山东省滨州市2020年中考数学试卷
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列式子中,正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图,AB//CD,点P为CD上一点,PF是∠EPC的平分线,若∠1=55°,则∠EPD的大小为( )
A.60° B.70° C.80° D.100°
3.冠状病毒的直径约为80~120纳米,1纳米=米,若用科学记数法表示110纳米,则正确的结果是( )
A.米 B.米 C.米 D.米
4.在平面直角坐标系的第四象限内有一点M,到x轴的距离为4,到y轴的距离为5,则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
5.下列图形:线段、等边三角形、平行四边形、圆,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB//x轴,点C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
7.下列命题是假命题的是( )
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. B.对角线互相垂直的矩形是正方形.
C.对角线相等的菱形是正方形. D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.
8.已知一组数据5,4,3,4,9,关于这组数据的下列描述:
①平均数是5,②中位数是4,③众数是4,④方差是4.4,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.在中,直径弦于点若,则的长为( )
A. B.
C. D.
10.对于任意实数k,关于x的方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判定
11.对称轴为直线的抛物线(为常数,且)如图所示,小明同学得出了以下结论:①,②,③,④,⑤(为任意实数),⑥当时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF;把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点处,得到折痕BM,BM与FF相交于点N.若直线B A’交直线CD于点O,BC=5,EN=1,则OD的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A= .
15.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2,则该反比例函数的解析式为 .
16.如图,是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E、F,G,H,ED与相交于点M,则sin∠MFG的值为 .
17.现有下列长度的五根木棒:3,5,8,10,13,从中任取三根,可以组成三角形的概率为 .
18.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围为 .
19.观察下列各式:, 根据其中的规律可得 (用含n的式子表示).
20.如图,点是正方形内一点,且点到点、、的距离分别为、、,则正方形的面积为 .
三、解答题
21.先化简,再求值:其中
22.如图,在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点P,并分别与x轴相交于点A、B.
(1)求交点P的坐标;
(2)求PAB的面积;
(3)请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗,并写出此时自变量x的取值范围.
23.如图,过对角线与的交点作两条互相垂直的直线,分别交边、.、于点、、、.
(1)求证:;
(2)顺次连接点、、、,求证:四边形是菱形.
24.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.
(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?
(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?
(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?
25.如图,AB是的直径,AM和BN是它的两条切线,过上一点E作直线DC,分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.
(1)求证:直线CD是的切线;
(2)求证:
26.如图,抛物线的顶点为A(h,-1),与y轴交于点B,点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l是过点C(0,-3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线l的距离为d,求证:PF=d;
(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标.
参考答案:
1.C
【分析】根据绝对值的性质计算即可;
【详解】,故A错误;
,故B错误;
,故C正确;
,故D错误;
故答案选C.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,准确计算是解题的关键.
2.B
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论.
【详解】解:∵AB∥CD,
∴∠1=∠CPF=55°,
∵PF是∠EPC的平分线,
∴∠CPE=2∠CPF=110°,
∴∠EPD=180°-110°=70°,
故选:B.
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
3.C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】解:110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米.
故选:C.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10-n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
4.D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【详解】解:设点M的坐标为(x,y),
∵点M到x轴的距离为4,
∴,
∴,
∵点M到y轴的距离为5,
∴,
∴,
∵点M在第四象限内,
∴x=5,y=-4,
即点M的坐标为(5,-4).
故选:D.
【点睛】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离,象限内点的坐标的符号特点等,其中要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为(+,-).
5.B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】解:线段是轴对称图形,也是中心对称图形;
等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;
平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;
圆是轴对称图形,也是中心对称图形;
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个.
故选:B.
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
6.C
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E,利用反比例函数系数k的几何意义,分别得到四边形AEOD的面积为4,四边形BEOC的面积为12,即可得到矩形ABCD的面积.
【详解】过点A作AE⊥y轴于点E,
∵点A在双曲线上,
∴四边形AEOD的面积为4,
∵点B在双曲线上,且AB//x轴,
∴四边形BEOC的面积为12,
∴矩形ABCD的面积为12-4=8,
故选:C.
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义,熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键.
7.D
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.
【详解】解:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确;
对角线互相垂直的矩形是正方形,正确;
对角线相等的菱形是正方形,正确;
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
可知选项D是错误的.
故选:D.
【点睛】本题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
8.D
【分析】先把数据由小到大排列为3,4,4,5,9,然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数,中位数和众数,再根据方差公式计算数据的方差,然后利用计算结果对各选项进行判断.
