平面平行教案

这是一份数学4.4.1 两平面平行教案，共10页。

授课题目
4.4平面与平面的位置关系
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课时长
4课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过引导学生观察教室中墙面之间的位置关系，归纳出平面之间的位置关系，并通过平面性质3从理论角度进行说明，然后用图形语言与符号语言表示，然后引导学生用“线线关系”和“线面关系”理解“面面关系”，对空间不同维度的问题加以综合认识，提升空间想象能力. 二面角的平面角的概念是本课一个难点，建议尽量以图形直观或操作演示的方式使学生理解．关于两个相交平面所成角的概念非本课重点，主要与前面线线、线面所成角相呼应，使学生知识结构完善．
教学目标
能结合实例说明两个平面之间的位置关系，能画出两个相交平面、两个平行平面的图形；知道两个平面平行的定义，能用两个平面平行的判定定理证明两个平面平行，能用两个平面平行的性质定理证明两条直线平行；知道二面角及其平面角的定义；能解决求二面角大小的简单问题；知道直二面角定义，知道两个相交平面所成角的概念；知道两个平面垂直的定义；能用两个平面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能用两个平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直；逐步培养和提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
教学重点
两个平面平行的判定与性质定理、两个平面垂直的判定与性质定理、二面角概念及二面角的平面角的求法．
教学难点
对二面角及其平面角概念的理解及求法．
教学环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
观察你所在教室的六个面,想一想,任两个平面之间有几种位置关系？
引发
思考
分析
回答
创设情境
新知探索
观察发现,两个平面之间的位置关系有两种:相交和平行.事实上,根据公理3可知,当两个平面有一个公共点时,这两个平面相交于一条直线.
一般地,当两个平面有一条公共直线时,称两个平面相交；当两个平面没有公共点时,称两个平面平行.
如图(1)所示，平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l.如图(2)所示，平面α与平面β平行，记作α∥β，此时α∩β=∅.

画两个平面平行时,要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
讲解


讲解说明



展示图形

分析要点
理解


思考
领会



观察
图形

体会
理解
通过平面性质3从理论角度说明平面位置关系更易学生理解
情境导入
4.4.1 两平面平行
观察教室,可以直观感受到教室的天花板和地面所在平面是平行的.考虑到平面的无限展性,直接判断这两个平面是否有公共点是很难实现的.那么,如何判断两个平面是平行的呢？

提出问题
引发思考

观察
思考
讨论
交流

引发学生思考
新知探索
可以设想,如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.那么这两个平面平行,但要判定所有直线都与平面平行也是比较困难的,考虑到两条相交直线可以确定一个平面,是否可以通过平面内的两条相交直线与另一个平面平行来判定两个平面平行呢？ 
如图(1)所示，如果m⊆β，n⊆β，且m∩n=P，m∥α， n∥α，是否有β∥α呢？

如图(2)所示，假设平面β与α不平行，设α∩β=AB，则由m∥α可知m∥AB.同理可得，n//AB.根据直线平行的传递性,得m∥n,这与已知条件m∩m=P矛盾，所以β∥α. 
于是有以下结论：
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.
讲解


说明

理解


领会

直接用相交直线引入判定定理，未提及平行直线，是给学生留下思考的空间
典型例题
例1 证明: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.
已知：m∩n =P,m⊆α,n⊆α,m' ⊆β,n' ⊆β,且m∥m',
n∥n',如图所示.

求证: α∥β.
证明 因为m∥m', m' ⊆β, m⊈β,所以m∥β.同理可证,
n ∥β. 又m⊆α,n⊆α,m∩m=P,根据两个平面平行的判定定理可知α∥β.
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动
求解
利用“线线平行”证明“线面平行”
情境导入
探究与发现
既然可以用直线与平面平行、直线与直线平行判定平面与平面平行,那么能否利用平面与平面的平行来判定直线与平面平行、直线与直线平行呢？

引发思考

讨论
交流
锻炼学生
逆向思维
新知探索
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.也就是说，如果α∥β，l⊆α，那么l∥β.
两个平面平行的性质定理  如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行. 
已知: α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，如图所示.
求证: m∥n.
证明 因为m⊆γ，n⊆γ，所以m、n共面.
又因为α∥β，m⊆α，n⊆β，所以m、n没有公共点，因此m∥n.
讲解



说明



指导

理解



领会



证明

利用“面面”平行来证明“线线”平行
典型例题
例2 证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它也与另一个平面垂直.
已知: α //β，l⊥α，如图所示.
求证: l⊥β.

