辽宁省+丹东市+振兴区丹东市第六中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+

这是一份辽宁省+丹东市+振兴区丹东市第六中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷+，共30页。试卷主要包含了下列式子，到三角形各顶点距离相等的点是，若a＜b，则下列变形正确的是，用“＞”或“＜”填空等内容，欢迎下载使用。

辽宁省丹东六中2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）
一.选择题。（每题2分，共18分）
1．下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．到三角形各顶点距离相等的点是（　　）
A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高交点
4．若a＜b，则下列变形正确的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B．4a＞4b C．2a+1＞2b+1 D．﹣3a＞﹣3b
5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．m2﹣4m+3＝（m﹣1）（m﹣3）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
7．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1
8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝m（x+3）﹣1（m≠0）和y2＝a（x﹣1）+2（a≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，m的取值范围为（　　）
A．m≥ B．m＞ C．m≤且m≠0 D．m＜且m≠0
9．如图，点A，B，C在同一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△PBQ为等边三角形；④MB平分∠AMC；⑤∠PEQ＝30°．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题。（每题2分，共18分）
10．用“＞”或“＜”填空：若﹣2a+1＜﹣2b+1，则a　 　b．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是　 　．

12．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上DE⊥AB于点E，FD⊥BC交AC与点F．若∠AFD＝142°，则∠EDF＝　 　．

14．已知x+y＝8，xy＝6，则x2y+xy2＝　 　．
15．当x　 　时，式子的值不大于1．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是边BC上的中线，AD＝2，则△ACB的面积是 　 　．

17．如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝　 　．

18．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　 　．
​

三.解答题。（共计64分）
19．（8分）（1）解关于x的一元一次不等式5x﹣1＞3（x+1），并在数轴上表示该不等式的解集．
（2）解不等式组：．

20．（16分）分解因式：
①4a2﹣9b2；
②2a（m﹣n）﹣6ab（n﹣m）；
③4x2+4x+1；
④﹣a+2a2﹣a3．
21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

22．（6分）如图所示，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．

23．（8分）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
24．（6分）观察图象填空：
（1）如图1，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 　 　；
（2）如图2，两条直线的交点坐标为 　 　，方程2x﹣1＝x+1的解是 　 　；不等式2x﹣1＞x+1的解是 　 　；
（3）如图3，一次函数y1＝﹣x+1和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是 　 　．
​
25．（8分）如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．
（1）若点D在y轴上，且△ABD为等腰三角形，则D点坐标为 　 　；
（2）如图2，直线BC交x轴负半轴于点C，且AB＝AC，P为射线CB上一点，以点O为旋转中心将点P旋转90度得到点Q，当点Q落在直线AB上时，写出Q点的坐标为 　 　；
（3）在（2）的条件下，M为线段CB上一点，且CM＝BP，在直线AB上确定点N，使△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标为 　 　；
（4）过（2）中的点C作直线a垂直于x轴，点E在直线a上，若△ABE的面积等于△ABC的面积，则点E的坐标为 　 　．
​
26．（6分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射线BM⊥BC于点C，动点D从点B出发沿射线BM方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒；
（1）以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BE，BE是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出BE最小时的t值及BE的最小值；
（2）若射线BN为∠ABM的平分线，当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动（0≤t≤2），连接FD交BN于点G，当△BGF为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值．
​

