2024届湖南省衡阳市田家炳实验中学高三上学期8月测试数学试题含答案

2024届湖南省衡阳市田家炳实验中学高三上学期8月测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合为素数}，为奇数}.则集合=（    ）

A．{2，4，6，8，10} B．{2，4，6，8，9，10}

C．{1，2，4，6，8，9，10} D．{1，3，5，7，2}

【答案】C

【分析】根据集合的描述写出集合A、B，再应用集合的交补运算求集合.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

2．已知复数，关于y轴对称的复数，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为 B．

C．的共轭复数 D．为纯虚数

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合复数概念，几何意义，四则运算，即可逐一选项判断.

【详解】，根据复数的几何意义，可得，

的虚部为1，故A错误，

根据复数模计算公式，故B错误，

由共轭复数的概念，，故C错误，

，为纯虚数，故D正确.

故选：D.

3．甲、乙、丙、丁四位学生随机分3组由3位老师带领参加比赛.已知每组至少有一名学生.则甲乙分在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知及组合数求满足题设分组的方法数，再确定甲乙分在同一组的方法数，即可求概率.

【详解】四位同学任选2人为一组，其它2人各自成组，有种，

甲乙分在同一组有1种情况，其概率为.

故选：A

4．已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，，成等差数列直接列式，求出和的关系，进而求出结果.

【详解】因为是公差为的等差数列，所以，

因为成等差数列，所以，

所以，即，所以，

又因为，所以，

则，

故选：C.

5．平面向量，已知，，且与向量的夹角是钝角.则在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量垂直及模的坐标公式求出向量的坐标，最后根据投影公式直接计算即可

【详解】设，因为，，

所以，即①.

又，所以②，

由①②解得或，

设，因为与向量的夹角是钝角，

所以，所以.

则在向量上的投影向量为.

故选：B.

6．已知条件为真命题，条件函数在上有最小值.则是的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．不充分也不必要

【答案】A

【分析】命题为真命题，当时，成立，当时，结合二次函数性质可求解的范围；对于命题，函数在上有最小值，对正负讨论，结合函数单调性和基本不等式可得解的范围；再结合充分必要条件关系可判断答案.

【详解】命题为真命题，当时，结论显然成立，

当时，，由二次函数性质可得，

且，计算得，，

综上，命题为真命题，则；

对于命题，当时，在上是增函数，在上没有最小值，不合题意，当时，函数在上存在最小值，利用基本不等式，当且仅当时即，

等号成立，则，解得，

命题成立，则；

是的充分不必要条件.

故选：A.

7．球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用线面垂直的性质有，，根据线面垂直的判定得面，进而易得都为直角三角形，找到外接球的球心为的中点，根据已知求球体半径，结合和基本不等式求体积最大值.

【详解】由平面，面，则，，

又，，面，所以面，

由面，故，

所以都为直角三角形，且为它们的斜边，

所以的中点为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径，

由，则，即，而，

又，，即，

故，仅当取等号，

所以.

故选：B

8．已知，，，使成立.则a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将问题化为在上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等式解集即可.

【详解】由题设，使成立，

所以在上成立，

对于，有，

对于，有，

所以，即，可得.

故选：B

二、多选题

9．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表

该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意直接列不等式即可求解.

【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，

所以，

因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，

所以.

故选：BC.

10．已知函数.将图象向右平移得到函数的图象.则（    ）

A．

B．的图象关于对称

C．的图象关于对称

D．在单增

【答案】AC

【分析】应用差角正弦公式、倍角余弦公式可得，根据图象平移写出解析式，代入法验证对称性，由正弦型函数的性质判断单调性.

【详解】由，故，A对；

由，故不是对称轴，B错；

由，故是对称中心，C对；

由，则，而在上不单调，D错.

故选：AC

11．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）

A．学生成绩众数估计为75分

B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分

C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01

D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13

【答案】AB

【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD.

【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；

因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；

因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；

记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为

ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，

其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，

所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；

故选：AB.

12．已知P为直角坐标平面的动点，关于P的轨迹方程正确的（    ）

A．点，直线的方程，若等于到的距离，P点轨迹方程.

B．圆M方程:，圆N方程:，动圆P分别圆M、N相切，P点轨迹方程.

C．点，与点P距离满足，P的方程.

D．圆M方程：，，点N为圆M上动点，的垂直平分线交于点P，P点轨迹方程.

【答案】CD

【分析】A选项，利用抛物线的定义可判断，B选项，动圆P分别圆M、N相切，有两种情况，动圆P与圆M外切，而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切，进而可判断，C选项，由设点坐标将式子坐标化，即可得点的方程，D选项，作出图像，由题意，为定值，结合双曲线的定义可判断.

【详解】对于A选项，等于到的距离，根据抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，点是焦点，为准线，即，点P的轨迹方程，所以选项A错误.

对于B选项，动圆P分别圆M、N相切，有两种情况，动圆P与圆M外切，而与圆N内切，或动圆P分别圆M、N均外切，如图，

若动圆P与圆M外切，而与圆N内切，设圆的半径为，则，，，根据椭圆定义可得P点轨迹方程，若动圆P分别圆M、N均外切，点的轨迹是以点为端点的射线（除去端点）.故B错误.

对于C选项，由，设点，将上式坐标化可得，，化简得，.故C正确.

对于D选项，如下图，由题意，，

根据双曲线的定义，易求得点的轨迹方程为.故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．长风工厂产品质量指标服从正态分布.质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这种产品的良品率达到，则需要调整生产工艺，使得至多为     .（若，则）

【答案】

【分析】由题设知，结合正态分布的性质求范围即可.