证明 过直线l分别作平面γ、φ，使γ∩α=m，γ∩β=m'， φ∩α=n，φ∩β=n'.
由α //β，得m//m'，n//n'.
因为l⊥α，所以l⊥m，l⊥n，则l⊥m'，l⊥ n'.
显然，m'与n'是β内的相交直线.故l⊥β.
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动
求解
结论也是证明“线面垂直”的一种方法，结论可以作为定理使用
巩固练习
练习4.4.1
1. 在底面为矩形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面AD1与平面A1C1的位置关系是 ,平面AB1与平面DC1的位置关系是 .
2. 判断下列命题的真假.
(1) 如果平面α与β没有公共点，那么α∥β ；
(2) 在图中所示的三棱锥中，若A'C'∥AC，则平面A'B'C'∥平面ABC；

(3)如果m⊆α，n⊆α，且m∥β，n∥β，那么α∥β；
(4)如果m⊆α，n⊆ β，且α∥β，那么m∥n；
(5)如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ.
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、AB、AD、A1D1的中点，求证：平面EFGH∥平面BB1D1D.
4.已知平面α∥β，ΔABC在β内，AB、AC分别与平面α 相交于D、E两点，如图所示，求证：.
5.工程人员具有一丝不苟、精益求精的工匠精神是工程质量的基本保障.为检验所铺设的地板是否达到水平要求,工程人员将水平仪(如图)分两次交叉放置在地板上,如果气泡两次都在正中间,则说明地板与水平面平行,达到要求.你知道其中的原理吗？


提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
4.4.2 二面角
打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？

提出
问题
引发
思考
思考

分析
回答
通过熟悉物体创设情境，引入二面角
探索新知
观察可知,显示屏的开合程度可以用角度来描述.
平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.

当二面角的棱为l，两个面分别为α、β时，二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C. 
如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB，射线 OA、OB 所成的最小正角称为这个二面角的平面角. 
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
如图，平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.

规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角.
讲解


说明



展示图像引发思考


分析讲解




讲解展示
指导

理解


思考



观察
图像
分析
问题


理解
体会




观察
体验
操作

借助图形直观或操作演示的方式帮助学生理解
典型例题
例3  已知二面角α-l-β是锐角，其面α内一点A到棱l的距离为2，到面的距离为l，求这个二面角的大小.
解 如图所示，过点A作AB⊥l，垂足为B；再作AC⊥β，垂足为C,连接. 由题意可知AB=2，AC=1.
因为AC⊥β，l⊆β，所以AC⊥l ,又因为AB⊥l,AB交AC于点A，所以l⊥平面ABC. 
又因为 BC⊆平面ABC，所以l⊥BC，从而∠ABC 是二面角α-l-β的一个平面角. 
因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以.
因此，二面角α-l-β的大小是.

例4 求证:如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，O为垂 足且与两半平面的交线分别为 OA、OB，如图所示.那么∠AOB 是二面角α-l-β的平面角. 
证明 因为γ∩α=OA，γ∩α=OB，所以OA ⊆ γ，OB ⊆ γ. 
又因为l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB. 因此，∠AOB 是二面角α-l-β的一个平面角.

例4中,垂直于棱l的平面,与二面角α-l-β的交线 OA、OB构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.
提问
引导

讲解
强调

指导
思考
分析

解决
交流

主动
求解
例3是已知线面所成角来求二面角的平面角的例子







例4利用面面相交的交线来求二面角的平面角
情境导入
探究与发现
我们己经知道了两条直线所成的角和直线与平面所成的角的定义,那么,两个平面所成的角怎样定义呢？

引发
思考

分析
交流
类比直线成角
探索新知
在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不大于，这个二面角称为两个相交平面所成的角.于是，两个相交平面所成角的范围是，这样的角有两个.
讲解


说明
理解


思考
分析相交平面所成角及范围
典型例题
例5  如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面 AB1C1D与平面ABCD 所成的角的大小.
证明 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均是正方形,所以 AD⊥A A1，AD⊥AB. 
又因为 A A1与AB 相交，所以AD⊥平面A A1B1B.
因为AB1⊆平面AA1B1B，所以 AD⊥AB1，从而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一个平面角.
因为AB1是正方形AA1B1B的对角线,所以∠B1AB=
因此,平面AB1C1D与平面ABCD所成的角的大小是
提问
引导




