2024届吉林省通化市辉南县第六中学高三上学期第二次半月考数学试题含答案

2024届吉林省通化市辉南县第六中学高三上学期第二次半月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】D

【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】由已知可得或，因此，.

故选：D.

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由可解得，即可判断.

【详解】由可解得，

“”是“”的必要不充分条件，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）

A．a<0 B．

C． D．的解集是

【答案】D

【分析】由已知，是方程的两个根且，由此确定的关系，并由此判断A，B，C，再化简不等式求其解.

【详解】因为不等式的解集为或，，

所以且，是方程的两个根，

所以，，

所以，，

因为，所以A错，

因为，，所以，所以C错，

因为，，，所以，B错，

因为，，所以可化为，所以，方程的解为或，所以不等式的解集是，

故选：D.

4．已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.

【详解】依题意，，不等式恒成立，

当时，恒成立，则，

当时，有，解得，则，因此

所以的取值范围是.

故选：C

5．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可.

【详解】因为当时，，

要使有最大值，则时，函数值的范围不超过

可得

解得.

故选：A.

6．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.

【详解】由得，所以，

又为偶函数，所以的图象关于对称，

所以，，

又在内单调递减，

，即.

故选：D.

7．已知函数，则（    ）

A． B．0 C．4 D．6

【答案】A

【分析】根据分段函数的解析式，可得答案.

【详解】由题意可知：

，

，.

故选：A.

8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.

【详解】由题意可知：的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，

又因为，且在上为减函数，

由复合函数的单调性可知：在上为增函数，

因为，所以，

所以，解得：或，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数不是同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】ABD

【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可

【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，

所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，

对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，

对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，

对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，

故选：ABD

10．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则（    ）

A． B．是素数时，

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定的欧拉函数定义逐项分析计算判断即可.

【详解】对A选项，由题知，所以A选项错误

对B选项，当为素数时，显然成立，所以B选项正确

对C选项，2的倍数都不与互质，故共有个，所以C选项正确

对D选项，在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，

所以，所以，所以D 选项正确

故选：BCD.

11．下列说法中正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．若，则，

C．函数的值域为

D．在上单调递减

【答案】BC

【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可判断A选项；利用换元法求函数的解析式，可判断B选项；利用指数函数与二次函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；利用反比例型函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，即函数的定义域为，A错；

对于B选项，若，令，可得，

所以，，其中，

所以，，，B对；

对于C选项，因为，，

即函数的值域为，C对；

对于D选项，函数的减区间为、，

但函数在上不单调，D错.

故选：BC.

12．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A．的图象关于对称 B．的图象关于对称

C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可得到.

【详解】为偶函数，

关于对称，

根据图像变换关于对称，故A正确；

为奇函数，

关于中心对称，

根据图像变换关于中心对称，故B错误；

由以上分析得的周期为，即，故C正确；

关于中心对称，

，，

关于对称，

，

，

是周期为的函数，

，

，

，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．不等式的解集是          .

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的求解即可得作答.

【详解】由得，

故答案为：.

14．已知，求的取值范围          ．

【答案】

【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.

【详解】设,则解得

故，

由,故，

由,故，

所以.

故答案为：.

15．已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为     .

【答案】

【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.

【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，

等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.

,,

的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.

,点A是直线与函数()的交点，

是、在轴右侧的交点.

由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.

直线必须且只需在点之间，

由，解得,

由解得,

∴实数的取值范围，

故答案为：.

四、解答题

16．已知函数满足，其中.

(1)求实数的值；

(2)若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意代入运算求解即可；

（2）根据分析可得，结合分段函数以及二次函数求的最值，进而可得结果.

【详解】（1）因为，即，

可得，

若，则，不恒成立，不合题意；

若，则；

综上所述：.

（2）当时，不等式显然成立；

当时，等价于，

设，

（ⅰ）当，即时，

当时，；

当时，；

所以，故；

（ⅱ）当，即时，

当时，；

当时，；

因为，即。

所以；

综上所述：，可得.

所以实数的取值范围.

17．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，

(1)求函数的对称中心；

(2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，判断为奇函数，即可证明；

（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．分别求出和的值域，即可得出答案.

【详解】（1）因为，而为奇函数，

所以的图象是关于点成中心对称.

（2）若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．

∵函数,易得函数在上单调递减，求出函数的值域为，下讨论的值域．

①当时，为常数，不符合题意舍去；

②当时，的值域为，只需，解得；

③当时，的值域为，不符合题意舍去，

综上，的取值范围为.

18．（1）若，求的最小值

（2）若且，求的最小值

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值；

（2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值.

【详解】（1）,，

,

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为；

（2）， ，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.