湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

2024届高三暑假作业检测试卷

数学

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合交集运算可得.

【详解】，

故选：D

2. 已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（    ）

A. ，1 B. 1， C. 1，1 D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.

【详解】由，得，得，

所以解得

故选A.

3. 设P双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ）

A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.

【详解】对于 ，

，所以P点在双曲线的左支，则有 ；

故选：B.

4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（    ）

A. 36 B. 42 C. 50 D. 54

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.

【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为，

高三年级被抽取的人数为人.

故选：D.

5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，求解即可.

【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，

则，解得，

又，解得，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的轴截面的面积是，

故选：B

6. 已知，，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

又，所以；

因为，所以，

又，所以，

所以，

又

所以

.

故选：B.

7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：

①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，

②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：

中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，

③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，

综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.

故选：B.

8 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，，利用导数判断其单调性，进而可得；令，，利用导数判断其单调性，进而可得.

【详解】令，，则，

则在上单调递减，所以，

可知对任意的恒成立，可得，即；

对于，，由，.

令，，则，

则在上单调递增，所以，

即，所以.

综上所述：.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（    ）

A. 若，，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】由空间中线面位置关系可判断.

【详解】由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：

在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；

在B中，若，，，则与相交或平行，故B错误；

在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；

在D中，若，，，则由线面垂直，线线平行的性质可得，故D正确.

故选：ABC.

10. 已知圆，以下四个结论正确的是（    ）

A. 过点与圆M相切的直线方程为

B. 圆M与圆 相交

C. 过点可以作两条直线与圆M相切

D. 圆M上的点到直线的距离的最大值为3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，圆的圆心，半径，

对于A，点在圆M上，圆心M到直线距离为1，

即过点与圆M相切的直线方程为，A正确；

对于B，圆的圆心，半径，

则有，即圆M与圆N外离，B不正确.

对于C，点在圆M外，则过点可以作两条直线与圆M相切，C正确；

对于D，圆心到直线的距离，

则圆M上的点到直线的距离的最大值为，D正确；

故选：ACD

11. 在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（    ）

A. 抛物线的方程为

B.

C. 以为直径的圆的方程是

D. 、、三点共线

【答案】ABD

【解析】

【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，结合，求出的值，可判断A选项；将点的坐标代入抛物线的方程，结合求出的值，可判断B选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据、的关系可判断D选项.

【详解】对于A，因为在抛物线上，所以，又，解得，

所以，抛物线的方程为，故A正确；

对于B，因为在抛物线上，所以，

又，解得，故B正确；

对于C，，，则以为直径的圆的圆心为，

半径，

所以，以为直径的圆的方程是，

即，故C错误；

对于D，因为、、，

所以，，所以，

所以，，三点共线，故D正确.

故选：ABD.

12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（    ）

A.

B.

C. 不存在，使得

D. 存在，使得

【答案】BD

【解析】

【分析】设，根据题意求得在上恒成立，得到在上单调递增，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】设，则，

因为，所以，所以在上恒成立，

且不恒为0，所以在上单调递增，

对于A中，因为，所以，即，

但不能推得，所以A错误；

对于B中，由于，所以，即，所以.所以B正确；

对于C中，假设，则，又在上单调递增，

所以，取，能使等式成立，故存在，使得.所以C错误；

对于D中，存在，使得（如，满足且），

则，即，即，所以D正确.

故选：BD.

【点睛】知识方法：构造法求解与共存问题的求解策略：

（1）对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，

（2）常见类型：①型；②型；③为常数型.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则__________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据模长的坐标表示可得，再结合数量积的运算律运算求解.

【详解】因为，所以，

又因为，所以.

故答案为：4.

14. 设等差数列的前项和为，已知，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】因为，

根据等差数列的性质，可得，

所以.

故答案为：.

15. 已知函数，则______．

【答案】2022

【解析】

【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得.

【详解】易知函数的最小正周期，

而

，

由周期性知，这样连续六项的和均为，

而共有项，，

所以．

故答案为：

16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．

考点：利用导数求函数的极值和最值．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知分别为内角的对边，且.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，得到，由正弦定理化简求得，即可求解；

（2）由（1）得到，结合三角形的面积公式，求得，利用余弦定理列出方程，即可求解.

【小问1详解】

解：因为，

可得，所以，

又因为，可得，

所以，

由正弦定理得，

所以，

由于，所以，则，

又因为，所以.

【小问2详解】

解：由，可得，则，解得，

由余弦定理得，

因为，可得，所以.

18. 已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得，结合与的关系式，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）得到，求得，结合裂项法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：因为，所以，，

又因为，得，，

因为，所以，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，即，

当时，，

两式相减可得，

当时，，适合上式，所以.

【小问2详解】

解：由（1）知，可得，

所以，所以，

所以.

19. 如图所示，直三棱柱中，，，.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题意证得平面，得到，进而证得平面，利用你线面垂直的性质，即可证得；

（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：因为三棱柱为直三棱柱，且，，

在直角与直角中，可得，

所以，所以，

所以，所以.

因为底面，底面，所以，

又，，且平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为，且平面，所以平面，

又因为平面，所以.

小问2详解】

解：以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立的空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则，

令，可得 ，所以平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角的大小为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？

（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中．

【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；

（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.

【小问1详解】

补全的2×2列联表如下：

零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.

根据表中数据，计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.

【小问2详解】

设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，

则，，，

由题意，X可取．

，，

，，

，

所以X的分布列为：

.

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题意，得到的内切圆的半径为，求得，得到，结合，进而求得椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得的面积，结合基本不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：椭圆半焦距为，

因为的内切圆的面积为，所以的内切圆的半径为，

又因为是等边三角形，所以，即，

解得，所以，

可得，则，则，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

解：由，则点，

由题意知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，

且，，

联立方程组，整理得，

由，可得.

且，，

所以的面积，

当且仅当，即时（此时适合的条件）取得等号.

故面积的最大值为.

  【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：

1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

22. 已知函数.

（1）若在处的切线方程平行于直线，求的值以及此时的切线方程；

（2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求得，根据题意得到，求得，进而求得切线方程；

（2）根据题意转化为方程在上有两个不同的实数根，进而得出方程，令，求得在上单调递增，转化为有两个不同的实根，令，求得函数单调性与最值，再由，令，得出函数的单调性，得出，即可求解.

【小问1详解】

解：由函数，可得，

因为在处的切线方程平行于直线，

所以，即，解得，则，

可得，故在处的切线方程为，即.

【小问2详解】

解：由，得，

两边同时取对数得，即，可得，

可得，则，

所以关于的方程在上有两个不同的实数根，

因为，所以，

令，则，所以在上单调递增，

要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根，

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，所以；

当时，，没有零点；

当时，，当且仅当时，等号成立，只有一个零点；

当时，，，，

令，则，即在上单调递增，

所以，即.

所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.

综上可得，实数的取值范围是.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.

结论拓展：与和相关的常见同构模型

①，构造函数或；

②，构造函数或；

③，构造函数或.