
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2024届安徽省高三上学期8月摸底大联考数学试题含答案
展开2024届安徽省高三上学期8月摸底大联考数学试题
一、单选题
1.复数满足,则的共轭复数虚部为( )
A. B. C.1 D.
【答案】C
【分析】利用复数的乘法、除法运算求出复数,再利用共轭复数的意义求解作答.
【详解】依题意,,则,
所以的共轭复数虚部为1.
故选:C
2.已知集合,则集合的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】求出后,由真子集的定义可得.
【详解】集合中元素满足,即该数为大于1的奇数,
而集合中大于1的奇数只有3和9.
所以,
的真子集有3个,分别是:,,.
故选:C.
3.2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕,将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【答案】C
【分析】将5名志愿者分成4组,再分配到4个项目作答.
【详解】依题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,
将5名志愿者按分成4组,有种分法,将分得的4组安排到4个项目,有种方法,
所以不同的分配方案共有.
故选:C
4.已知函数的最大值为,最小值为,则( )
A.6 B.3 C.0 D.
【答案】A
【分析】令,则函数是定义域上的奇函数;由的最大值与最小值,得出的最大值与最小值,由此求出的值.
【详解】令,则
所以是定义域上的奇函数,因此.
又的最大值为,最小值为,
的最大值是,最小值是;
,
则.
故选:A.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为,一条渐近线为l,过点且与l平行的直线交双曲线C于点M,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义,结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】根据双曲线的对称性,不妨设一条渐近线l的方程为,
因此直线的倾斜角的正切值为,即,
所以有,
设,由双曲线定义可知:,
由余弦定理可知:,
故选:B
6.已知向量,函数. 若函数恰有两个零点,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据题意,利用向量数量积运算将的解析式化简得,函数恰有两个零点,即恰有两个根,可数形结合转化为与图像有两个交点,即可得解.
【详解】,
由可得
,令,则,
令,其中,
则直线与函数在上的图象有两个交点,
且,如下图所示:
由图可知,当时,即当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
此时函数在上有两个零点,故实数的取值范围是.
故选:A.
7.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛,若数列满足,则称数列为牛顿数列,如果,数列为牛顿数列,设且,,数列的前项和为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求得,然后等比数列的前项和公式求得,进而求得正确答案.
【详解】依题意,,
,,
依题意,
即,
则,
(由于,所以),
则,
两边取对数得,即,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.
所以,所以.
故选:A
8.已知函数,若存在使得关于的不等式成立,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】将不等式变形为,构造函数,分析可知该函数为增函数,可得出,求出函数的最小值,可得出关于实数的不等式,即可得出实数的取值范围.
【详解】因为,由可得,即函数的定义域为,
可得,
即,
构造函数,其中,则,故函数在上单调递增,
所以,,可得,则,
即,其中,令,其中,
则,当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,解得.
故选:C.
【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于将不等式变形为,结合不等式的结果构造函数,转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.
二、多选题
9.“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其分布密度函数,,则( )
A.该地杂交水稻的平均株高为100cm
B.该地杂交水稻株高的方差为10
C.该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D.随机测量该地的一株杂交水稻,其株高在和在的概率一样大
【答案】AC
【分析】由正态分布密度函数可知,,则可判断出AB选项,再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.
【详解】因为正态分布密度函数为,
所以,,即均值为100,标准差为10,方差为100,故A正确,B错误;
根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称,所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多,故C正确,
随机测量该地的一株杂交水稻,其株高在和在的概率一样大.故D错误.
故选:AC.
10.下列说法中正确的是( )
A.在中,,则
B.已知,则
C.已知与的夹角为钝角,则的取值范围是
D.若,则三点共线
【答案】BD
【分析】A项,求出与的夹角,即可求出的值;B项,求出,即可求出的值;C项,写出的表达式,利用两向量夹角为钝角,就可求出的取值范围;D项,求出的表达式,得出与的关系,即可证明三点共线.
【详解】由题意,
对于A,
∵,
∴与的夹角为,
∴,
故A错误;
对于B,
∵,
∴,
∴,
故B正确;
对于C,
∵与的夹角为钝角,
∴与的数量积小于0且不平行,即且,
∴,
故C错误;
对于D,
∴,
∴共线,
∵它们有公共点,
∴三点共线. 故D正确.
故选:BD.
11.已知抛物线的焦点为是抛物线上的两点,则下列说法中正确的是:( )
A.若线段的中点为,则直线的方程为
B.若线段过焦点,且,则直线的斜率为
C.已知为抛物线上在第一象限内的一个动点,,若,则直线的斜率为
D.抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于选项A,当直线的斜率不存在时,线段的中点在轴上,不合题意. 当直线的斜率存在时,由点差法可得,由此可得直线的斜率,进而可判断A正确.
