2024届山东省青岛第五十八中学高三上学期期初测试（一）数学试题含答案

2024届山东省青岛第五十八中学高三上学期期初测试（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求.

【详解】由题设，或，

所以.

故选：B

2．已知复数z满足，则（    ）．

A．5 B． C．22 D．2

【答案】A

【分析】首先根据题意得到，再求即可.

【详解】，，.

故选：A

3．已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ）

A．38.1 B．22.6 C． D．91.1

【答案】C

【分析】对于响应变量，通过观测得到的数据为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.

【详解】因为观测值减去预测值称为残差，

所以当时，，

所以残差为.

故选：C.

4．某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（    ）

A．男性比女性更关注地铁建设

B．关注地铁建设的女性多数是岁以上

C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多

D．岁以上的人对地铁建设关注度更高

【答案】C

【分析】由等高条形图一一分析即可.

【详解】由等高条形图可得：

对于A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，

从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确；

对于B：由右图知女性中岁以上的占多数，从而样本中多数女性是岁以上，

从而得到关注地铁建设的女性多数是岁以上，故B正确；

对于C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知岁以下的男性占男性人数比岁以上的女性占女性人数的比例少，无法判断岁以下的男性人数与岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；

对于D：由右图知样本中岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．

故选：C．

5．已知函数的最小正周期为.若，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的周期公式求出，再由可求得，再将代入即可得出答案.

【详解】因为的最小正周期为，

所以，

则，因为，

，所以，所以，

.

故选：D.

6．已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得.

【详解】如图作出圆锥的轴截面，依题意，，，

所以，

易知，则，所以，

即圆锥的内接圆柱的底面半径，高，

所以圆柱的侧面积.

故选：C

7．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表：

若，则我方必胜的排序是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】D

【分析】根据的范围判断出，再由，，可得答案．

【详解】因为当时， ，，

所以， ，即．

又，所以，，，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是．

故选：D.

8．已知函数的两个极值点分别为，若过点和的直线在轴上的截距为，则实数的值为（    ）

A．2 B． C．或 D．或2

【答案】B

【分析】由题意有两个不同的零点，则求参数a范围，再根据代入、确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.

【详解】由题意有两个不同零点，则，

所以，即或，

由，即，

而，

同理有，

所以、均在上，

令，则，得，

综上，（舍）

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34

B．展开式中项的系数为1120

C．相关系数，表明两个变量相关性较弱

D．若，则

【答案】ABD

【分析】一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断A；利用展开式的通项可判断B；根据相关系数定义及意义可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.

【详解】对于A，一组数据从小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，

所以中位数为，故A正确；

对于B，设展开式的通项为，令，可得

展开式中项的系数为，故B正确；

对于C，相关系数取值一般在~1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值越接近0说明变量间线性关系越弱，相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下,认为没有相关性，所以相关系数表明两个变量相关性较强，故C错误；

对于D，若，则，则，故D正确.

故选：ABD.

10．已知向量，其中，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若与夹角为锐角，则

C．若，则在方向上投影向量为 D．若

【答案】AC

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断A；根据向量夹角为锐角有，注意同向共线的情况判断B；由投影向量的定义求投影向量判断C；根据向量坐标求模判断D.

【详解】若，则，解得，A正确；

若与夹角为锐角，则，解得，

当，，此时，与夹角为，B错误；

若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，

所以在方向上投影向量为，C正确；

由题设，，D错误.

故选：AC

11．已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（    ）

A．取得最小值时， B．与圆相切时，

C．当时， D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】A：取得最小值时位于即轴上，根据三角形面积公式可得.

B：直接在直角三角形利用勾股定理可得.

C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.

D：根据正弦定理，将求的最大值转化为求外接圆半径最小，

此时，外接圆与圆相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.

【详解】因，令，得，

故，

，圆心，半径

选项A：

如图，根据圆的性质当位于轴上时，取得最小值，

此时，故A正确；

选项B：

当与圆相切时，

，

故B正确；

选项C：

设，

则，，

当时，，

故，

又，

得，

，，

若，则，

又得，，，

此时，

这与点在圆上矛盾，故C错误；

选项D：

设外接圆圆心为，半径为

由题意可得在中垂线上，可设其坐标为，

则，，

由正弦定理知，所以，

当最小，即外接圆与圆相内切时，的最大值，

此时圆心距等于两圆半径之差，则

，

两边同时平方可得，

，故D正确.

故选：ABD.

12．如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（    ）

A．直线为异面直线

B．平面

C．过点的平面截正方体的截面面积为

D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是

【答案】BC

【分析】A.根据平行关系的传递性，可证明，即可判断；B.首先判断平面平面,再利用线面垂直的判断定理，即可证明；C.首先作出截面，再根据截面的形状，求其面积；D.利用面面平行的形状，确定点的轨迹，再求的长度.

【详解】对于A，连接，

由题意可知，因为，所以，所以共面，

故选项A错误；

对于B，因为，平面，平面，

所以平面，同理，平面，

且，平面,

所以平面平面,

连结，

因为，，，且平面，

所以平面，平面，

所以，同理，，且，平面，

所以平面，且平面平面，

所以平面，故选项B正确；

对于C，连接，

根据正方体的性质可得，且，

所以平面即为过点的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，

其上底，下底，腰,高为，

所以截面面积为，故选项C正确；

对于D，取的中点，的中点H，连结，

因为，且，所以四边形是平行四边形，

所以，平面，平面，

所以平面，

因为，平面，平面，

所以平面，且，平面，

所以平面平面，

因为点是侧面内一点（含边界），平面，

所以点的轨迹为线段，

连接，

在中，，

点到的距离为，

的取值范围为，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于八个定理的熟悉，特别是选项D的判断，先通过面面平行找到P的轨迹，从而得到的取值范围.