参考答案与试题解析
一.选择题。（每题2分，共18分）
1．下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：①3＞0，属于不等式；
②4x+5＞0，属于不等式；
③x＜3，属于不等式；
④x2+x属于代数式，不合题意；
⑤x＝﹣4属于方程，不合题意；
⑥x+2＞x+1，属于不等式．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质即可得出结论．
【解答】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意；
D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度）是解答此题的关键．
3．到三角形各顶点距离相等的点是（　　）
A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高交点
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
4．若a＜b，则下列变形正确的是（　　）
A．a﹣1＞b﹣1 B．4a＞4b C．2a+1＞2b+1 D．﹣3a＞﹣3b
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A．不等式两边都减去1，不等号的方向不变，故A不正确，不符合题意；
B．不等式两边都乘以4，不等号的方向不变，故B不正确，不符合题意；
C．不等式两边都乘以2后再加上1，不等号的方向不变，故C不正确，不符合题意；
D．不等式两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，正确找出选项中不等式与原不等式的变化点是解题的关键．
5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．m2﹣4m+3＝（m﹣1）（m﹣3）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy
【分析】因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
【解答】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B．m2﹣4m+3＝（m﹣1）（m﹣3），是因式分解，符合题意；
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D．（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，整式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据角平分线的性质和线段的和差求解即可．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝DC，
∵DE＝3，BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
7．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞m﹣1，
∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣1≤m＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝m（x+3）﹣1（m≠0）和y2＝a（x﹣1）+2（a≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，m的取值范围为（　　）
A．m≥ B．m＞ C．m≤且m≠0 D．m＜且m≠0
【分析】由题意可知y1∥y2，且y2在y1的上方，则a＝m，当y1＝ax+2﹣a经过点（﹣3，﹣1）时，a＝，此时两直线相交，则m＜时，y1＞y2．
【解答】解：∵y1＝m（x+3）﹣1（m≠0），
∴直线经过定点（﹣3，﹣1），
∵无论x取何值，始终有y2＞y1，
∴y1∥y2，且y2在y1的上方，
∴a＝m，
当y2＝a（x﹣1）+2经过点（﹣3，﹣1）时，
﹣1＝﹣4a+2，
∴a＝，
此时两直线相交，
∴a＜时，y2＞y1，
即m＜且m≠0．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．
9．如图，点A，B，C在同一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△PBQ为等边三角形；④MB平分∠AMC；⑤∠PEQ＝30°．其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA＝60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP＝BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP＝∠BMQ，即MB平分∠AMC．
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，故②正确；
在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，故③正确；
∵∠DMA＝60°，
∴∠AMC＝120°，
∴∠AMC+∠PBQ＝180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP＝BQ，
∴，
∴∠BMP＝∠BMQ，
即MB平分∠AMC；故④正确；
已有的条件无法求∠PEQ的度数，故⑤错误；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二.填空题。（每题2分，共18分）
10．用“＞”或“＜”填空：若﹣2a+1＜﹣2b+1，则a　＞　b．
【分析】由解不等式的方法求解．
【解答】解：﹣2a+1＜﹣2b+1，
﹣2a＜﹣2b，
a＞b，
故答案为：＞．
【点评】考查了不等式的性质注意：①移项要变号，②不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的符号要改变．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是　85°　．

【分析】先根据旋转的性质得到∠BCB′＝35°，然后根据三角形外角性质计算出∠AEC的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，
∴∠BCB′＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝50°+35°＝85°．
故答案为85°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 　m≤3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由x+1＞4，得：x＞3，
又x＞m且不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故答案为：m≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上DE⊥AB于点E，FD⊥BC交AC与点F．若∠AFD＝142°，则∠EDF＝　52°　．

【分析】先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B＝∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝142°，
∴∠EDB＝∠CFD＝180°﹣142°＝38°，
∴∠EDF＝90°﹣∠EDB＝90°﹣38°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题综合考查等腰三角形与直角三角形的性质及三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
14．已知x+y＝8，xy＝6，则x2y+xy2＝　48　．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解，然后代入求值即可．
【解答】解：∵x+y＝8，xy＝6，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）
＝6×8
＝48．
故答案为：48．
【点评】考查了因式分解﹣提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
15．当x　≥﹣1　时，式子的值不大于1．
【分析】根据题意可以得到≤1，然后求解即可．
【解答】解：由题意可得，
≤1，
解得x≥﹣1，
故答案为：≥﹣1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是边BC上的中线，AD＝2，则△ACB的面积是 　6　．

【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证△ADC≌△EDB（SAS），得BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，再由勾股定理的逆定理证∠EAB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，
又∵AE＝2AD＝4，AB＝3，
∴BE2＝AE2+AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB＝90°，
则S△ACB＝2S△ABD＝2××2×3＝6，
故答案为：6．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝　20°　．

【分析】由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，可得PA＝PB，AQ＝CQ，即可证得∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，又由∠BAC＝120°，可求得∠B+∠C的度数，即可得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵PM垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
同理：QC＝QA，
∴∠C＝∠CAQ，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠BAP+∠CAQ的度数是关键．
18．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　39　．
​

【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，

∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝26°，
∴∠QED＝26°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，
故答案为：39．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
三.解答题。（共计64分）
19．（8分）（1）解关于x的一元一次不等式5x﹣1＞3（x+1），并在数轴上表示该不等式的解集．
（2）解不等式组：．

【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去括号得：5x﹣1＞3x+3，
移项得，5x﹣3x＞3+1，
合并同类项得：2x＞4，
解得：x＞2，
在数轴上表示出它的解集为：
．
（2），
由①得：x≤，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤．
【点评】此题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式（组）的解法是解本题的关键．
20．（16分）分解因式：
①4a2﹣9b2；
②2a（m﹣n）﹣6ab（n﹣m）；
③4x2+4x+1；
④﹣a+2a2﹣a3．
【分析】①利用平方差公式因式分解即可；
②利用提公因式法因式分解即可；
③利用完全平方公式因式分解即可；
④提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：①原式＝（2a+3b）（2a﹣3b）；
②原式＝2a（m﹣n）（1+3b）；
③原式＝（2x+1）2；
④原式＝﹣a（1﹣2a+a2）
＝﹣a（1﹣a）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，P（2，0）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（6分）如图所示，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．