【详解】由，又，

而，所以，

故，即，则至多为.

故答案为：

14．，当；，则    

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据对数函数的性质写出一个满足要求的函数即可.

【详解】对于且定义域为，

则，x、y为正数，

满足，，显然满足条件.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知函数，圆C：，点P、Q分别在函数图像与圆C上，则的最小值为   .

【答案】/

【分析】由题意，将问题转化为求点P与圆心距离的最小值，减去半径即得答案.

【详解】由圆C：得圆心，半径，

设，则，

令，则，

由于，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取得最小值，

所以，所以.

故答案为：.

16．已知函数在单调递减，则的取值范围为   .

【答案】

【分析】由题意在上恒成立，对函数求导，将问题化为在上恒负求参数范围即可.

【详解】由，要使在单调递减，即在上恒成立，

令，则开口向下且对称轴为，则在上递减，

所以，只需，故，

所以的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．点（）在函数图象上.数列{}满足.

(1)证明：数列{}为等差数列.

(2)数列{}满足.求为{}前n项和及当，求n的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)5

【分析】（1）由指对数运算可得，作差法及等差数列定义证明结论即可；

（2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，再根据不等式能成立求n的最小值.

【详解】（1）由题设，则，故，

所以数列{}是公差为3的等差数列.

（2）由（1）知：，故，

所以①，

则②，

所以①－②得：，

即，

所以，则，又恒成立，

所以递减，而，故时恒成立，，

所以n的最小值5.

18．已知的内角的对边分别为，向量，且，三角形ABC外接圆面积为．

(1)求 ；

(2)求三角形ABC周长的最大值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小；

（2）由（1）得，再由外接圆面积列方程可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件.

【详解】（1）由题设，则，

所以，则，

所以，而，故且，

所以，，则.

（2）由（1）知：，则，

若外接圆半径为，则，即，

所以，

则，仅当时等号成立，故三角形ABC周长的最大值为9.

19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面、分别是、中点，

(1)求证：平面；

(2)若与面所成角为，，求面PFB与面EDB夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）若为中点，连接，先证四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证结论；

（2）线面垂直的性质证，结合已知线面角大小求相关线段长，且，构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，进而求面面角的余弦值.

【详解】（1）若为中点，连接，又分别是、中点，

所以，又底面是正方形，

所以，故四边形为平行四边形，则，

由面，面，则平面.

（2）  

由底面，底面，则，

又，，面，则面，

与面所成角为，面，即，，

由且底面为正方形，易知，且，

以为原点，构建空间直角坐标系，则，

所以，

令为面的一个法向量，则，令，即，

令为面的一个法向量，则，令，即，

所以，即面PFB与面EDB夹角的余弦值.

20．为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下.从这200名学生随机抽取1人.

(1)若抽取的1名学生患色盲，求该生是男生的概率？

(2)根据小概率值=0.05独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？

(3)从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（，n=a+b+c+d）

【答案】(1)

(2)性别与患色盲无关

(3)分布列见解析，

【分析】（1）利用表中的数据根据古典概型的概率公式求解即可，

（2）利用公式求解，然后根据临界值表中进行判断即可，

（3）由题意可知可能取0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与期望.

【详解】（1）由题意可知抽取的1名学生患色盲，则该生是男生的概率为，

（2）假设：性别与患色盲无关

因为，

根据小概率=0.05独立性检验，没有充分证据推断不成立，

即认为性别与患色盲无关，

（3）由题意可知可能取0，1，2，则

，，，

所以的分布列为

所以

21．已知椭圆为其左、右焦点，为上点..当，面积最大.

(1)求椭圆C的离心率.

(2)过P与椭圆C相切的切线方程为，求椭圆C的方程.

(3)在（2）中.过P的直线交C的另一点，A为C的左顶点.求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由椭圆的性质确定面积最大时的位置，焦点三角形中应用余弦定理求离心率即可；

（2）将直线与椭圆联立得到关于的一元二次方程，根据及椭圆参数关系和离心率求出参数，即可得椭圆方程；

（3）将问题化为求是直线的平行线与椭圆的切点，与直线最远距离，利用三角形面积公式求最大面积.

【详解】（1）由椭圆性质知：面积最大，则为椭圆的上下顶点，此时，且，

所以，可得.

（2）由题意，过P与椭圆C相切的切线为，代入，

所以，整理得，

所以，则，即，且，

由（1）知，则，，故.

（3）由（2）知：，则直线，如下图，

要使面积最大，只需与直线距离最远即可，保证是直线的平行线与椭圆的切点，且直线与直线距离最远，

令，联立椭圆并整理得：，

所以，则，

由图易知：当，即时，直线与直线距离最远，

则，即与直线距离最远为，而，

所以面积的最大值为.

22．已知，.

(1)证明：当，有且只有2个零点；

(2)讨论是否存在使有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）

【答案】(1)证明见解析

(2)存在使有极小值

【分析】（1）先讨论函数单调性，然后结合零点存在定理即可证明；

（2）求导，利用导数研究函数单调性，然后根据极值的定义即可求解.

【详解】（1）因为，所以定义域为，，

因为，所以令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以有最大值为，

因为，所以，所以，

因为当时，单调递减，且，所以在上只有一个零点；

因为当时，单调递增，且，

所以在上只有一个零点；

综上，当，有且只有2个零点.

（2）令，

则定义域为，，

令，则，

因为，所以令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，

当，即时，，即恒成立，

所以单调递减，此时不满足题意；

当，即时，

由于当时，，当时，，

所以有两个解，即有两个解，且从递增到一个正数，然后再递减到，

所以存在极小值，

即存在使得有极小值.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．