对于选项B,,直线的斜率一定存在,设出直线的方程与抛物线联立,可得,再由抛物线的定义可得,可求出的值,可判断B正确.
对于选项C,设点,利用,可求得,从而确定点的坐标,可求出直线的斜率,进而判断C错误.
对于选项D,设点到的距离为,到直线的距离为,由抛物线定义,则,根据平面几何知识,可得当三点共线时,有最小值,进而可判断D正确.
【详解】对于A,设,若,则直线,由抛物线的对称性可知,线段的中点为,显然不符合题意,故,
因为是抛物线上的两点,所以,
两式相减得,,整理得,
因为线段的中点为,所以,即,
又,所以,
所以直线的方程为,即. 故A正确;
对于B,消去整理得
∵直线与抛物线交于两点,解得.
设,则,
,
,
即.
检验知满足条件. 故B正确;
对于C,设,则,
解得或,所以或,
又,所以或,故C错误;
对于D,设到的距离为到直线的距离为,
则,根据平面几何知识,可得当三点共线时,
有最小值,
因为抛物线焦点到直线的距离为,所以的最小值是,
所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故D正确.
故选:ABD.
12.一般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若为的跟随区间,则
B.函数不存在跟随区间
C.若函数存在跟随区间,则
D.二次函数存在“3倍跟随区间”
【答案】CD
【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析,根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项,若为的跟随区间,
因为在区间为增函数,故其值域为,
根据题意有,解得或,因为故.故A错误.
对于B选项,由题,因为函数在区间与上均为增函数,
若存在跟随区间则有,即为的两根.
即的根.故.故B错误.
对于C选项,若函数存在跟随区间,
因为为减函数,
故由跟随区间的定义可知,
即,
因为,所以.
易得.
所以,
令代入化简可得,
同理也满足,
即在区间上有两不相等的实数根.
故,解得,故C正确.
对于D选项,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.
当时,易得在区间上单调递增,
此时易得为方程的两根,
求解得或.故定义域,则值域为.D正确.
故选:CD
【点睛】关于新定义函数类型问题的求解,主要的解题思路是理解新定义,并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解,如本题中新定义的“跟随区间”,根据它的定义,可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.
三、填空题
13.已知某圆锥的母线长为10,其侧面展开图的面积为,则该圆锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件,求出圆锥轴截面等腰三角形底角的正弦,再利用正弦定理求出圆锥轴截面三角形外接圆半径作答.
【详解】设圆锥的底面半径为,则,解得,
令圆锥轴截面等腰三角形底角为,则,,
因此圆锥轴截面等腰三角形外接圆半径,有,解得,
显然圆锥轴截面等腰三角形的外接圆是圆锥外接球的截面大圆,于是圆锥外接球半径,
所以该圆锥外接球的表面积为.
故答案为:
14.为了更好地了解早高峰车辆情况,某地交管部门在9个路口统计1分钟的车流量,每个路口的车流量分别为,则这组数据的第百分位数为 .
【答案】
【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.
【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得
因为,所以这组数据的第百分位数为,
故答案为:
15.已知直线与圆相离,则整数的一个取值可以是 .
【答案】或或(注意:只需从中写一个作答即可)
【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组,解出整数的范围.
【详解】因为圆的圆心为,所以圆心到直线的距离,因为圆的方程可化简为,即半径为,所以,所以,故整数的取值可能是.
故答案为:或或(注意:只需从中写一个作答即可)
16.已知,给出以下几个结论:
① 的最小正周期为;
② 是偶函数;
③ 的最小值为;
④ 在上有4个零点;
⑤在区间上单调递减;
其中正确结论的序号为 .
【答案】②④⑤
【分析】对①②:根据周期性、奇偶性的定义分析判断;对③④⑤:分类讨论去绝对值,结合辅助角公式以及正弦函数的性质逐项分析判断.
【详解】对①:∵,
即,故不是以为最小正周期的周期函数,①错误;
对②:,故是偶函数,②正确;
对③: 当时,可得,
∵,则,
∴,故;
当时,可得,
∵,则,
∴,故;
综上所述:当,的值域为.
当时,则,可得,
故时,的值域为,
又∵是偶函数,
∴的值域为,即的最小值为,③错误;
对④:由③可得:当时,令,即,
∵,则,
∴当,即时,;
当时,可得,即,
∵,则,
∴当,即时,;
综上所述:在上有2个零点.
∵是偶函数,
∴在上有4个零点,④正确;
对⑤:
当时,则,
可得在区间上单调递减,⑤正确.
