2023届辽宁省大连市第八中学高三上学期12月月考数学试题含答案

2023届辽宁省大连市第八中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．集合满足，则集合中的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据交集的结果可得，再根据并集的结果可得，进而即得.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

所以，即集合中的元素个数为5.

故选：D.

2．已知复数，现有如下说法：①；②复数的实部为正数；③复数的虚部为正数，则正确说法的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用复数的概念判断各个命题作答.

【详解】复数，则，复数的实部为，复数的虚部为，

因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为3.

故选：A

3．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（    ）

A． B． C． D．是等比数列

【答案】A

【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.

【详解】对于A，已知，所以，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，

，符合上式

所以是通项为的等比数列，A选项正确；

对于B，已知，所以，

，不符合上式

所以，B选项错误；

对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；

对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为

不符合等比数列的通项公式，D选项错误；

故选：A.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】，

，

.

.

故选：A

5．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.

【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，

故选：C

6．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小．

【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，

则，，，

，，，

所以，

故选：A．

7．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段 上，即可求出的取值范围，即可得解．

【详解】解：如图，为圆心，连接，

则，

因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离，

所以，

所以，则，

即的取值范围是,．

故选：D．

8．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再分析函数性质，结合图象求解作答.

【详解】因为定义在上的单调函数，对任意的，都有，

则存在正数，使得，且，于是，即，

而函数在上的单调递增，且，因此，，

方程，依题意，方程在区间上有两解，

而函数在上单调递减，函数值值集合为，在上单调递增，函数值集合为，如图，

观察图象，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点，

所以实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

二、多选题

9．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用组合数公式及性质计算判断判断ABC；利用二项式定理判断D作答.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，

，B错误；

对于C，由，得，C正确；

对于D，，D正确.

故选：CD

10．若由函数构造的数列满足，则称为单位收敛函数.下列四个函数中，为单位收敛函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于A，根据函数的形式可得数列的通项，利用放缩法可得前8项和大于1，故可判断A的正误；对于B、D利用裂项相消法可判断BD的正误；对于C，利用求和公式和不等式的性质可判断C的正误.

【详解】若，则，

则

，

故不是单位收敛函数.

若，则

，

故为单位收敛函数.

若，则，

，

故为单位收敛函数.

若，则，

，

当时，，故不是单位收敛函数.

故选：BC.

11．已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设的中点为M，过M作的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．最小值为p D．

【答案】ABD

【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率坐标公式逐项分析判断作答.

【详解】抛物线焦点，准线方程为，则，

显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，

由消去x得：，设，

则有，，

对于A，直线斜率，直线斜率

，即，因此，A正确；

对于B，，则，B正确；

对于C，显然，C错误；

对于D，显然点，直线的方程为，

令，得，即点，

因此，D正确.

故选：ABD

12．如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到的距离分别为，则（    ）

A．平面

B．平面平面

C．直线与所成角比直线与所成角大

D．正方体的棱长为

【答案】ABD

【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.

【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，

因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，

又到平面的距离为，

所以平面，即平面，即A正确；

设平面，

所以，

因为是正方形，所以，

又因为平面，平面，

所以，因为平面，

所以平面，因此有平面，而，

所以平面平面，因此选项B正确；

设到平面的距离为，

因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为，1，

所以有，

设正方体的棱长为，

设直线与所成角为，所以，

设直线与所成角为，所以，

因为，所以，因此选项C不正确；

因为平面平面，平面平面，

所以在平面的射影与共线，

显然，如图所示：

由，

，

由（负值舍去），

因此选项D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数，则函数的零点个数为      个.

【答案】1

【分析】令，求解即可.

【详解】由题意，令，

即，

即，

解得，即函数有1个零点.

故答案为：1

14．已知函数的导数为，函数，则的单调递减区间是      ．

【答案】，

【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质即得.

【详解】因为，

∴，

∴，

由，，得，，

所以的单调减区间为．

故答案为：．

15．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为     ．

【答案】

【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，利用定义可得：，解出，利用余弦定理可得关于的等式，再由基本不等式求得当取最小值．

【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，

设，

则，

，

，

化为：，

，

，

，

则，

即，当且仅当时取等号，故答案为．

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，属于难题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

16．已知三棱锥，P是面内任意一点，数列共9项，且满足，满足上述条件的数列共有           个.