三、填空题

13．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率         ．（结果用分数表示）

附参考数据：，.

【答案】

【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.

【详解】由题知，

事件为“记该同学的成绩”，

因为，，

所以，

又，

所以.

故答案为：

14．已知函数，则         .

【答案】

【分析】根据当时，，将化为，再根据分段函数解析可求出结果》

【详解】因为时，，

所以

.

故答案为：

15．已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是           ．

【答案】6

【分析】根据的关系作差可得，进而求解，即可求解不等式.

【详解】当时，；

当时，①，②，①-②整理得，

．又，

是以3为首项，3为公比的等比数列，

，

令，,

解得，

正整数的最小值是6．

故答案为：6

16．已知双曲线C：，过双曲线C的右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足，，则双曲线C的离心率为          .

【答案】/

【分析】设，由，可得，，再根据再渐近线上，由坐标运算得，从而的，利用两点距离公式可得关于的齐次方程，结合化简运算可得双曲线C的离心率.

【详解】

双曲线C：的右焦点，渐近线方程为，

设，

因为，所以，所以，即①，②

又分别在渐近线上，所以代入②可得：，再代入①得

故，则，所以

整理得：，又，所以，

则，即，故，所以，

则双曲线C的离心率.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列满足， __________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.

①， ②   ③

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项积为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）应用等比数列、等差数列的定义和通项公式，再通过构造法求通项公式；

（2）数列单调性的应用求出最大值.

【详解】（1）若选①：已知数列满足，则，

则，是首项为，公比为的等比数列，

故，即

若选②：，

则是首项为，公差为4的等差数列，故，即

若选③：  因为，

所以当时，，

两式作差得，即，

又因为满足上式，所以

（2），故不是单调递增的，又，故当或4时，最大，最大值为．

18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，，且，.

(1)求的大小；

(2)求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平面向量共线和正弦定理进行边化角可得，再由两角和差公式可求解；

（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式得，运用换元法可求得最值.

【详解】（1）因为，，且，

所以,

又,所以,又

所以,

所以,

因为,所以,，可得.

（2）根据余弦定理

得，即 ，

因为,所以，结合，

所以(当且仅当时取等号)，

设,则,所以,

设,

则在区间上单调递增,

所以的最大值为，所以的最大值为.

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．

(1)证明：；

(2)若为线段的靠近点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出到交点的距离，如果不相交，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)相交，

【分析】（1）依题意可得，，利用余弦定理求出，即可得到，在由线面垂直得到，即可得到平面，从而得证；

（2）过点作直线，连接并延长交于点，即可证明点为直线与平面的交点，再利用三角形相似求出.

【详解】（1）连接，因为，，，，

所以为等腰直角三角形，

∴，，

∵在中，由余弦定理得，

即，所以，

∴，∴.

又平面，平面，

∴.

又平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）过点作直线，连接并延长交于点，

因为，且，

所以，所以、、、四点共面，

所以点平面，

所以点为直线与平面的交点，

易知，为线段的靠近点的四等分点，

所以，

所以.

20．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；

(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?

(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第题时“花”掉的分数为（，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少?

附：若，则，，；．

【答案】(1)；

(2)有

(3)7或8

【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在和范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；

（2）求出变量Z的均值，确定，即可求得，算出不低于91分的人数，可得结论；

（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，可得，结合二项分布的均值计算公式可得表达式，结合二次函数知识，可得答案.

【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：，

预赛成绩在范围内的样本量为：，

设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为，

则，

又，

则X的分布列为：

故.

（2），

，则，

又，

故，

故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人，

因为，故小明有资格参加复赛.

（3）设学生甲答对的题目数为，复赛成绩为Y，

则，故，

，

故

,

因为，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩.

21．已知椭圆C：经过点，且与椭圆有共同的焦点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.若，求点P的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆C的标准方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由求得的坐标.

【详解】（1）对于椭圆，，则对于椭圆，也有，

由于椭圆过点，

故，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，则，

由消去并化简得①，

设，则，

，

由于，

所以，

整理得，

，

，，

整理得，则，

此时，对于①，.

【点睛】思路点睛：求椭圆的标准方程，主要的思路是根据已知条件求得，是两个未知量，所以需要找到个已知条件来求解.如本题中，焦点以及椭圆所过点的坐标，这就是两个已知条件，由此列方程来求得，从而求得椭圆的标准方程.

22．已知函数，．

(1)若在上是增函数，求的取值范围；

(2)若在上的最小值，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对求导，再构造函数，从而利用的单调性将问题转化为恒成立，再利用导数求得，由此得解；

（2）结合（1）中结论，利用的正负情况判断的单调性，从而分类讨论，与三种情况，得到关于的不等式，解之即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

令，则，

因为在上是增函数，所以，则恒成立，

当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，故，则，此时在上是增函数，

所以的取值范围是，

（2）由（1）知在上是增函数，，

当时，在上单调递增，，

令，得，故；

当，即时，，在上单调递减，，

令，解得，此时不存在；

当时，，存在，使得，即，

故当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以，

当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，

所以，令，解得，此时不存在；

综上所述，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．