2024届吉林省长春市第十七中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2024届吉林省长春市第十七中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】由已知得，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：B

2．函数的最小正周期为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的性质求解

【详解】∵，∴该函数的最小正周期为，

故选：B

3．已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对函数求导，将代入求出的值即可.

【详解】由题设，则，故，

故在点处的切线斜率为.

故选：A

4．如果角的终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.

【详解】因为角的终边在直线上，

所以.

所以.

故选：B.

5．若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知当时，取得最值，从而可得，进而可得答案.

【详解】因为函数的图像关于轴对称，

所以当时，取得最值，

所以，得，

对于A，若，则，解得，不合题意，

对于B，若，则，解得，不合题意，

对于C，若，则，解得，题意，

对于D，若，则，解得，不合题意，

故选：C

6．函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求定义域，再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间.

【详解】的定义域为，

，

由，可得，故的单调递减区间为.

故选：C．

7．为了得到函数的图象，需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.

【详解】易知，

，因为，

所以函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.

故选：D．

8．已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大小.

【详解】因为为偶函数，则，

令，则，

所以为偶函数，

又，则当时，

所以在上单调递增，则，

所以，即，故A正确；

，即，

则，即，故B错误；

，即，

则，即，故C错误；

，即，

则，即，故D错误；

故选：A

二、多选题

9．下列四个选项中，计算结果是的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据三角恒等变换公式以及诱导公式一一求解即可.

【详解】对A，，A正确；

对B，

，B正确；

对C，，C正确；

对D，，D错误；

故选:ABC.

10．已知下列四个命题，其中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解.

【详解】对于A, ,故A正确，

对于B，，故B错误，

对于C，，故C错误，

对于D，，故D错误，

故选：BCD

11．函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于中心对称

C．在上单调递减

D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象

【答案】AD

【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定.A选项，由图象可得函数周期；BC选项，由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性可判断选项正误；D选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项.

【详解】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确；

BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即.

将代入，得，则不是对称中心；

，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误；

D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.

故选：AD

12．下列说法正确的有（    ）

A．若随机变量，，则

B．若随机变量，则方差

C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为

D．已如随机变量的分布列为，则

【答案】ABD

【分析】根据概率，正态分布和二项分布的性质，逐个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】对于A，根据正态分布的性质，明显可得，，所以，，A正确；

对于B，直接利用二项分布的方差计算公式，即可求解，B正确；

对于C，设至少有一名女生为事件，则，则，故C错误；

对于D，，得，

可得，解得，所以，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．设函数可导且在处的导数值为1，则      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：.

14．若为奇函数，则实数      .

【答案】

【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.

【详解】若为奇函数，则，

故，解得.

故答案为：1.

15．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是          ．

【答案】

【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.

【详解】由，可得，

设切点为，则，

故切线方程为，即，

又因为切线为，所以，

解得，所以，

故答案为：.

16．函数在内有最小值，则实数的取值范围为       .

【答案】

【分析】将函数在内有最小值等价转化成函数在内必有极值点，再利用导函数研究极值点的范围即可求得实数的取值范围.

【详解】由题意可得，函数的定义域为，

易知，

若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，

又，不妨设为方程的两个不相等实数根，

则有，不妨令，因此即可；

令，根据零点存在定理可得，

解得；

经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：函数在某开区间上有最值问题一般情况下是转化成有极值点，再将极值点问题转化成其导函数在该区间内有零点的问题，利用零点存在定理即可实现问题求解.

四、解答题

17．已知，，

(1)化简；

(2)若为第三象限角，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据诱导公式进行化简;

(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.

【详解】（1）

∴

（2）∵  

∴

∵为第三象限角，

∴

∴的值为.

18．已知函数在处取得极大值.

(1)求的值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值是，最小值是

【分析】（1）根据得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到；

（2）先求出上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值.

【详解】（1），则，

由题意知，即，

解得，此时，

时是的变号零点.

于是符合题意

（2）由（1）知，

，，

令，得到，则递增；

令，得到，则递减，

于是在上只有极小值，

又，

故在区间上的最大值是，最小值是

19．已知函数.

(1)求的最小正周期和单调增区间；

(2)求证：当时，恒有.

【答案】(1)的最小正周期为，单调增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式将函数化简，代入周期的计算公式即可求出周期，根据正弦函数的单调性即可求解函数的单调增区间；

（2）根据自变量求出，然后利用正弦函数的图像即可求证.

【详解】（1）函数

，

∴函数的最小正周期，

令，得，

∴函数的单调增区间为.

（2）当时，

∴

即当时，恒成立，得证.

20．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．

附：.

【答案】(1)“体育迷”与性别无关；

(2)分布列见解析，，.

【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得“体育迷”的人数，由此可得列联表；根据列联表计算可得，由此可得结论；

（2）根据频率分布直方图计算可知，由二项分布概率公式计算可得分布列；由二项分布数学期望和方差计算公式可求得.

【详解】（1）由频率分布直方图可知：在抽取的人中，“体育迷”有人，从而可得列联表如下：

将列联表中的数据代入公式计算得：，

没有充分的理由认为“体育迷”与性别有关，即“体育迷”与性别无关.

（2）由频率分布直方图可知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，则，

所有可能的取值为，

，，

，；

的分布列如下：

；.

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.

方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）方法一：

由（1）得，，

要证，即证，即证恒成立，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

方法二：

令，则，

由于在上单调递增，所以在上单调递增，

又，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以要证，即证，即证，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

22．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）按照分层抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到).

参考数据：当时，，，.

参考数据：  .

【答案】（1）分布列见解析，；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出在上抽取的人数为人，在上抽取的人数为人，随机变量的所有可能取值为，，，，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列，即可求出数学期望.

（2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】解：运动时间在的人数为人.

运动时间在的人数为人.

按照分层抽样共抽取人，则在上抽取的人数为人，

在上抽取的人数为人.

随机变量的所有可能取值为，，，.

所以随机变量的分布列为

，

（或）

【点睛】关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、频率分布直方图以及正态分布，二项分布求概率，解题的关键是根据频率分布直方图求均值以及利用正态分布的性质求出，考查了计算能力.