2024届福建省福州市高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

2024届福建省福州市高三上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则在复平面内，对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算以及其几何意义，可得答案.

【详解】由，得.

故选：A．

2．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接解出集合，再根据并集含义即可得到答案.

【详解】，，

故，

故选：C．

3．已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据抛物线方程求出准线方程，再求出点的坐标即可；

【详解】抛物线的准线为，

将代入得，

故P到准线的距离为2，

故选：C．

4．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　）

A．90 B．180 C．270 D．360

【答案】B

【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可.

【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，

其中1春2夏的不同情况有：种；

2春1夏的不同情况有：种，

所以小明选取节气的不同情况有：种．

故选：B．

5．一个正四棱台形油槽可以装煤油，其上、下底面边长分别为和，则该油槽的深度为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据棱台的体积公式，可得答案.

【详解】设正四棱台的高，即深度为，依题意，得，解得.

故选：D．

6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求解出，，然后根据条件概率计算即可；

【详解】解法一：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件，则，，

故．

故选：C．

解法二：记第i次摸到红球为事件，摸到黄球为事件．

由抽签的公平性可知，又，

所以．

故选；C．

7．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对进行变形，再构造函数，利用其单调性即可比较大小.

【详解】，，，

令，，

当时，，故在区间上单调递减，则，

所以．

故选：A.

8．若定义在上的函数的图象在区间上恰有5条对称轴，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有5个整数k符合，解不等式即得解.

【详解】由已知，，

令，，得，，

依题意知，有5个整数k满足，即，

所以，则，故，

故选：A．

二、多选题

9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（　　）

A．极差为13 B．中位数为82 C．平均数为79 D．方差为124

【答案】AC

【分析】根据极差、中位数、平均数以及方差的计算公式计算即可.

【详解】将数据从小到大排列：73，75，76，80，81，82，86，

对A，极差为分，故A正确；

对B，中位数为80，故B错误；

对C，平均数为，故C正确；

对D，方差为，故D错误.

故选：AC.

10．已知圆M：，直线：，则（　　）

A．恒过定点 B．若平分圆周M，则

C．当时，与圆M相切 D．当时，l与圆M相交

【答案】BC

【分析】令即可判断A，将圆心坐标代入直线方程即可判断B，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断CD.

【详解】对A，直线：，令，则，则l恒过定点，选项A错误；

对B，若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心，代入直线方程得，解得，选项B正确；

对C，圆心到l的距离，

当时，，l与圆M相切，选项C正确；

对D，若l与圆M相交，则，即，即，即，故选项D错误．

故选：BC.

11．已知函数有两个极值点．则（　　）

A．的图象关于点对称 B．的极值之和为

C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点

【答案】ACD

【分析】利用奇偶函数性质和平移法 判断A，利用极值和导数关系即可判断B，根据零点个数与导数、函数的关系即可判断D.

【详解】对A，设，定义域为，关于原点对称，

且，则为奇函数，

的图象可由奇函数的图象向上平移2个单位长度得到，

故的图象关于点对称，选项A正确．

对B，设的极值点分别为，令，则为方程两不等实数根，

根据韦达定理知，故，

即的极值之和为4，选项B错误．

对C，依题意，方程有两异根，则，，，

令，解得或，令，解得，

则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间单调递增．

则时，的图象与轴有3个交点，

即有3个零点，此时，即，解得，故选项C正确．

对D，当时，，

，

此时只有一个零点，选项D正确．

故选：ACD.

12．已知正四棱柱的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平面上一点，且直线BP与球O相切，则（　　）

A．球O的表面积为 B．直线与BP夹角等于

C．该正四棱柱的侧面积为 D．侧面与球面的交线长为

【答案】BCD

【分析】根据正四棱柱的几何性质再结合内切球性质，应用异面直线所成角，分别判断各个选项即可.

【详解】如图，设球O与下底面相切于点，则平面ABCD，

因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径，

所以，四棱柱的侧面积为，故选项A错误，C正确．

依题意，，BP均为球O的切线，经过球心O，所以由球的对称性可得，

又，，所以，选项B正确．

对于选项D，棱的中点F，即球O与棱的切点应为交线上的点，

故交线应为过F的圆，截面圆的圆心即为矩形的中心E，

在中，，，

所以截面圆半径，则侧面与球面的交线长为，选项D正确．

故选：BCD．

.      

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数的值为          ．

【答案】5

【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由，得，解得．

故答案为：5

14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为，则的值为          ．

【答案】/

【分析】首先利用弧度制表示出，再利用二倍角的正弦公式即可得到答案.