【详解】解:数据由小到大排列为3,4,4,5,9,
它的平均数为=5,
数据的中位数为4,众数为4,
数据的方差=[(3-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(9-5)2]=4.4.
所以①②③④都正确.
故选:D.
【点睛】本题考查了方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,也考查了平均数,中位数和众数的定义.
9.C
【分析】先连接OD,然后利用垂径定理和勾股定理解答即可.
【详解】解:如图连接OD
∵直径AB=15,
∴DO=BO=7.5,
∵OC:OB=3:5,
∴CO=4.5,
∵DE⊥AB,
∴DC=
∴DE=2DC=12.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关键.
10.B
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值,再根据根的判别式的内容判断即可.
【详解】解:,
,
不论k为何值,,
即,
所以方程没有实数根,
故选:B.
【点睛】本题考查了根的判别式,能熟记根的判别式的内容是解此题的关键,注意:一元二次方程ax2-bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
11.A
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号,由抛物线与轴的交点判断的符号,结合对称轴判断①,然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②,根据对称性求得时的函数值小于0,判断③;根据时的函数值,结合,代入即可判断④,根据顶点坐标即可判断⑤,根据函数图象即可判断⑥.
【详解】解:①由图象可知:,
∵对称轴为直线:,
∴,
∴,故①错误;
②∵抛物线与轴有两个交点,
∴,
∴,故②正确;
③∵对称轴为直线,则与的函数值相等,
∴当时,,故③错误;
④当时,,
∴,故④正确;
⑤当时,取到最小值,此时,,
而当时,,
所以,
故,即,故⑤正确,
⑥当时,y随的增大而减小,故⑥错误,
综上,正确的是②④⑤共3个,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定.
12.B
【分析】根据中位线定理可得AM=2,根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M=A′N=2,过M点作MG⊥EF于G,可求A′G,根据勾股定理可求MG,进一步得到BE,再根据平行线分线段成比例可求OF,从而得到OD.
【详解】
解:∵EN=1,
∴由中位线定理得AM=2,
由折叠的性质可得A′M=2,
∵AD∥EF,
∴∠AMB=∠A′NM,
∵∠AMB=∠A′MB,
∴∠A′NM=∠A′MB,
∴A′N=2,
∴A′E=3,A′F=2
过M点作MG⊥EF于G,
∴NG=EN=1,
∴A′G=1,
由勾股定理得MG= ,
∴BE=DF=MG= ,
∴OF:BE=2:3,
解得OF=,
∴OD=-=.
故选:B.
【点睛】考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,关键是得到矩形的宽和A′E的长.
13.x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【详解】∵在实数范围内有意义,
∴x−5⩾0,解得x⩾5.
故答案为:x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0,同时也考查了解一元一次不等式.
14.80°
【详解】根据等腰三角形的性质,∠B=∠C=50°,然后根据三角形内角和定理就可推出∠A的度数.
解:∵在△ABC中,AB=AC,∠B=50°
∴∠C=50°
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°
故答案为80°.
15.
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标,再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【详解】令y=2x中y=2,得到2x=2,解得x=1,
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是(1,2),
设反比例函数解析式为,
将点(1,2)代入,得,
∴反比例函数的解析式为,
故答案为:.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标,函数图象的交点坐标,待定系数法求反比例函数的解析式,正确计算解答问题.
16.
【分析】如图(见解析),先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置,再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得,,从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形,又根据矩形的性质可得,,设正方形ABCD的边长为,从而可得,,然后在中,根据正弦三角函数的定义可得,最后根据圆周角定理可得,由此即可得出答案.
【详解】如图,连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得:EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得:
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
,
设正方形ABCD的边长为,则
的半径为
在中,
由圆周角定理得:
则
故答案为:.
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识点,熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键.
17.
【分析】求出任取三根木棒的所有情况,再求出能组成三角形的所有情况,利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒,任意取三根共有10种情况:
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有:
①3、8、10,由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形;
②5、10、13,由于10-5<13<10+5,所以能构成三角形;
③5、8、10,由于8-5<10<8+5,所以能构成三角形;
④8、10、13,由于10-8<13<10+8,所以能构成三角形;
所以有4种方案符合要求,
故能构成三角形的概率是P==,
故答案为:.
【点睛】此题考查三角形的三边关系,列举法求事件的概率,列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面,不能重复也不能遗漏.
18.
【分析】先解不等式组中的两个不等式,然后根据不等式组无解可得关于a的不等式,解不等式即得答案.
