2024届黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第二次调研考试数学试题含答案

2024届黑龙江省佳木斯市第一中学高三上学期第二次调研考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简集合,再求得解.

【详解】由题得，

，

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．对于实数，，，且是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若“且”则“”成立，

当，时，满足，但且不成立，

故且”是“”的充分非必要条件．

故选：A．

3．设函数，若，则的值为（    ）

A． B．1 C．或1 D．或1或

【答案】B

【分析】分与两种情况，解方程，求出答案.

【详解】当时，，则，解得或（舍去），满足要求；

当时，，则，解得，不满足要求，舍去.

故选：B

4．已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数及对数函数的单调性计算即可，注意端点位置大小.

【详解】由题意可得二次函数对称轴为，由于整个函数单调递减，则有

，解之得.

故选：A

5．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为的定义域为，，由，得．利用图象可知，根据题意得，，解得，故选B．

【解析】函数单调性

6．已知函数为定义在上的偶函数，不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题易求出的值，因为函数为偶函数，因此只需考虑时的单调性，然后利用函数的单调性及偶函数的性质可解.

【详解】∵函数为定义在上的偶函数，

∴，即，所以定义域为，

当时，函数为增函数，由偶函数的性质可得，

∴当时，函数为减函数，

由得，

解之得，.

故选：D.

7．若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（    ）

A．0 B．1 C．e D．

【答案】D

【分析】设切点分别为，，分别求出切线方程，再令切线方程相等；

【详解】设l与的切点为，则由，有.

同理，设l与的切点为，由，有.

故 解得 或 则或.

因，所以l为时不成立.故，

故选：D.

8．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.

【详解】，

令，则，

所以当时，函数单调递增，

，即，

即，从而可知.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．命题“，”的否定为“，”

B．已知，，且，则的最小值为

C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为

D．幂函数在上为减函数，则的值为1

【答案】BD

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可判断A，根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解B，根据抽象函数的定义域即可判断C，根据幂函数的性质即可判断D.

【详解】对于A.命题“，”的否定为“，”，故A错误，

对于B.由于，，，当且仅当，即时，取最小值，B正确，

对于C. 函数的定义域为，则，故，故函数的定义域为，C错误，

对于D. 为幂函数，则或，由于在上为减函数，所以，故的值为1，D正确，

故选：BD

10．已知函数，且，则的大致图象可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】取特殊值判断A、B、D，根据C的图象得到且，即可退出矛盾，即可判断.

【详解】解：令、、此时，定义域为，且，即函数为偶函数，函数图象关于轴对称，

当时，当或时，故A满足题意；

令、此时，定义域为，且，即函数为奇函数，函数图象关于原点对称，

当或时，当或时，故B符合题意，

对于C：函数的定义域为，故，且，即，此时，则，

所以函数为奇函数，函数图象关于原点对称，故矛盾，即C错误；

令、、此时，当时，所以，

当时，所以，故D符合题意；

故选：ABD

11．给出下列说法，错误的有（    ）

A．若函数在定义域上为奇函数，则

B．已知的值域为，则a的取值范围是

C．已知函数满足，且，则

D．已知函数，则函数的值域为

【答案】ABD

【分析】由奇函数的定义可判断A，函数的值域满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．

【详解】对于A，函数为奇函数，

所以，，即，即，

即，整理可得，即，

所以，，解得，

当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意，

当时，，

由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意.

综上所述，，故A错误；

对于B，因为的值域为，

则函数的值域满足，

则，解得，故B错误；

对于C，函数满足，则，

故的周期为，因为，则，故C正确；

对于D，因为，，

由，得，解得，

即函数的定义域为．则，

又

，

故函数的值域为，故D错误：

故选：ABD.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数有3个零点

B．若函数有四个零点，则

C．若关于的方程有四个不等实根，则

D．若关于的方程有8个不等实根，则

【答案】ACD

【分析】画出的图象利用数形结合可判断ABC，根据图象及二次方程根的分布可判断D.

【详解】对A，当时，单调递增，

当时，单调递减，

画出的图象，可以看出关于对称，

当时，取得最小值为1，

在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，

所以函数有3个零点，A正确；

对B，由图象可知，函数有四个零点，则，B错误；

对C，由图象可知，若关于的方程有四个不等实根，

不妨设，则关于对称，关于对称，

所以，所以，C正确；

对D，令，若关于的方程有8个不等实根，

则要有2个不相等的实数根，且，

所以，所以，即，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若，则曲线在处的切线方程为        .

【答案】

【分析】注意到是常数，对求导，再令，可求得的值，再将的值带回原式，可求得的值，再根据直线的点斜式方程，即可得到结果.

【详解】，

，，，

，

所以曲线在处的切线方程为，即.

故答案为：.

14．设函数的最大值为，最小值为，则           .

【答案】2

【分析】构造函数，可证为奇函数，且的最大值为，最小值为，结合奇函数的性质，可求得.

【详解】，设，所以的最大值为，最小值为，又，所以为奇函数，所以，即.

故答案为：2.