【分析】由BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE，利用HL的判定方法，即可证得Rt△BCE≌Rt△CBD，则可得∠ABC＝∠ACB，由等角对等边，即可判定：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠CEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
∵，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（8分）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得a的取值范围，结合实际付款总金额＝0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．
【解答】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：，
解得．
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；

（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，
则a≥3（100﹣a），
解得a≥75．
设实际付款总金额是y元，则
y＝0.9[100a+80（100﹣a）]，即y＝18a+7200．
∵18＞0，y随a的增大而增大，
∴当a＝75时，y最小．
即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
24．（6分）观察图象填空：
（1）如图1，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 　x＞3　；
（2）如图2，两条直线的交点坐标为 　（2，3）　，方程2x﹣1＝x+1的解是 　x＝2　；不等式2x﹣1＞x+1的解是 　x＞2　；
（3）如图3，一次函数y1＝﹣x+1和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是 　2＜x＜4　．
​
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
②通过观察图象求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），
∴观察图象，不等式kx+b＜2的解集是x＞3，
故答案为：x＞3；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为（2，3）；
∵2x﹣1＝x+1的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为x＝2；
由图象可得，当x＞2时，2x﹣1＞x+1，
∴不等式2x﹣1＞x+1的解是x＞2，
故答案为：（2，3），x＝2，x＞2；
（3）①联立方程组，
解得，
∴A（2，﹣1），
当y＝0时，x﹣2＝0，
∴x＝4，
∴C（4，0）；
②由的图象可知，当x＜4时，
＜0，
当x＞2时，x−2＞−x+1，
∴关于x的不等式组式组的解集为2＜x＜4．
故答案为：2＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数与方程组及不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．
25．（8分）如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．
（1）若点D在y轴上，且△ABD为等腰三角形，则D点坐标为 　（0，﹣6）或（0，16）或 或 （0，﹣4）　；
（2）如图2，直线BC交x轴负半轴于点C，且AB＝AC，P为射线CB上一点，以点O为旋转中心将点P旋转90度得到点Q，当点Q落在直线AB上时，写出Q点的坐标为 　（，﹣）　；
（3）在（2）的条件下，M为线段CB上一点，且CM＝BP，在直线AB上确定点N，使△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标为 　（﹣，）　；
（4）过（2）中的点C作直线a垂直于x轴，点E在直线a上，若△ABE的面积等于△ABC的面积，则点E的坐标为 　（﹣2，15）　．
​
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的解析式，分情况求出D点坐标即可；
（2）先求出直线AC的解析式，过点P作PS⊥y轴于点S，过点Q作QK⊥x轴于点K，证△SOP≌△KOQ（AAS），SP＝KQ，OK＝OS，设P（c，3c+6），Q（e，﹣e+6），根据等腰直角三角形的性质求出Q点的坐标即可；
（3）先求出M点的坐标，设出N点的坐标，根据等腰三角形的性质列方程求解即可；
（4）设E（﹣2，s），根据三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】解：（1）把A（8，0）代入 ，
得，
解得：b＝6，
∴直线AB的解析式为：，
∵OA＝8，∠AOB＝90°，
∴，
（Ⅰ）AB＝AD时，
点D在y轴负半轴上，点D与点B关于轴对称，
∴D（0，﹣6）；
（Ⅱ）BD＝AD时，
B（0，6），A（8，0），
设D（0，y），则BD＝6﹣y，，
即6 ，
解得，
∴D（0，﹣）；
（Ⅲ）AB＝BD时，
若D在负半轴，则D（0，﹣4）；
若D在正半轴时，则D（0，16）；
综上所述D（0，﹣6）或（0，16）或 或 （0，﹣4），
故答案为：（0，﹣6）或（0，16）或 或 （0，﹣4）；
（2）∵AC＝AB，
∴C（﹣2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+d，
代入A点和C点的坐标得，，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+6，
∵P为射线CB上一点，以点O为旋转中心将点P旋转90度得到点Q，点Q落在直线AB上，
∴△POQ是等腰直角三角形，
过点P作PS⊥y轴于点S，过点Q作QK⊥x轴于点K，

