2023届福建省泉州科技中学高三上学期期中考试数学试题含答案

2023届福建省泉州科技中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A．R B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的补集、并集定义进行运算即可.

【详解】由题知，则

故选：C

2．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（    ）

A．0.7 B．0.58 C．0.12 D．0.46

【答案】B

【分析】先计算都没有命中的概率，再由对立事件求解即可.

【详解】两个人各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，

所以都没有命中的概率为，

所以至少有一人命中的概率为.

故选：B.

3．已知，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果.

【详解】由题意得：    

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.

4．已知抛物线：（）的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的2倍，且，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】A

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】设，

由题意得，

解得，

故选：A

5．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足（），其中星等为的星的亮度为（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为（当较小时，）（    ）

A．1.23 B．1.26 C．1.51 D．1.57

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，结合对数式与指数式的互化以及对数运算性质即可求解.

【详解】设“心宿二”的星等为，“天津四”的星等为，

“心宿二”和“天津四”的亮度分别为，，

，，，

所以，

所以，

所以，

所以与最接近的是1.26，

故选：B.

6．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于（    ）

A．1 B．－1

C．e D．

【答案】A

【分析】先转化为：x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，再根据函数y＝ex、函数y＝lnx关于y＝x对称，确定x1x2的值.

【详解】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，

因为函数y＝ex、函数y＝lnx关于y＝x对称，

所以A，B两点关于y＝x对称，

因此，即x1x2＝1.

故选：A

【点睛】本题考查对数函数与指数函数图象关系、考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.

7．设，，，则的大小关系是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小.

【详解】因为,,

令,

函数图像如下图所示:

则,

所以当时, ,即

,

则,

所以,即

综上可知,

故选:A

【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.

8．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】利用几何意义得到要想的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出或，通过检验舍去不合要求的解集.

【详解】可看作点到直线与的距离之和，

要想的取值与x，y无关，

只需圆位于直线与之间，

所以圆心到的距离大于等于半径，

即，解得：或，

当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去；

当时，与位于圆心的两侧，满足题意.

故选：D

二、多选题

9．在复平面内，下列说法正确的是（    ）

A．若复数（i为虚数单位），则

B．若复数z满足，则

C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是

D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆

【答案】AD

【解析】根据复数的运算及相关概念一一判断可得；

【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；

对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；

复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；

若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.

10．已知，，下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【解析】利用作差法判断AB；利用特例法判断C；利用基本不等式判断D.

【详解】对于：由于，所以不能确定正负，故错误．

对于：由于，所以，故正确；

对于：当和为负数时，不成立，故错误；

对于：由于，所以，整理得，故正确．

故选：．

【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.

11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A． B．是图象的一个对称中心

C．当时，取得最大值 D．函数在区间上单调递增

【答案】BD

【分析】求得函数的解析式判断选项A；代入验证判断选项B；代入验证判断选项C；代入验证判断选项D.

【详解】选项A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；

选项B：，

则是图象的一个对称中心.判断正确；

选项C：，

当时，取得最小值.判断错误；

选项D：由，可得

则函数在区间上单调递增.判断正确.

故选：BD

12．在棱长为2的正方体中，点为线段上一动点，则（    ）

A．在点运动过程中，存在某个位置使得直线与直线所成角为锐角

B．三棱锥的体积为定值

C．当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为

D．当为中点时，直线与平面所成的角最大

【答案】BCD

【分析】通过证明平面，即可判断A，由正方体的性质可得到平面的距离为定值，再由为定值，即可说明B，不妨设为上靠近的一个三等分点，设平面与，的交点分别为，，根据面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再利用余弦定理及面积公式计算即可判断C，设在平面上的投影为，则为直线与平面所成的角，由锐角三角函数得到，而为定值，即可当取得最小值，角取得最大值，即可判断D.

【详解】解：对于A，如图，连接，，，，

因为在正方体中，易知，，，平面，

，

∴平面，平面，∴，同理，

，、平面，∴平面，

而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以A错误；

对于B，如图，因为在正方体中，平面平面，且平面与平面的距离为正方体棱长，而，

所以三棱锥的体积，为定值，因此B正确；

对于C，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示，

设平面与，的交点分别为，，∵平面平面，

∴，同理，

∴平面截正方体所得的截面为平行四边形，

∵，∴，∴，∴,

又可知，

由余弦定理的推论可求得，

∴，∴，

当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此C正确；

对于D，当点在上运动时，它在平面上的投影落在上，不妨设为，

则为直线与平面所成的角，

又，且恒为定值，

故当取得最小值时，最大，也即最大，

此时有，即为的中点，即为的中点，

故当为中点时，直线与平面所成的角最大，因此D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．的展开式中的系数为，则实数的值为     ．

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案．

【详解】解：，

令，得，

故，

由题意知，即，

解得.

