2024届甘肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2024届甘肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数定义域相关知识直接求解.

【详解】函数，

则，即，即定义域是.

故选：D

2．下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】C

【分析】根据函数的基本性质对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不同，不是一个函数，故A错误；

对于B ，定义域为，定义域为，定义域不同，不是一个函数，故B错误；

对于C，，是一个函数，故C正确；

对于D，，，显然不是一个函数，故D错误.

故选：C

3．已知一次函数满足，则解折式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可.

【详解】设一次函数，

则，

即，所以解得，

所以，

故选:C.

4．函数，则（    ）

A．4 B．2 C．8 D．6

【答案】B

【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系

【详解】因为，

所以.

故选：B

5．已知函数是奇函数，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据奇函数的知识求得，进而求得.

【详解】由于是奇函数，

所以，

即，

解得，则.

故选：A

6．下列函数在区间上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据各选项中的函数解析式，直接判断单调性作答.

【详解】对于A，一次函数在R上单调递增，A不是；

对于B，反比例函数在上单调递减，B是；

对于C，指数函数在R上单调递增，C不是；

对于D，对数函数在上单调递增，D不是.

故选：B

7．已知，则的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数及指数的运算即可得解.

【详解】，

所以.

故选：C.

8．已知幂函数在上单调递减，则（    ）

A． B． C．3 D．或3

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为函数为幂函数，

所以，即，解得或，

又在上单调递减，所以，

故选：B.

二、多选题

9．下列函数为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用奇函数的定义分析判断即可.

【详解】对于A，定义域为，因为，所以为偶函数，所以A不符合题意，

对于B，定义域为，因为，所以为奇函数，所以B正确，

对于C，定义域为，因为，所以为奇函数，所以C正确，

对于D，定义域为，因为，所以为偶函数，所以D不符合题意，

故选：BC

10．如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】CD

【分析】根据二次函数的性质即可求解.

【详解】为开口向上的二次函数，对称轴为，

所以，即，

故选：CD

11．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】先求得的关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.

【详解】由于，所以，

A选项，由于，所以，所以A选项错误.

B选项，当时，，所以B选项错误.

C选项，由于，所以，所以C选项正确.

D选项，在上递减，，所以，所以D选项正确.

故选：CD

12．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（    ）

A．在上单调递减 B．

C．不等式的解集为 D．的图象与轴只有2个交点

【答案】ABC

【分析】根据函数奇偶性，单调性，图象解决即可.

【详解】可作满足题意的下图（不唯一），仅参考

对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确；

对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确；

对C：由选项A与题意可得的解集为，故选项C正确.

对D：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项D错误；

故选:ABC.

三、填空题

13．函数的值域是      ．

【答案】

【分析】求解即可.

【详解】函数

的值域为，所以的值域为

故答案为：

14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为        

【答案】或

【分析】设出一次函数解析式，化简，结合函数相等可得答案.

【详解】设，则

于是有解得或所以或.

故答案为：或.

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，          .

【答案】

【分析】利用奇函数的性质可求时的解析式.

【详解】当时，，

因为函数是定义在上的奇函数，

故.

故答案为：.

16．若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为      ．

【答案】

【分析】因对数函数恒过点，令，求出，再将所求值代入表达式求，即可求出定点坐标.

【详解】令，得.

又，

所以的图像经过定点.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2) ．

【答案】(1)3

(2)10

【分析】根据指对幂的运算规则计算.

【详解】（1）

；

（2）原式；

综上，（1）原式=3；（2）原式=10.

18．已知函数.

(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明；

(2)若，求函数的最大值和最小值.

【答案】(1)在区间上递增，证明见解析

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）设，且，然后作差变形，再判断符号可得结论；

（2）由（1）可知在上递增，从而可求出其最值.

【详解】（1），函数在区间上递增，证明如下：

任取，且，

则

因为，且，所以，，

所以，所以，即，

所以在区间上递增，

（2）由（1）可知在上递增，

所以的最大值为，最小值为.

19．已知函数是上的偶函数，若对于任意的，都有，且当时，，求：

(1)与的值；

(2)的值；

(3)的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由已知条件可求得的值，再由对任意的，，即可求得的值；

（2）由已知条件可得出，代值计算即可得解；

（3）推导出对任意的，，可求得的值，再结合偶函数的性质可求得的值，即可得出的值.

【详解】（1）解：当时，，则，

又因为对任意的，，则.

（2）解：当时，，又因为对任意的，，

则.

（3）解：对任意的，，则，

所以，，

又因为函数为上的偶函数，则，

因此，.

20．已知是定义在上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；

（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.

【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．

此时，经验证，，故．

（2）由（1）可知，

任取，

则，

因为，则，

所以

所以是上的增函数．

由恒成立，

得恒成立，

则，

所以恒成立，

因为，

所以．

实数的取值范围为：．

21．已知幂函数为偶函数．

(1)求的解析式；

(2)若，求函数在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函数可得出的值，由此可得出函数的解析式；

（2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.

【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，解得或.

当时，函数为奇函数，不合乎题意；

当时，函数为偶函数，合乎题意.

综上所述，.

（2）解：由（1）可得，

所以函数在上为减函数，在上为增函数，

所以，，.

因此，函数在区间上的值域为.

22．已知函数.

(1)若，求的值；

(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

【分析】（1）利用函数解析式，再根据条件得到，即可求出结果；

（2）利用证明函数奇偶性的方法：先判断定义域是否关于原点对称；再判断或，即可得出结果.

【详解】（1）因为，又，所以，

得到，解得.

（2）函数为奇函数，证明如下：

由，得到或，所以定义域为且关于原点对称，

又，所以.

所以函数为奇函数.