2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题含答案

这是一份2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为，。所以，或，因此，.故选：D.2．复数的共轭复数的模是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘法整理复数的标准型，可得其共轭复数，利用模的计算公式，可得答案.【详解】，则复数的共轭复数为，故其模为.故选：B.3．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算圆心到直线距离的表达式，再结合弦长公式求解即可．【详解】圆圆心为半径为 点到直线的距离为则弦长为，得解得故选：D．4．已知是奇函数，且当时，.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．【详解】解：是奇函数，且当时，．若，，则，得，得，即，得，得，故选：．5．若向量满足，，，则与的夹角为(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】，求得，由即可求夹角.【详解】由题可知，，∴，∴向量与的夹角为.故选：C.6．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系对已知式子化简可求得结果【详解】由，得，所以，因为，所以，，所以，所以，故选：C7．是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先看充分性，数列为常数列可以得到数列为等差数列，而数列为等差数列，举一反例即可证明数列不为常数列，即可得解.【详解】若数列为常数列，则是公差为的等差数列；若数列为等差数列，例如则数列不为常数列．故选：A.8．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ）A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为B．当点P为棱的中点时，CN∥平面C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为D．当点时，满足平面的点P共有2个【答案】C【分析】与不可能垂直，故选项A错误；平移与平面相交于一点，故选项B错误；利用体积相等即可求出点P到平面的距离的最小值为判断选项C，当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项D【详解】由于线面角的最大值为，与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误；取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接,且故平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误；到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故,,故，故选项C正确.当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故选项D错误故选：C. 二、多选题9．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：ACD10．已知函数，则下列结论正确的为（    ）A．的最小正周期为B．的图象关于对称C．的最小值为D．在区间上单调递增【答案】BC【分析】化简函数为，，结合大致图象判断各选项即可求解.【详解】函数，，大致图象如下：    由图可知，函数的最小正周期为，故A错误；函数的图象关于对称，故B正确；函数的最小值为，故C正确；函数在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：BC.11．已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）A．与双曲线的实轴长相等 B．的面积为C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线【答案】BCD【分析】结合双曲线的定义和条件可得，然后，然后逐一判断即可.【详解】由双曲线的定义可得，因为，所以，故A错误；因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，所以，所以的面积为，故B正确；由勾股定理得，即，所以，故C正确因为，所以，即所以双曲线的渐近线方程为：，即，即，故D正确故选：BCD12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）．A．当时，B．函数有五个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立【答案】AD【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．【详解】设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即故A正确．当时，，所以，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极小值，当时，，又，故函数在仅有一个零点．当时，，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点，又，故函数是定义在上有3个零点．故B错误．作出函数的大致图象，由图可知若关于的方程有解，则实数的取值范围是.故C错误．由图可知，对，故D正确．故选：AD．【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数的零点，综合性较强． 三、填空题13．已知展开式中各项的二项式系数和是64，则展开式中的常数项为         .【答案】【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项.【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，，则的展开式的通式为，令，得所以展开式中常数项为.故答案为：.14．若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是     .【答案】（答案不唯一）【分析】取，求出函数的值域，验证成立，即可得出结果.【详解】取函数，因为，则，即函数的值域为，因为，，则，所以，函数的解析式可以为.故答案为：（答案不唯一）.15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为            ．【答案】【分析】利用贝叶斯公式即可求得答案.【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，任取一个零件是次品的概率为如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为.故答案为：.16．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是          【答案】4【分析】将问题转化为恒成立，，将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性即可求解.【详解】由题意等差数列的公差 ，故，所以，由于，单调递减，，所以，从而,故答案为：4 四、解答题17．已知数列满足，．(1)证明：为等差数列；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)证明过程见详解(2) 【分析】（1）由题意可得，再结合等差数列的定义即可证明结论；（2）结合（1）可得的通项公式，从而得到，再利用裂项相消求和即可．【详解】（1）因为数列满足，整理得，所以，又，所以是以1为首项，为公差的等差数列．（2）结合（1）可得，所以，则，所以18．如图，在四棱锥中，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上．(1)取DM中点G，设平面EFG与直线PC交于点H，再从以下两个条件中选择一个作为已知，求；条件①：；条件②：∥平面ABCD．(2)若平面底面ABCD，，，，，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)3(2) 【分析】（1）利用中位线的性质和三角形相似得到，，然后利用面面平行的判定定理得到平面∥平面，最后利用面面平行的性质定理得到，即可得到；（2）建立空间直角坐标系，然后利用向量的方法求二面角的余弦值即可.【详解】（1）条件①：连接，，在中，点和点分别为和的中点，∴，∵为中点，为中点，,∴，，∴，∵，平面，平面，∴∥平面，同理可的，∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴，∵，∴.条件②：在中，点和点分别为和的中点，∴，∵，平面，平面，∴∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴，∵，∴.（2）作交于，∵平面平面，，∴平面，如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴，，，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，，设平面的法向量为，，令，则，，，设平面与平面的锐二面角为，∴.19．设的内角的对边分别为，且.(1)证明：；(2)若，且的面积为3，求的内切圆面积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据正弦定理，利用边角互换的做题思想，结合三角形的三边关系，可得答案.（2）根据余弦定理，结合配方法，代入（1）的等量关系，建立方程，求得角的余弦，进而求得三角形周长，可得答案.【详解】（1），由正弦定理，得，，或若，则，显然不可能，，即，由正弦定理，得，又，.（2）（方法一）的面积为，即，由余弦定理，得，，，整理得，，且，，且，，且，，解得，设面积为，内切圆半径为，则，的内切圆面积为.（方法二）以中点为坐标原点，射线为轴正方向，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，  设，由（1）可知，且，点在焦距为，实轴长为的双曲线：的右支上，.的面积为，解得，代入双曲线方程，解得，或，易知，且，设面积为，内切圆半径为，则，的内切圆面积为.20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2)的取值范围为：（单位：万元）. 【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.（2）由已知万元或万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范围.【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：;第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：，因为，所以，所以.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.（2）由已知万元或万元.由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，业余队获胜的概率为，专业队获胜的概率为，所以，非平局的概率为，平局的概率为.的分布列为：的数学期望为（万元）而，所以的取值范围为：（单位：万元）.21．已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆C的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），的面积；（2）存在；．【分析】（1）根据点在椭圆上求出，进而求出，最后求出离心率及三角形的面积；（2）先根据两种特殊情况求出定点，从而可以获得，再证明实数时，使得直线经过y轴上定点.【详解】解：（1）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，的面积．（2）由已知，直线的方程为，当时，直线的方程为，交y轴于点；当时，直线的方程为，交y轴于点．若直线经过y轴上定点，则，即，直线交y轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点．联立消y整理，得，设，．则，．设点，所以直线的方程：．令，得．因为，所以．所以直线过定点．综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知函数．(1)若曲线与直线相切，求实数a的值(2)若函数有且只有1个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)a的取值范围为或. 【分析】（1）根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上，结合对数方程即可求解；（2）根据函数的零点的定义，利用导数法求函数的最值，结合函数的单调性进行讨论即可求解.【详解】（1）的定义域为且设的图像与直线相切于，则,所以，所以；（2）的定义域为且，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，，所以函数在上存在唯一零点，满足要求；当；由及，得，由及，得所以在上单调递减，在上单调递增；所以当时，函数取最小值，最小值为，因为函数有且只有1个零点，所以，所以.综上所述，a的取值范围为或.【点睛】利用导数研究函数的零点，一般先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理确定函数的零点区间或零点个数.