2024届江西省南昌市外国语学校高三上学期8月月考（第一次保送考试）数学试题含答案

2024届江西省南昌市外国语学校高三上学期8月月考（第一次保送考试）数学试题

一、单选题

1．若复数（为虚数单位，且）为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先进行复数的除法运算，再根据复数为实数的充要条件建立方程即可.

【详解】因为，

又为实数，则，即.

故选：D.

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的函数值的集合，再进行并集运算即可.

【详解】，

当或时，；

当时，.

，则.

故选：D.

3．已知向量满足，且，则（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】对两边平方求得，然后代入求解.

【详解】因为，所以，即，

又，所以，所以，

所以.

故选：A.

4．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（    ）种不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480

【答案】C

【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.

【详解】分两类情况：

第一类：2与4种同一种果树，

第一步种1区域，有5种方法；

第二步种2与4区域，有4种方法；

第三步种3区域，有3种方法；

最后一步种5区域，有3种方法，

由分步计数原理共有种方法；

第二类：2与4种不同果树，

第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；

第二步种5号区域，有2种方法，

由分步计数原理共有种方法.

再由分类计数原理，共有种不同的方法.

故选：C.

5．如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（     ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据二面角的定义求得，利用，结合向量数量积的运算，求得的长.

【详解】，

，

，，，，

.

，，即.

故选：B

6．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】先由准线与圆相切得准线方程和点，求出.再设直线斜率为，由直线与抛物线相切得，建立方程解即可.

【详解】如图，抛物线的准线为，

由准线与圆相切于点，

则，解得.

则抛物线方程为：，

设直线的方程为，

联立方程得，

由直线与抛物线相切得，

，解得，即，

所以直线的方程为，即或.

故选：C.

7．已知正项等差数列和正项等比数列，，是的等差中项，是的等比中项，则下列关系肯定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件建立方程组，求解基本量公差、公比，再根据通项公式依次判断选项即可.

【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为，且，

由是的等差中项，得，

则有，化简得①，

由是的等比中项，得，

又已知正项等差数列和正项等比数列，

所以，则有②，

联立①②解方程组得，（舍去），或，或.

故，或.

当时，可知AC错误，BD成立；

当，时，

，，故D错误.

又，B也成立，

故选：B.

8．已如函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将所求不等式变形为，构造函数，可知该函数在上为增函数，由此可得出，利用导数求出的最大值，即可求得实数的取值范围.

【详解】当时，由可得，

所以，

构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，

由可得，

所以，即，其中，

令，其中，则.

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，所以，即实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解.

二、多选题

9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（    ）.

A．茶水温度与时间这两个变量负相关

B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况

C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点

D．当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为

【答案】AB

【分析】由正负相关的定义即可判定A；由图象中变量的变化趋势即可判定B；由最小二乘法及非线性回归模型的拟合方法判断C；由残差的定义即可判定D.

【详解】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，即A、B正确；

根据非线性回归模型的拟合方法，先令，则，此时拟合为线性回归方程，

对应的回归直线过点，原曲线不一定经过，故C错误；

残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D错误.

故选：AB.

10．已知随机事件满足，，，则（    ）

A． B．

C． D．相互独立

【答案】ABD

【分析】由对立事件概率和为1，可先求出，，由判定事件的相互独立性，再结合相互独立事件同时发生概率公式与对条件概率的理解，逐一判断选项即可.

【详解】法一：由，，得，.

得，

即成立，则相互独立，

故相互独立，相互独立，相互独立，选项D正确；

，，则选项AB正确；

又由相互独立，则，故选项C错误.

法二：由，，得，，且已知，

对选项A，由，且与互斥，

所以，

则有，故A正确；

对选项B，同理，

则有，故B正确；

对选项C，因为，故C错误；

由，得，

所以相互独立，故D正确.

故选：ABD.

11．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．的最小正周期是

B．是的一条对称轴

C．的零点是.

D．在区间上单调递减

【答案】BCD

【分析】A项根据已知两零点确定函数的周期；BCD项，结合对称性、单调性与周期性的关系判断即可.

【详解】选项A，，故A错误；

选项B，由，则是函数的一条对称轴.

又周期，由，

得是函数的对称轴，故B正确；

选项C，由图可知，是函数的一个零点，

由，得的零点是，故C项正确；

选项D，由周期为，由函数图象知，函数在单调递减，

则在上单调递减，故D项正确.

故选：BCD.

12．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ）

A．面

B．三棱锥的体积为定值

C．平面平面

D．异面直线与所成角的范围是

【答案】ABC

【分析】A利用面面平行的性质证面；B利用三棱锥中的底面面积和高一定判断体积为定值；C先证明面，再利用面面垂直的判定定理证面面即可；D由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围.

【详解】对于A：连接，，，，

因为，平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面，正确；

对于B：由点在线段上运动知平面即平面，故到平面的距离不变，且的面积不变，所以三棱锥的体积不变，正确；

对于C：因为四边形为正方形，则，

而平面，平面，即有，

又平面，

则平面，而平面，因此，同理，

又，平面，所以平面，

又平面，则平面平面，正确；

对于D：由，异面直线与所成角即为与所成角，

又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，

当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，

故与所成角的范围，错误.

故选：ABC

【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.

三、填空题

13．若，则          .

【答案】

【分析】分式上下同除以，化弦为切，代入求值即可.

【详解】，

.

故答案为：.