【详解】解:对不等式组,
解不等式①,得,
解不等式②,得,
∵原不等式组无解,
∴,
解得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键.
19.
【分析】观察发现,每一项都是一个分数,分母依次为3、5、7,…,那么第n项的分母是2n+1;分子依次为2,3,10,15,26,…,变化规律为:奇数项的分子是n2+1,偶数项的分子是n2-1,即第n项的分子是n2+(-1)n+1;依此即可求解.
【详解】解:由分析得,
故答案为:
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力,要求学生首先分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.
20./
【分析】将绕点顺时针旋转得到,连接,过点作于.由旋转的性质可知,,进而根据等腰直角三角形的性质得到,再根据勾股定理得到,再由直角三角形斜边上的中线得到,最后根据勾股定理求解即可.
【详解】解:如图,将绕点顺时针旋转得到,连接,过点作于.
由旋转的性质可知,,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,,共线,
,
,
,
,
,
正方形的面积为.
故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,直角三角形斜边上的中线,正确构造旋转图形是解题的关键.
21.,0
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简,再计算x,y的值,进而代入得出答案.
【详解】解:
,
,
,
;
∵,
所以,原式.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值,正确进行分式的混合运算是解题的关键.
22.(1);(2)3;(3)
【分析】(1)解析式联立,解方程组即可求得交点P的坐标;
(2)求得A、B的坐标,然后根据三角形面积公式求得即可;
(3)根据图象求得即可.
【详解】解:根据题意,交点的横、纵坐标是方程组的解
解这个方程组,得
交点的坐标为
直线与轴的交点的坐标为
直线与轴交点的坐标为
的面积为
在图象中把直线在直线上方的部分
描黑加粗,图示如下:
此时自变量的取值范围为
【点睛】本题考查了两条直线平行或相交问题,两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解.
23.(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)由证即可;
(2)由全等三角形的性质得出,同理可得,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形,再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形,即可得出结论.
【详解】(1)证明:四边形是平行四边形,
,,
,
在和中,,
;
(2)证明:如图所示:
,
,
同理可得,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,菱形的判定,全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
24.(1)450千克;(2)当月销售利润为元时,每千克水果售价为元或元;(3)当该优质水果每千克售价为元时,获得的月利润最大
【分析】(1)根据销售量的规律:500减去减少的数量即可求出答案;
(2)设每千克水果售价为元,根据题意列方程解答即可;
(3)设月销售利润为元,每千克水果售价为元,根据题意列函数关系式,再根据顶点式函数关系式的性质解答即可.
【详解】解:当售价为元/千克时,每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元,由题意,得
即
整理,得
配方,得
解得
当月销售利润为元时,每千克水果售价为元或元;
设月销售利润为元,每千克水果售价为元,
由题意,得
即
配方,得
,
当时,有最大值,
当该优质水果每千克售价为元时,获得的月利润最大.
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用,顶点式二次函数的性质,正确理解题意,根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答,并正确计算.
25.(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)连接OD,OE,证明△OAD≌△OED,得∠OAD=∠OED=90°,进而得CD是切线;
(2)连接OC,得AM∥BN,得,再证明,进而得出结论.
【详解】解(1)如图,连接
是的切线,
在和中,
是的切线.
(2)连接是的切线,
又是的切线,
平分平分
又
又,
又
【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定,相似三角形的判定与性质,全等三角形的性质与判定,关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形.
26.(1);(2)见解析;(3),
【分析】(1)由题意抛物线的顶点A(2,-1),可以假设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1,把点B坐标代入求出a即可.
(2)由题意P(m,),求出d2,PF2(用m表示)即可解决问题.
(3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N.因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF是定值=,推出DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,再根据垂线段最短解决问题即可.
【详解】解:(1)设抛物线的函数解析式为
由题意,抛物线的顶点为
又抛物线与轴交于点
抛物线的函数解析式为
(2)证明:∵P(m,n),
∴,
∴P(m,),
∴,
∵F(2,1),
∴,
∵,,
∴d2=PF2,
∴PF=d.
(3)如图,过点Q作QH⊥直线l于H,过点D作DN⊥直线l于N.
∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,DF是定值=,
∴DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,
∵QF=QH,
∴DQ+DF=DQ+QH,
根据垂线段最短可知,当D,Q,H共线时,DQ+QH的值最小,此时点H与N重合,点Q在线段DN上,
∴DQ+QH的最小值为6,
∴△DFQ的周长的最小值为,此时Q(4,-).
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,两点间距离公式,垂线段最短等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会用转化的思想思考问题.
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