故答案为:②④⑤.
【点睛】关键点定睛:
根据函数的相关性质,缩小需要研究的区间,再根据余弦函数值的符号分类讨论去绝对值.
四、解答题
17.在锐角中,内角所对的边分别为,已知向量、满足:,,且.
(1)求角;
(2)若,求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式,再利用正弦定理即可求出角A;
(2)利用正弦定理将边表示成角的形式,即,再根据三角形形状和辅助角公式,即可求出的取值范围,得解.
【详解】(1)因 ,且,
于是有,即,
在中,由正弦定理得:,而,
于是得,又A为锐角,
所以.
(2)是锐角三角形,由(1)知,,
于是有,且,从而得,
而,由正弦定理得,
则,,
则有,
而,则,
即,
所以的取值范围.
,即周长的取值范围是.
18.已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用公式,即可求数列的通项公式;
(2)根据(1)的结果可知,再利用裂项相消法求和证明即可.
【详解】(1)因为,
所以当时,,
两式相减得:,即,
所以,
且符合,
所以的通项公式为
(2)由(1)得:,
,
.
19.如图,在直三棱柱中,侧面是正方形,且平面平面.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成的角为,E为线段的中点,求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)通过证明平面来证得.
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的大小.
【详解】(1)设,则中点为M,且
∵平面平面且交线为,平面,
∴平面,
∵平面,∴,
又直三棱柱,∴,
∵平面,
∴平面,
∵平面,∴.
(2)由(1)知平面,
所以直线与平面所成的角为,
不妨设
以B为原点,分别为x,y,z轴正向建立坐标系,
,
设平面的法向量为
,故可设,
设平面的法向量为,
,故可设,
设平面与平面所成锐二面角为,
∴.
20.习近平总书记在党的十九大报告中指出,保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成,为了解市民对该项目的满意度,从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分),绘制成如图所示的频率分布直方图,并将分数从低到高分为四个等级:
满意度评分 | 低于60分 | 60分到79分 | 80分到89分 | 不低于90分 |
满意度等级 | 不满意 | 基本满意 | 满意 | 非常满意 |
(1)若市民的满意度评分相互独立,以满意度样本估计全市民满意度,现从全市民中随机抽取5人,求至少2人非常满意的概率;
(2)相关部门对该项目进行验收,验收的硬性指标是:全民对该项目的满意指数不低于0.8,否则该项目需要进行整改,根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过验收,并说明理由;(注:满意指数=)
(3)在等级为不满意的市民中,老人占,现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因,并从中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数,求X的分布列及数学期望E(X).
【答案】(1);
(2)能通过验收,理由见解析;
(3)的分布列见解析,.
【分析】(1)根据矩形面积之和为1求出a,然后通过对立事件求概率的方法与二项分布求概率的方法求出答案;
(2)算出满意度的平均分即可判断答案;
(3)根据超几何分布求概率方法求出概率,然后列出分布列,求出期望.
【详解】(1),解得,设至少2人非常满意的概率为事件A,由题意知5人中非常满意的人数,.
(2)由频率分布直方图得:
满意度平均分为,满意指数,因此,能通过验收.
(3)分层抽取9人中老人有3人,由题意知服从超几何分布,的可能取值为,,,,,则分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | |
所以,.
21.已知椭圆经过点,且椭圆的长轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点,求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件可得出的值,将点的坐标代入椭圆的方程,可得出,即可得出椭圆的方程;
(2)分析可知直线不与轴重合,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,写出直线的方程,可求得点的坐标,利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】(1)解:因为椭圆的长轴长为,则,
将点的坐标代入椭圆的方程可得,可得,
所以,椭圆的标准方程为.
(2)解:若与轴重合,则不存在,
设直线的方程为,设点、,
若,则点与点重合,不合乎题意,所以,,
联立可得,
,
由韦达定理可得,,
易知点,,
直线的方程为,
将代入直线的方程可得,即点,
,
所以,,
令,则函数在上为增函数,
所以,,所以,.
故的面积的取值范围是.
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
22.设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求的值;
(2)若存在两个极值点,且对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】(1)求出,令,求解可得答案;
(2)令得,,当由可得,令,求导利用单调性可得答案; 当根据,令可得求解可得答案.
【详解】(1),
所以,解得;
(2),令得,
解得,或时且,
当即时,,对任意恒成立,
得可得,,
时成立,时,有在恒成立,
令,,所以在单调递减,
有,所以;
当即时,,对任意恒成立,求实数的取值范围,即在上恒成立,
因为,可得,
解得,
当即时,重合,不符合题意,
综上所述,或.