2024届湖北省黄冈市浠水县第一中学高三上学期8月质量检测数学试题含答案

2024届湖北省黄冈市浠水县第一中学高三上学期8月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】因为，。

所以，或，因此，.

故选：D.

2．设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】利用的性质和复数的除法运算化简求出其虚部令其等于3可得答案.

【详解】复数，

因为其虚部为3，所以，可得.

故选：A.

3．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果

【详解】因为函数在上单调递增，且，

由增函数的定义可知，当时，有，

充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，

若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.

即对实数，“”是“”的充要条件.

故选：C

4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，，）

A．9 B．15 C．25 D．35

【答案】D

【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可.

【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，

∴，

故选：D．

5．设等比数列的前n项和为，若，公比，，，则（    ）

A．15 B．20 C．31 D．32

【答案】A

【分析】求出、的值，进而可求得、的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】在等比数列中，，，则为递增数列，，

由已知条件可得，解得，，，

因此，.

故选：A.

6．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据辅助角公式化简，由正弦函数的图像与性质求出的取值范围，最后根据两角和差公式求解.

【详解】,其中（取为锐角），

，其中（取为锐角），

设，由，可得.

在区间内没有零点，但有极值点时，,可得.

所以.

因为，，所以.

所以，

所以在上的最大值在取得，故.

又

，

,

所以的取值范围是.

故选:A.

【点睛】知识方法:有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.

7．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】使用对数恒等式和对数运算对进行化简放缩比大小，找到中间值，结合三角不等式，判断与的大小.

【详解】得，再由对数运算可得.

当时，令，则，

所以在递减，则.

所以，故.

故选：A

8．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.

【详解】当时，，

所以，

易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，

又当为正偶数时，存在，即，

所以，此时有，所以，

又对于任意的正奇数，，即，

所以或恒成立，所以或，

综上，实数的取值范围是，

故选：D．

二、多选题

9．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断.

【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.

对于A，定义域为，所以不满足题意；

对于B，定义域为，，符合题意；

对于C，定义域为，，不符合题意；

对于D，定义域为，，而，符合题意.

故选：BD.

10．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小值是 B．的最小值为3

C．的最大值为3 D．的最小值是2

【答案】ABD

【分析】变形条件，利用“1”的妙用求出最小值判断A，D；消元借助函数求出最小值判断B；换元借助三角变换及三角函数性质计算判断C作答.

【详解】对于A，，

当且仅当，即，时取“=”，A正确；

对于B，，当时，取得最小值3，B正确；

对于C，令，，

其中锐角由确定，显然，则当，即时，，

因此，当时，取最大值，C不正确；

对于D，

，

当且仅当a=b=1时取“=”，D正确.

故选：ABD

11．已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论正确的是（    ）

A．面积的最大值为

B．

C．的最大值为

D．的取值范围为

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用正弦定理、平面向量数量积的定义、三角恒等变换化简，结合正弦函数的基本性质可判断C选项；利用三角恒等变换可得出，结合正切函数的基本性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得

，即，

当且仅当时，等号成立，

故，

所以，的面积的最大值为，A对；

对于B选项，，B错；

对于C选项，由正弦定理可得，则，

因为，则，所以，，

由平面向量数量积的定义可得

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最大值为，C对；

对于D选项，因为，则，

由题意可知，，所以，，

，

当时，，则；

当时，，则.

综上所述，的取值范围为，D对.

故选：ACD.

12．设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（    ）．

A．是周期为2的函数

B．

C．的值域是

D．方程在区间内恰有1011个实数解

【答案】BD

【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．

【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，

因为，所以，

又因为，所以，所以是奇函数．

由，得，

所以以4为周期，故A错误．

因为是奇函数，且定义域为R，所以．

因为，所以，故B正确．

因为当时，，所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，所以．

因为为奇函数，所以当时，，

因为的图象关于直线对称，所以当时，，

因为的周期为4，所以当时，，故C错误．

方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．

因为的周期为2，且当时，与有2个交点，

所以当时，与有1011个交点，故D正确．

故选：BD.