讲解
强调


指导分析
思考
分析




解决
交流



主动
求解
巩固学生对相交平面所成角的定义
巩固
练习
练习4.4.2
1. 己知二面角α-l-β，C∈α，D∈β，AC⊥AB，AD⊥AB，垂足均为A，则二面角α-AB-β的平面角是 . 
2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，试找出二面角
A1-BD-A 与二面角A1-BD-C 的一个平面角，并分析二者之间的大小关系. 
3.判断下列说法是否正确.
(1)两个相交平面所成的角的取值范围是，而二面角的取值范围是[0,π]；
(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，D1A B1是二面角
D1-A A1-B1的平面角； 
(3)分别在二面角的两个面内取一条直线，使两条直线相交，则相交直线所成的角是二面角的平面角. 
4. 己知等腰ΔABC的腰长为5cm，底边长为8cm. 现沿着底边上的高AD 对折，折后，求二面角 B-AD-C的大小.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,，BC=AA1=1，求二面角B1-CD-A的大小.
6. 我国水利建设具有悠久的历史,尤其中华人民共和国成立后,修建了许多水车,在防洪、用水、供电、灌溉等方面发挥了巨大作用.如图所示,某水库大坝高85m,斜坡面与水平面成45°角,则斜坡面有多长？


提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
4.4.3 两平面垂直
观察教室，可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？

引发
思考

分析
交流
感受平面位置关系
新知探索
当两个平面所成的角是时，称这两个平面互相垂直. 此时两个平面相交形成的四个二面角都是.平面α与平面β垂直，记作α⊥β. 
要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为 除此之外,还有什么方法呢？
我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直. 
如图所示,直线 AB⊥平面β, 垂足为 B, AB⊆平面α. 
设α∩β=CD, 则B∈CD.在β内过点B作BE⊥CD. 
由 AB⊥β可知AB ⊥ CD, AB⊥BE. 
于是,∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 且∠ABE是直角.
因此, α与β所成的角是, 即α⊥β . 

于是，有下面的结论：
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
讲解


说明



展示图像


讲解强调




说明
理解


思考



观察
分析


理解
要点




领会


利用直二面角来定义两个平面垂直，也可以用相交平面所成二面角是直角来定义
典型例题
例6 如图所示,己知∠ACB= 90°,P是平面ABC 外一点，且 PA⊥平面ABC,求证: 平面PAC⊥平面PBC.

证明 因为∠ACB= 90°，所以 AC⊥BC. 
因为PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，所以PA⊥BC. 
因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC. 
因为BC⊆平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. 
利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂直.
提问
引导



讲解
强调



指导分析
思考
分析



解决
交流



主动
求解
可利用身边的实物模型演示，通过直观感知，启发学生发现
新知探索
两平面垂直的性质定理  如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .
已知: α⊥β，α∩β=CD，AB⊆α，AB⊥CD，垂足为B，如图所示 .
求证: AB⊥ β. 

证明 在平面β内过点B作BE⊥CD，则由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD-β的平面角.
因为α⊥β，所以∠ABE=90°，即 AB⊥BE.
则AB 与两条相交直线 BE、CD 都垂直，故AB⊥ β. 
讲解内容



演示证明
领会
要点



演算
思考
引导学生领会的思想方法，提高空间观念和空间想象力
典型例题
例7 己知平面α⊥平面β，点A∈α，且AB⊥β，垂足是B. 求证: AB ⊆ α.

证明 如图所示设α∩β =l，假设 AB⊈α. 
在平面α内过点A作AC⊥l，垂足为C.则AB与AC相交.因为 α⊥β，所以且 AC⊥β.
又因为AB⊥β，所以 AB//AC，这与 AB、AC 相交矛盾，故假设不成立，所以AB ⊆ α.
提问
引导



讲解
强调



指导分析
思考
分析



解决
交流



主动
求解
加深对反证法的理解，帮助学生对两个定理和反证法更深入认识
巩固练习
练习4.4.3
1.判断下列命题的真假.
(1)如果m⊥β，m⊆α，那么α⊥β；
(2)如果m⊆α，n ⊆β，且m⊥n，那么α⊥β；
(3)如果m⊆α，α⊥β，那么m⊥β；
(4)如果α⊥β，α∩β=l，m⊥l，那么m⊥β.
2.按要求画出满足条件的一个图形.
(1)直二面角； (2)两个互相垂直的平面. 
3. 己知AB为一个圆的直径, 点C为圆上不同于A、B的点,PA垂直于圆所在平面,如图所示,求证：平面PAC⊥平面PBC. 

4. 已知α⊥β,α∩β=l,AB⊆α,AB⊥l,垂足为 B, AB=5cm,C∈B,线段AC 在B上的射影 BC 的长度为12cm,如图所示.求 AC的长.

  5. 在墙上挂一个镜框,为了使镜框下沿与地面平行,可先拿两根等长的木棍紧靠壁放在地上,并让木棍与墙角线垂直,再把镜框下沿放到木棍上.试说明这一方法据的数学原理是什么. 

提问


巡视




指导

思考


动手
求解



交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养
学生
总结
学习
过程
能力
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究
延伸学习