2023届四川省绵阳市南山中学实验学校高三上学期9月月考补习班数学（理）试题含答案

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，再求即可.
【详解】∵，
所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由特称命题的否定需改变量词，否定结论可得.
【详解】命题“，”的否定为“，”．
故选：C．
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由即可求出，则可求出的值.
【详解】当时，，无解，
当时，，
所以，
故选：B.
4．函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判定即可确定函数的单调区间.
【详解】由题意知的定义域为，
又，
而函数图象的对称轴为，当时，函数递减，
故当时，单调递减，
即的单调递减区间是，
故选：B
5．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）
(参考数据：，)
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
【答案】C
【分析】由题意，代入，解方程即可.
【详解】由题意知，，
即，
所以，解得.
故选：C.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在上的增函数，又，
所以，解得，
因为由可推出，而由无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用零点存在定理判断出，再由指数函数和对数函数的性质求解.
【详解】因为是上的增函数，且，，
所以，
又，所以，
所以，
故选：A.
8．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）
① ② ③ ④
A．④②①③B．②④①③C．②④③①D．④②③①
【答案】A
【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在上的最大值．
【详解】，的定义域为，，的定义域为
在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②
当时，则
，令，则
在上单调递增，在上单调递减，则
①对应的为第三个函数
故选：A．
9．已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图象，由图可得有个交点．
【详解】零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．
故选：B ．

10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的单调区间，得到，令得到或1，即得解.
【详解】解：由题得，.
令，解得或；令，解得，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以函数的极小值.
若在区间内有最小值，则极小值即最小值，
所以，解得，
令，可得，可得，解得或1，由题得，综上.
故选：C.
11．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.
【详解】
如图所示，函数与的图象，
因为时，恒成立，
于是两函数必须有相同的零点，
所以
，
解得．
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可
【详解】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
二、填空题
13．求函数在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】分别求出与，再利用点斜式即可写出切线方程.
【详解】由题意知
又因为，
所以
所以切线方程为：即
故答案为：
14．知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据不等式的解集结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得根与系数的关系式，求得a，以及b的范围，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵的解集为，
∴,且方程的两根为m，，
∴,，∴，∵，∴，
即，当且仅当时取“=”．
∴，当且仅当时取“=”，
∴的最小值为2．
故答案为：2
15．若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合分类讨论可求的解.
【详解】等价于或或，
因为为偶函数，且，故即为，
即为，
而在区间上单调递增，故即，
同理的解为或，
故的解为，
而的解为，
故的解为.
故答案为：
16．已知函数和定义域均为，且为偶函数，为奇函数.对于，均有，则 .
【答案】
【分析】由题知的图像关于直线对称，的图像关于点对称，进而得，，，，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为为偶函数，即，
所以，的图像关于直线对称，
因为为奇函数，即，
所以的图像关于点对称.
因为对于，均有，
所以，
因为关于直线对称，所以，
因为关于点对称，所以，
所以，，
又，解得，
所以.
故答案为：.
三、解答题
17．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，数列中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出数列的通项公式即可代入计算作答.
（2）由等差数列前项和公式求出，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，得，
而，解得，于是，
由，得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，显然数列是等差数列，，
，
所以.
18．记的内角的对边分别为，且．
(1)求A的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，结合题意化简得到得，得到，即可求解；
（2）利用三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，进而求得的值，即可求得的周长．
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
所以
可得，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）解：由，则，解得，
又由余弦定理，可得，
所以，可得，
又因为，所以的周长为．
19．已知函数．
(1)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
(2)若在区间上有极小值，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用在上有解，分离参数求解作答.
（2）由（1）的信息，分析函数的极值情况，再建立不等式求解作答.
【详解】（1）函数，求导得，
因为函数在上存在单调减区间，则不等式在上有解，
即在上成立，而函数在上递减，显然，于是，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，即，解得，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极小值，
于是，即，当时，不等式成立，当时，解得，则，
所以实数的取值范围是.
20．设函数，（且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．
(1)求和的值；
(2)是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函数及给定的点求出和的值作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，换元并利用二次函数在闭区间上的最大值分段讨论作答.
【详解】（1）因为函数是上的奇函数，则，解得，，
显然，即函数是奇函数，因此，
由，且，解得，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递增，令，则，
，则，
令，依题意，在上的最大值为1，
二次函数图象对称轴，
当，即时，，解得，矛盾，
当时，，解得，则，
所以存在实数，满足题意.
21．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且实数b满足恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，讨论，得到函数的单调区间；
（2）由题可得时，有两个零点，，不妨设，进而可得，令，即在上恒成立，再根据函数的单调性得到取值范围.
【详解】（1）的定义域为且.
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知，当时，单调递增，至多有一个零点，舍去；
若时，由，，，，
则要使有两个零点，只需，从而.
故时，有两个零点，，不妨设.
由（1）易知，
∴∴，∴，
，
即.
令，∴在上恒成立.
因为，，易知，
令，则，.
令，，对称轴.
①若，即时，，故，在上单调递减，
则，符合题意；
②若，即时，，故存在唯一，有，
从而在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，当时，求直线的普通方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式求解即可；
（2）根据题意，结合直线参数方程的几何意义及弦长公式求解得直线的倾斜角，再求普通方程即可.
【详解】（1）解：由得，
因为，
所以，即.
（2）解：将（为参数，代入，
整理得．
设所对应的参数分别为，，
则，．
所以，
解得，所以或，
故直线的参数方程为（为参数）或（为参数），
所以直线的直角坐标方程为或
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最大值为，正数，满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分，和三种情况求解即可，
（2），再利用绝对值三角不等式求出的最大值，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】（1）当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
所以，当时取得等号，所以．
因为，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为．