∵∠SOP+∠POK＝∠QOK+∠POK＝90°，
∴∠SOP＝∠QOK，
又∵OP＝OQ，∠PSO＝∠QKO＝90°，
∴△SOP≌△KOQ（AAS），
∴SP＝KQ，OK＝OS，
设P（c，3c+6），Q（e，﹣e+6），
∴c＝﹣（﹣e+6），3c+6＝e，
解得c＝，e＝，
∴Q（，﹣），
故答案为：Q（，﹣）；
（3）∵CM＝BP，C（﹣2，0），B（0，6），P（，），
即B点向右移动个单位，向上平移个单位得到P点坐标，
∴C点向右移动个单位，向上平移个单位得到M点坐标，
即M（﹣，），
∵N点在直线AB上，
设N（n，﹣n+6），
∵△PMN是以PM为斜边的等腰直角三角形，
∴PN2＝MN2，
即（﹣n）2+（+n﹣6）2＝（n﹣）2+（﹣n+6﹣）2，
解得n＝﹣，
∴N（﹣，），
故答案为：（﹣，）；
（4）设E（﹣2，s），
∵△ABE的面积等于△ABC的面积，
∴S△ACE﹣S△ABC﹣S△BCE＝S△ABC，
即﹣AC•OB﹣CE•|yE|＝AC•OB，
∴10×s﹣10×6﹣×s×2＝，
解得s＝15，
∴E（﹣2，15），
故答案为：（﹣2，15）．
【点评】本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
26．（6分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射线BM⊥BC于点C，动点D从点B出发沿射线BM方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒；
（1）以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BE，BE是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出BE最小时的t值及BE的最小值；
（2）若射线BN为∠ABM的平分线，当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动（0≤t≤2），连接FD交BN于点G，当△BGF为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值．
​
【分析】（1）根据“垂线段最短”可知：当BE⊥AB时，BE为最小．过点A作AH⊥BM于点H，先证∠DAH＝∠E，进而可依据“AAS”判定△AHD和△EBA全等，从而得AH＝BE，DH＝AB＝2，然后再求出BH＝1，AH＝√3，进而可得出答案；
（2）先求出MBN＝∠ABN＝30°，BD＝AF＝t，根据△BGF为等腰三角形，有以下三种情况：①当GF＝BF时，则∠FBG＝∠FGB＝∠DBG＝30°，故此种情况不存在；②当BF＝BG时，则∠GBF＝∠GFB＝30°，则∠BDF＝90°，据此得BF＝2BD＝2t，则AB＝AF+BF＝t+2t＝2，由此即可求出t的值；③当BG＝BF时，则∠BGF＝∠BFG＝（180°﹣30°）＝75°，过点G作GT⊥BD于点T，先证△GDT为等腰直角三角形，设DT＝GT＝x，则BG＝2x，BT＝x，BD＝BT+DT＝（+1）x＝t，由此得，则BF＝BG＝2x＝（﹣1）t，再由AB＝BF+AF＝2得，由此即可求出t的值，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）BE存在最小值．
根据“垂线段最短”可知：当BE⊥AB时，BE为最小．
∵BE⊥AB，
∴∠E+∠BAE＝90°，
过点A作AH⊥BM于点H，如图：

∵MB⊥BC，
∴AH∥BC，
∴∠HAB＝∠ABC＝30°，
由旋转的性质得：∠DAE＝120°，AD＝AE，
∴∠DAH+∠HAB+∠BAE＝120°，
∴∠DAH+∠BAE＝120°﹣∠HAB＝120°﹣30°＝90°，
∴∠DAH＝∠E，
∵AH⊥BM，BE⊥AB，
∴∠AHD＝∠EBA＝90°，
在△AHD和△EBA中，
，
∴△AHD≌△EBA（AAS），
∴AH＝BE，DH＝AB＝2，
∵BM⊥BC，∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝60°，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，AB＝2，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝×2＝1，
由勾股定理得：，
∴，BD＝DH+BH＝2+1＝3，
∴运动的时间t＝3÷1＝3秒，BE的最小值为；
（2）由（1）可知：∠ABM＝60°，
∵BN为∠ABM的平分线，
∴MBN＝∠ABN＝30°，
∵当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动，
速度每秒1个单位长度，时间为t秒，
∴BD＝AF＝t，
当△BGF为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当GF＝BF时，则∠FBG＝∠FGB＝30°，如图：

∵∠DBG＝30°，
∴∠FGB＝∠DBG＝30°，这与三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的一个内角相矛盾，此种情况不存在；
②当BF＝BG时，则∠GBF＝∠GFB＝30°，如图：

∵∠DBF＝60°，
∴∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，∠BFD＝30°，
∴BF＝2BD＝2t，
∴AB＝AF+BF＝t+2t＝2，
解得：，
③当BG＝BF时，则∠BGF＝∠BFG＝（180°﹣30°）＝75°，过点G作GT⊥BD于点T，如图：

∵∠BGF＝∠DBG+∠GDT，
∴∠GDT＝∠BGF﹣∠DBG＝75°﹣30°＝45°，
∴△GDT为等腰直角三角形，
设DT＝GT＝x，
在Rt△BTG中，∠TBG＝30°，TG＝x，则BG＝2x，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴BF＝BG＝2x＝（﹣1）t，
∴AB＝BF+AF＝2，
即：，
解得：．
综上所述：当△BGF为等腰三角形时，t的值为或．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短时解答此题的关键，难点是分类讨论思想与方程思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点．