【点睛】方法点睛：求函数零点或方程实根根的个数常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；

（2）数形结合法：先对解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是       ．

【答案】

【分析】利用投影向量的公式计算即可．

【详解】向量在向量方向上的投影向量是．

故答案为：

14．已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为      ．

【答案】5

【分析】根据等差、等比数列的通项公式、等差数列的求和公式以及基本不等式求解结果.

【详解】等差数列，设公差为，.

若，，成等比数列，则，

所以，即，

，

当时取等号.

则的最小值为5.

故答案为：5.

15．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为         .

【答案】

【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】依题意令，，

则，

因为当时，，

所以当时，，

∴在上单调递减，

则等价于，即，

∴，解得，所以所求不等式的解集为.

故答案为：

16．若函数且存在极大值点，则的取值范围是       ．

【答案】

【分析】将问题转化为有不等根，且左边导函数为正，右边导函数为负数求解.

【详解】解：令，

得，

令，即，

有，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，，又在上单调递增，且当，，

当，，故，

所以，即有变号根，

令，则，

当 时， ，递增，当时， ，递减，

所以 当时， 取得最大值 ，

所以，，

当，，，当，，

此时必存在一个零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数，

该零点即为极大值点，

所以的取值范围是，

故答案为：

四、解答题

17．已知 的值域为集合A，定义域为集合B，其中．

（1）当，求；

（2）设全集为R，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）欲求，先求A,B，再求他们交集即可

（2）由条件，先求，对m进行分类讨论，结合端点的不等关系，可得出m的取值范围

【详解】（1）

，此时成立.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查对数函数的定义域，指数函数的值域，集合的包含关系的判断及应用，相对较综合，值得一提的是分类讨论思想，遇到不确定的情况我们要进行分类讨论，注意分类的标准，然后再分类下每一类下求交集，再将所有分类的结果求并集

18．在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.

(1)求的值；

(2)若，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边化角，即可得到，再由平方关系计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.

【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，

又，即，

根据正弦定理，，

在锐角中，，则，即，

由，则，整理可得，解得（负值舍去）.

（2）由，根据正弦定理，可得，

在中，，则，

所以，所以，

由（1）可知，则，

由，则，解得（负值舍去），

根据正弦定理，可得，则，，

故的周长.

19．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；

（2）由等差数列的前n项和公式求出，再由裂项相消法可证明，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）∵，∴

当时，，解得.

当时，，

即，

∵，∴，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴.

（2）因为，所以

∴当时， ，

∴

，

∴，

∴实数的取值范围为.

20．已知函数，，为函数的导函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程在上有实根，求的取值范围.

【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）由题意得，令，则，分类讨论，，即可得出答案；

（2）由（1）得，题意转化为方程在上有实根，令，则，分类讨论，，，即可得出答案．

【详解】（1），令，则

当时，，函数在上单调递增；

当时，，得，，得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.

令，则

当时，，函数在上单调递增，，不合题意；

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；

当时，，得，，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，所以

综上所述，的取值范围为

21．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．

（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；

（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

【答案】（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小

【分析】（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；

（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.

【详解】（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，

又∠APO＝，∠OAP＝，

由正弦定理，得：，又OA＝2，

所以，PA＝，OP＝，

所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，

∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，

所以，；

（2）令，

，得：，

在上递减，在上递增

所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，

即是最小值：＝2，

答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．

【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.

22．已知函数，．

(1)当时，恒成立，求a的取值范围．

(2)若的两个相异零点为，，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可.

（2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可.

【详解】（1）当时，恒成立，

即当时，恒成立，

设，

所以，即，

，

设，

则，

所以，当时，，即在上单调递增，

所以，

所以当时，，即在上单调递增，

所以，

若恒成立，则．

所以时，恒成立，a的取值范围为.

（2）由题意知，，

不妨设，由得，

则，

令，

则，即：．

要证，

只需证，

只需证，

即证，

即证（），

令（），

因为，

所以在上单调递增，

当时，，

所以成立，

故．

【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法

(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．

(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．