15．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围           ．

【答案】

【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．

【详解】，，

设，则，

则，为奇函数，

又当时，，在上是减函数，

从而在上是减函数，

又,等价于，

即，，解得,

故的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.

16．函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是          .

①既不是奇函数也不是偶函数；

②的最小正周期为4；

③在上单调递减；

④是的一个最大值；

⑤.

【答案】②③⑤

【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得，再结合前面的可得，，从而可得为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.

【详解】对于①②，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，所以，

因为为奇函数，所以，所以，

所以，所以，，

所以为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，

对于③，因为为奇函数，在上单调递增，所以在上递增，

因为的图象关于直线对称，所以在上递减，

因为的周期为4，所以在上单调递减，所以③正确，

对于④，因为的定义域为R，且为奇函数，所以，

因为在上递增，在上递减，的周期为4，所以在上递增，，所以在上的最大值为，

因为，所以不是的一个最大值，所以④错误，

对于⑤，因为，所以当时，得，当时，得，所以，

因为的周期为4，所以，所以⑤正确，

故答案为：②③⑤

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性、单调性、对称性和周期性的综合问题，解题的关键是由已知条件得到为奇函数，周期为4，再根据对称性研究一个周期上函数的性质，考查计算能力，属于较难题.

四、解答题

17．不等式的解集是，集合．

(1)求实数a，b的值；

(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入求解即可；

（2）由（1）化简集合，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.

【详解】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入得

，解得.

（2）由（1）知 ，故集合，

于是有，可得，

若，可得，解得；

若， 可得，解得；

若符合条件.

故实数的取值范围是.

18．为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.

(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；

(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

【答案】(1)

(2)当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万

【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；

（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.

【详解】（1）当，时，

；

当，时，

；

综上所述：

（2）当，时，，则当时，的最大值为650；

当，时，

（当且仅当，即时等号成立）；

∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.

19．已知函数.

(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)最小值为，最大值为

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意，求得，求得，结合导数求得函数的单调性和极值，结合和的值，即可求解；

（2）化简得到，分、、、和，五种情况讨论，求得函数单调区间，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得，

因为已知是函数的极值点，所以1是方程的根，

可得，解得，故，经检验符合题意，

所以，则，

所以当时；当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

又由，，，

且，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

（2）解：由，可得，

当时，令，解得或；

令，解得或，

所以函数的单调增区间为，，减区间

当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，

当时，令，解得或；

令，解得，

所以函数的单调增区间为，，减区间

当时，可得，

令，解得；令，解得，

所以函数的单调增区间为，减区间.

当，可得，令，解得；令，解得，

所以函数的单调增区间为，减区间.

综上可得，当时单调增区间为，减区间；

当时单调增区间为；

当时单调增区间为，减区间

当单调增区间为单调减区间为.

【点睛】知识方法：利用导数研究函数的单调性（区间）的方法：

（1）当导函数不等式可解时，解不等式或，求出函数的单调区间；

（2）当方程可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间的符号，从而确定函数的单调区间；

（3）若当方程含有参数时，需要根据参数的取值，合理分类讨论，确定各区间的符号，进而确定函数的单调区间；

（4）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据结构特征，利用图像与性质确定的符号，从而确定单调区间.

20．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.

(1)求与的解析式；

(2)若在上的最小值为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于、的方程组，即可解得这两个函数的解析式；

（2）设，可得，设，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.

【详解】（1）解：为偶函数，，

又为奇函数，，

，①

，即，②

由得：，可得.

（2）解：，

所以，，

令，因为函数、在上均为增函数，

故在上单调递增，则，

设，，对称轴，

①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，

则，解得：或（舍）；

②当时，在上单调递增，

，解得：，不符合题意.

综上：.

21．已知函数，

(1)求函数的极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值点为，无极小值点；

(2).

【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再探讨导数值大于0和小于0的x范围作答.

（2）由给定不等式，构造函数，再借助导数求出函数最大值作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得，

当时，，当时，，

因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以的极大值点为，无极小值点.

（2）设，，依题意，，

求导得，令，，

显然函数在上单调递减，又，，

则，使得，即，有，即，

因此当时，，即，则单调递增，

当时，，即，则单调递减，

从而，解得，

所以实数的取值范围是.

22．设函数（为常数）．

（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点、，且，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，由参变量分离法得出，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围；

（2）求得，可得出，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出函数在区间上的值域，即可证得结论成立.

【详解】（1），，

由题意可得对任意的恒成立，则，

函数在区间上单调递减，所以，.

因此，实数的取值范围是；

（2），令，

由题意可知，函数在区间上有两个不等的实根，则，解得.

，解得，，所以，，

由韦达定理可得，，

，

构造函数，其中，

，

，

当时，函数在区间上单调递增，

，，所以，存在 使得.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

，，所以，对任意的，，

所以，函数在区间上单调递减，当时，，

即，因此，.

【点睛】第（1）问利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，结合参变量分离法或分类讨论法求解；

第（2）问利用导数证明函数不等式，在涉及极值点的问题时，当导数中含二次函数部分时，要结合韦达定理得出极值点之间的关系，并结合代数式的结构构造新函数来证明.