14．已知直线是函数的切线，则的值为      ．

【答案】

【详解】试题分析：

【解析】曲线的切线与导数的关系.

15．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方. 记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的，那么          .

【答案】65

【分析】由列之和都相等，等差数列求总和，再除以列数即可.

【详解】由阶幻方填入，共列，

这个数字之和为，由这列之和都相等，

则每一列和.

故.

故答案为：65.

16．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为          .

【答案】/

【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.

【详解】由题意知，.

设双曲线的右焦点为，

由是双曲线右支上的点，则，

则，

当且仅当三点共线时，等号成立.

又，则.

所以，的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，它的内角的对边分别为，且.

(1)若的面积为，求；

(2)若，求边.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由面积可得的值，由正弦定理将所求化角为边可解.

（2）由余弦定理得的方程，联立已知，解方程组可得.

【详解】（1）由已知，的面积为，

则，

解得.

又，

由正弦定理得，，

则.

（2）由余弦定理得，

可化为①

又已知可化为②，

联立①②解得.

18．某工厂为每一位员工购买了某保险公司推出的某种意外伤害险，每份保险需交付100元保费，出险时可获得4万元的赔付，已知一年中每人的出险率为. 工厂员工共有6000人.

(1)求保险公司亏本的概率.（结果保留小数点后三位）；

(2)求保险公司获利在（单位：万元）范围内的概率.（结果保留小数点后三位）

附：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得出保险公式亏本时，由此可得出所求概率为.

（2）由题意知，总保费为万元，用表示一年内这人中遭遇意外伤害的人数，分析出保险公式获利万元和万元的人数分别为、，由此得出所求概率为.

【详解】（1）人参保可以看成是次独立重复试验，用表示一年内这人中遭遇意外伤害的人数，则.

当遭遇意外伤害的人数时，保险公司亏本.

.

保险公司亏本的概率为.

（2）由题意知，保险公司保费总收入为万，若获利万元，则有人出险；

若获利万元，则有人出险.

当遭遇意外伤害的人数时，保险公司获利在（单位：万元）范围内.

其概率为

.

保险公司获利在（单位：万元）范围内的概率为.

19．已知数列是单调递增的等差数列，设其前项和为，已知，且成等比数列.

(1)求的通项公式：

(2)定义为不大于的最大整数，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据题意列方程组可求出，从而可求出，

（2）由（1）可得，再根据的定义可得当时，，从而表示出的前项和，再利用错位相减可求得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，

因为，且成等比数列，

所以，解得或（舍去），

所以，

（2）由（1）得，

所以，所以，

当时，，

当时，，当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

……

当时，，

所以数列的前项和为

，

令，则

，

所以

，

所以.

20．四棱锥，底面为矩形，，，.

(1)证明：；

(2)设与平面所成的角为，求四棱锥的体积.

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）取BC的中点G，连接AG，DG，根据，得到，再根据底面为矩形，且，得到平面平面BCDE，从而平面BCDE，有，然后由，得到，即，从而平面ADG而得证；

（2）由（1）得到平面ABC，进而平面平面ABE，作，得到平面，从而为与平面所成的角，然后在和中，求得，得到，再利用锥体的体积公式求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

取BC的中点G，连接AG，DG，

因为，所以，

因为底面为矩形，且，

所以，

又，平面ABC平面ABC，

所以平面ABC，又 平面BCDE，

所以平面平面BCDE，平面平面，

所以平面BCDE，又平面BCDE，

所以，

又因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，即，

又因为，平面ADG平面ADG，

所以平面ADG，

又平面ADG，

所以；

（2）由（1）知：平面ABC，平面ABE，

所以平面平面ABE，

作，连接EH，

平面平面，

所以平面，

所以为与平面所成的角，

因为，，，

所以，

在中， ，则，

在中， ，

解得，则 ，

所以 .

21．已知椭圆的一个焦点为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.

【答案】(1)

(2)面积的最大值为，此时直线的方程为.

【分析】（1）将坐标代入椭圆方程，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，

（2）将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式和点到直线的距离公式即可求出面积的最大值及此时直线的方程

【详解】（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为，

（2）设，

由，得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以，解得，

所以，

所以

，

因为点到直线的距离为，

所以的面积为

，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最大值为，此时直线的方程为.

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程代入椭圆方程化简结合根与系数的关系求解，考查计算能力，属于较难题.

22．已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)讨论函数的单调性，并说明理由；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，

（2）由，得，然后构造函数，求导后，再构造函数，然后分，和三种情况讨论函数的单调性，只需即可.

【详解】（1）的定义域为，

由，得，

当时，，所以在上递减，

当时，由，得，

由，得，

所以在上递减，在上递增，

综上，当时，在上递减；

时，在上递减，在上递增，

（2）由，得，即，

令，则，

令，则，

①当时，，，

所以在上递增，

所以，

所以在上递增，

所以，符合题意，

②当时，，，

所以在上递增，

，

若，则，使，

所以当时，，

所以在上递减，

所以时，，不合题意，舍去，

若，则在上恒小于零，

所以在上递减，

所以时，，不合题意，舍去，

③当时，，，

所以在上递减，

所以，

所以在上递减，

所以，不合题意，舍去，

综上，，即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当时，恒成立，然后构造函数，求导后无法判断导数的正负，所以再次构造函数，再求导判断导数正负，考查分类讨论的思想和计算能力，属于难题.