【答案】70

【分析】根据共面得出与关系后分类讨论求解

【详解】解：因为P是面内任意一点，

所以四点共面，

因为，

所以，即，

解得或，

可转化为组合计数问题

①若，则，只有1个

②若，则，有个

③若，则，有个

④若，则，有个

⑤若，则，只有1个

共70个

故答案为：70

四、解答题

17．在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知为等差数列的前n项和，若 .

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可

【详解】（1）若选①：在等差数列中，，

当时，，

也符合，

∴；

若选②：在等差数列中，

，

，解得

；

若选③：在等差数列中，

，解得

；

（2）由（1）得，

所以

18．在中，，

(1)求角C的大小；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出；

（2）先得到，，令，应用三角恒等变换及换元得到，由导函数得到在上单调递增，求出.

【详解】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

由正弦定理及，得，

整理得，

由余弦定理得，

又，

∴．

（2）由（1）知，，

∴．

令，

∴．

∴

．

令，则在上恒成立，

故函数在上单调递增，

∴．

即的取值范围为．

19．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6

(2)

【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；

（2）讨论和两种情况，

【详解】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为

①当时，．

②当时，因为（当且仅当时，等号成立），

所以．

故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．

（2）由题意得

①当时，，

设，则，，则，故；

②当时，，

由，得，

令，则，，则，故．

综上，．

20．如图，在四棱锥中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点．

(1)求证：AN平面PBC；

(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；

(3)在平面PBC内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）．

【答案】(1)见解析

(2)存在，

(3)存在点H，点H的轨迹为椭圆

【分析】（1）取的中点，连接，证明，，从而可得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线面角的正弦值求解即可；

（3）根据共面，可得存在唯一实数对使得，由此将点的坐标用表示，再根据求出的关系式，即可得出答案.

【详解】（1）证明：取的中点，连接，

因为N为PD的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

因为，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

又因平面，

所以平面平面，

又平面，

所以平面；

（2）解：假设存在，设，

如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

故，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

则，

整理得，解得或（舍去），

所以当时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是；

（3）解：假设存在，设，

，

因为共面，

所以存在唯一实数对使得，

即，

则，所以，故，

则，

则，

整理得，

所以点H的轨迹为椭圆，

所以存在点H，点H的轨迹为椭圆.

【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了满足线面角的点是否存在的判断与方法，本题解决第三问的关键在于如何将点的坐标表示出来，有一定的难度.

21．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且，.

（1）证明：直线与椭圆相切；

（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.

（i）证明：椭圆的离心率为定值；

（ii）记的面积为，若，证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；

【分析】（1）联立椭圆与直线的方程，得关于的一元二次方程，由表示出，代入，计算得，可证明直线与椭圆相切；

（2）（i）联立方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理代入化简得的关系，即可求得离心率；（ii）由弦长公式表示出，利用点到直线距离公式求解的高，代入面积公式，化简计算得，即可证明.

【详解】（1）由题意，，得，

所以，

因为点为直线与椭圆的一个交点，且，

所以，代入的表达式可得，

，

所以直线与椭圆相切；

（2）（i），可得，

由韦达定理知，，又因为点为的中点，

所以，解得，

所以为定值；

（ii），

所以，

由（i）中韦达定理知，，

所以，因为，

代入化简得，因为，所以，

证明，只需证，又因为显然成立，

所以成立.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知，.

(1)求的单调区间；

(2)当时，若关于x的方程存在两个正实数根，（），证明：且.

【答案】(1)减区间为，增区间为；

(2)证明见详解.

【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；

（2）由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；

【详解】（1）的定义域为，

又，由得，

当时，，

当时，，

的减区间为：，增区间为：.

（2）证明：由存在两个正实数根，

整理得方程存在两个正实数根．

由，知，

令，则，

当时，减函数；当时，增函数．

所以．

因为趋向于或，趋向，所以的值域为，

问题等价于直线和有两个不同的交点．

，且，

所以，从而．

令，则，解得，

，而，

下面证明时，，

令，

则，

令，则，

在为减函数，，

在为减函数，，

在为减函数，，即．

【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.