故答案为：.

14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是        .

【答案】

【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，

AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算

即可求出向量的数量积.

【详解】解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

∵AB＝，BC＝2，

∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，

∵点E在边CD上，且＝2，

∴E.∴＝，＝，

∴.

15．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的切线，其中一个切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为        .

【答案】

【分析】由图像可得，由焦点到渐近线的距离等于b可求得，进而图像中线段的长度，根据的面积为列出等量关系式，最后解方程求出离心率即可.

【详解】由题意，可得图像如图：

∵，∴，

∴，∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，.

故答案为：.

【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

16．对任意，不等式恒成立，则正实数m的取值范围为      .

【答案】或

【分析】将不等式右边通分后再分类讨论，当时，通过构造函数并研究其单调性来解决不等式问题.

【详解】由，有.

当时，不等式显然成立，

又，所以，即时不等式恒成立，

又为正实数，所以；

当时，令，则，

即有，

令，易知在上单调递增，

所以，即，

所以，即，

所以，解得或（为正实数）.

综上可知：或.

故答案为：或

四、解答题

17．已知等比数列的前项和是，且．

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)令，数列的前项和，证明：．

【答案】(1)；，；

(2)证明见解析

【分析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的通项公式，即可得到答案；

（2）求得，由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

【详解】（1）等比数列的前项和是，且，

时，；

时，，

由于数列为等比数列，可得，即；

则，；

（2）

，

前项和

，

由于，可得，

则．

18．如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.

(1)求；

(2)若，求长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得的长，再由正弦定理可得到；

（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得的长.

【详解】（1）解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，

由正弦定理可得，

所以；

（2）在中，由（1）及余弦定理得，

，

又，

在中，由余弦定理可得，

故.

19．如图，在矩形中，，E为边上的点，，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由三棱锥的体积，得，，可得，利用平面平面，可得平面，则，由折叠知，进而得证；

（2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和平面的法向量，进而利用数量积求解即可.

【详解】（1）由，设的中点为O，连接，则，

又二面角为直二面角，故平面，设，则，

又，得三棱锥的体积，

即，得，

于是由，所以，所以，

又平面平面，得平面，则，

又，且，所以平面，

又平面，

故平面平面.

（2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，

设为平面的法向量，则有，

即，可取，

设为平面的法向量，则有，即，可取，

所以，由图形知二面角为钝角，其余弦值为.

20．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．

（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；

（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）万元（ⅱ）

【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程；

（2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额；

（ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2 ，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解.

【详解】（1）由题意得，    

，   

所以

故得关于的线性回归方程为

（2）（ⅰ）将代入,

所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）     

（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2     

，

∴

,故的取值范围为

21．如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）易知根据条件确定形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得，（Ⅱ）即先判断是否成立，设的直线方程，与椭圆联立方程组解得坐标，根据、关系可得坐标，利用斜率坐标公式即得斜率，进而判断成立，然后根据两点间距离公式计算长度最大值，即可得的最大值.

【详解】（Ⅰ）∵，   ∴

又，即，2

∴是等腰直角三角形  

∵，  ∴

因为点在椭圆上，∴∴

∴所求椭圆方程为                                  

（Ⅱ）对于椭圆上两点、，∵的平分线总是垂直于轴

∴与所在直线关于对称，设且，则，

则的直线方程    ①

的直线方       ②

将①代入得  ③

∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴

以替换，得到.

因为,所以∴ ∴，∴存在实数，使得

当时即时取等号，

又，

【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.

22．已知函数的图象在点处的切线方程为.

(1)求在内的单调区间.

(2)设函数，证明：.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）求导根据切线公式得到，，再根据导数的正负得到函数单调区间.

（2），设，求导得到函数单调区间，计算最小值为1，设，求导得到单调区间，计算，得到证明.

【详解】（1）因为，所以，又，所以.

当时，；当时，.

所以在内的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）.

设函数，则.

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

所以，所以.

设函数，则，

设，则，令，得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

则，所以，从而增函数，

则，因此，故.

【点睛】本题考查了函数图像的切线问题，求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中将函数转化为两部之积分分别计算最小值是解题的关键.