江西省赣州市2022-2023学年高一数学上学期11月期中考试试题（Word版附解析）

赣州市2022 ~2023学年度第一学期期中考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据自然数集的定义，写出集合，结合交集的运算，可得答案.

【详解】由题意，，则.

故选：C.

2. 函数，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：C.

3. 若且，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数单调性，采用反例，可得答案.

【详解】选项A，当时，由，则，故A错误；

选项B，由函数在上单调递增，且，则，故B正确；

选项C，由函数在上单调递减，且，则，故C错误；

选项D，当且时，，即，故D错误.

故选：B.

4. 下列选项中表示同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】D

【解析】

【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.

【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于B，因为定义域为R，而的定义域为，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；

对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，

所以是同一函数.

故选：D

5. 函数且，则（    ）

A.  B.  C. 0 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】令，可证明是奇函数，再利用奇函数的性质计算即可.

【详解】由，令，

则，，

故是奇函数，

所以，

所以．

故选:A．

6. 若函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.

【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，

在函数中，，解得或.

故选：D.

7. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.

【详解】因为，

所以

，

所以.

故选：B.

8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得的大小关系，可得答案.

【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，

因为当时，，由，则，即，

所以在上单调递增，则在上单调递减，

由，

由，根据函数在上单调递增，则；

由，根据函数在上单调递增，则.

由函数在上单调递减，则，即.

故选：B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）

9. 下列结论正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“”的必要不充分条件

C. “，有”的否定是“，使”

D. “是方程的实数根”的充要条件是“”

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.

【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，正确；

对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，错误；

对于C，命题“，有”是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；

对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；

当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；

故选：ACD

10. 定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题干条件可得到是定义在上的单调递增奇函数，由此可得到ABD是正确的. 取，则满足题干的所有条件，此时，所以C错误.

【详解】因为定义在上的函数满足，

所以是奇函数，从而，所以A正确；

因为是单调函数，且，

所以是上的单调递增函数，

故，所以B正确；

取，则满足题干的所有条件，

此时，所以C错误；

由于，

且是上的单调递增函数，

故，所以D正确.

故选：ABD.

11. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（    ）

A. 在上是增函数 B.

C. 为奇函数 D. 的值域为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义、函数单调性、奇偶性的定义求解可得答案.

【详解】因为，，

即，故A不正确；B正确；

因为，所以C不正确；

因为表示不超过的最大整数，设，则，

则，即的值域为，故D正确.

故选：BD

12. 若实数，且，则（    ）

A. 的最大值为1 B. 的最小值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，利用基本不等式求解判断即可；对于B，利用基本不等式“1”的妙用即可得解；对于C，利用换元法与配方法即可得解；对于D，将所求转化为关于的式子，再利用基本不等式求解判断即可.

【详解】对于A，因为，，则，

所以，则，即，

当且仅当时，等号成立，则的最小值为1，故A错误；

对于B，因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，故B正确；

对于C，令，则，，故，显然，

所以，

当，即时，等号成立，

所以的最小值为，故C正确；

对于D，因为，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

此时不满足，故上式等号不成立，

所以取不到最小值，故D错误.

故选：BC.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为_________．

【答案】35

【解析】

【分析】求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数.

【详解】由题意，

高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，

∴只参加社团的学生有（人），

只参加社团的学生有（人），

∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，

∴高一（1）班总共有学生人数为：（人）

故答案为：.

14. 幂函数在上为减函数，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意.

【详解】由函数是幂函数，则，

解得或；

当时，，在上为减函数，满足题意；

当时，，在上为增函数，不合题意.

故答案为：.

15. 若且，则_________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据，换元法求得的表达式，由已知列方程求解即可得的值.

【详解】若，设，则，从而

所以，

则，解得或（舍），

故.

故答案为：.

16. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_________．

【答案】####

【解析】

【分析】利用函数的单调性，即可求出实数的取值范围.

【详解】由题意，

法一：

在中，设存在，且，

则，

∵函数在区间上单调递减，

∴，

解得：，

故答案为：.

法二：

在中，，

∵在区间上单调递减，

∴，解得：

故答案为：.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （1）求的值；

（2）不等式的解集为，求实数，的值．

【答案】（1）0；（2）实数，的值分别为3，2．

【解析】

【分析】（1）运用对数恒等式和对数公式计算.

（2）利用根与系数的关系可.

【详解】（1）原式

（2）在方程中，由根与系数的关系得

解之得

所以实数，的值分别为3，2．

18. 著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.

（1）在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；

（2）解不等式.

【答案】（1）作图见解析，单调减区间为和   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用指数函数与一元二次函数图象作图即可，根据图象写出函数单调递减区间求解；

（2）分段讨论解不等式，最后再求并集即可.

【小问1详解】

简图如图所示：

由图可得该函数的单调减区间为和；

【小问2详解】

①当时，得，所以；

②当时，，解得；

综上：不等式的解集为.

19. 函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入点，，待定系数法即可求解；

（2）代入后参变分离可得，换元法结合二次函数知识即可求解.

【小问1详解】

由题意得，解之得，

故；

【小问2详解】

由（1）知在区间上有解，

即在区间上有解，所以，

因为，

由于得，所以当即时，有最大值为，

因此的取值范围为.

20. 从①，②，③三个条件中，任选一个补充到下列横线中，并求解下列问题．

集合，．

（1）当时，求；

（2）若________，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）条件选择见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题意，直接由集合的并集运算，即可得到结果；

（2）根据题意，由①②③可得，然后列出不等式，即可得到的取值范围.

【小问1详解】

当时，而，所以

【小问2详解】

若选①得，

当即时满足

当即时

由得，解得，

综上：的取值范围为

若选②得，答案同上．

若选③得，答案同上．

21. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．

（1）求的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）   

（2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元

【解析】

【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果；

（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.

【小问1详解】

由题意可得，

所以函数的函数关系式为

【小问2详解】

当时，在上单调递减，在上单调递增，

又，，所以，

当时， ，

当且仅当，即时等号成立，此时

综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.

22. 若是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有．

（1）判断函数在上的单调性，并证明；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）函数在上的单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合题意，利用函数单调性的定义即可证明；

（2）结合题意将问题等价转化为对任意的恒成立，分和两种情况分离变量，再利用函数的单调性求出最值即可求解.

【小问1详解】

函数在上单调递增

证明如下：设且，令，，且，

所以，

因为定义在上的为奇函数，得，

由可知，故，即，

所以函数上单调递增.

【小问2详解】

不等式对任意恒成立，

因为函数是定义在上的奇函数，

则有对任意的恒成立，

由（1）可知，函数上单调递增，

则有对任意的恒成立，

所以可得对任意的恒成立，

①当时，不等式化为，即，

故，令，则，

所以，

函数区间上单调递增，所以当时，即时，，

此时实数的取值范围：，

②当时，不等式化为，

即，故恒成立，令，则，

所以，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，即时，，此时实数的取值范围为，

综上实数的取值范围为.