【详解】依题意，得，所以．

故答案为：.

15．已知定义城为的函数同时具有下列三个性质，则          ．（写出一个满足条件的函数即可）

①；②是偶函数；③当时，．

【答案】（答案不唯一，均可）

【分析】根据基本初等函数可知满足条件①的函数可为，此时满足条件②，再结合条件可分析得为上的减函数，所以.

【详解】由条件①，设，则，满足条件②，

此时易知为奇函数，再由条件③，

当时，有，

可知为上的减函数，所以.

故答案为：（答案不唯一，均可）

16．已知双曲线C：的左焦点为F，两条渐近线分别为，．点A在上，点B在上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称、若，则C的离心率为          ．

【答案】2

【分析】结合图像与三角函数关系，解得，点F，A关于直线对称，，由此解得的倾斜角为，从而求解出C的离心率.

【详解】  

依题意，的方程为，，

设垂足为P，根据三角函数对应关系，,，

因为，的方程为，即，

则，故，

因为点F，A关于直线对称，，

又，关于y轴对称，所以的倾斜角为，

故，则，则，

所以离心率．

故答案为：.

四、解答题

17．已知等比数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）法一：由，根据数列是等比数列，利用“”法求解；法二：由，利用数列的通项和前n项和的关系求

（2）法一：易得，再利用等差数列的前n项和公式求解； 法二：由，利用对数和指数的运算法则求解.

【详解】（1）解：法一：由，得

设等比数列的公比为q，

所以

解得或（舍去）．

所以．

法二：因为，①

所以当时，，②

①－②得，

所以等比数列的公比．

由①式得，得，

所以．

（2）法一：，

故，，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以．

法二：

．

18．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．

(1)若，求a；

(2)求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）法一：根据，，，利用余弦定理求解；法二：根据，且，利用正弦定理求得求解；

（2）法一：利用余弦定理，结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解；法二：利用正弦定理得到，，进而得到，利用三角函数的性质求解；

【详解】（1）解：法一：因为，，，

根据余弦定理得，

所以，

即，

解得．

解法二：因为，且，

根据正弦定理，得，

所以，即，

因为，所以，所以，

所以或，

当时，，

根据正弦定理，得，

所以；

当时，，

根据正弦定理，得，

所以；

综上，．

（2）法一：根据余弦定理，得，

所以，

（当且仅当时取等号），

即，

所以面积，

即面积的最大值为．

法二：根据正弦定理，得，

所以，，

即，

，

，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值为1，即ac最大值为，

所以面积，

即面积的最大值为．

19．国际上常采用身体质量指数（，缩写）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的值，并根据“中国成人的数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：

(1)若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？

(2)以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．

【答案】(1)该公司共有2400名员工

(2)

【分析】（1）根据分层抽样特点即可得到答案；

（2）根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算方法即可得到答案.

【详解】（1）设该公司共有x名员工，

依题意得，

解得，

所以该公司共有2400名员工．

（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为，

由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为，

抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为，

设事件M为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件为“抽到的员工都不存在肥胖”，

所以，

所以，

所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为．

20．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AD的中点为O，连结OM，OB，根据四边形ABCD是为菱形，且，得到为正三角形，从而，且，再由，得到，进而由勾股定理得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

（2）以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面ACN的一个法向量为，然后利用求解.

【详解】（1）证明：取AD的中点为O，连结OM，OB，

因为四边形ABCD是为菱形，且，

所以为正三角形，所以，且．

因为，所以，

所以，

又因为，所以，

所以，

因为，平面ABCD，平面ABCD

所以平面ABCD，

又因为平面MAD，

所以平面平面ABCD．

（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，，，

设平面ACN的一个法向量为，

则，即，

取，则．

因为，

则，

所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．

21．已知椭圆的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B．点C在E上，，分别为直线AC，BC上的点．

(1)求的值；

(2)设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）解法一：设出动点，写出直线方程，表示出所求点的纵坐标，利用椭圆方程，建立等量关系，化简即可；解法二：设出动点，根据椭圆的第三定义，计算斜率之积，建立方程，可得答案.

（2）解法一：设出动点坐标，表示出直线方程，联立直线与圆锥曲线，表示出动点坐标，利用向量共线的坐标表示，可得答案；解法二：由（1）所得的斜率之积，整理直线斜率的表示，建立方程，可得答案.

【详解】（1）  

依题意，，．设，则，

直线AC方程为，令得，

直线BC方程为，令得，

所以，即的值为．

解法二：

依题意，，．设，则，

所以．

即，故的值为．

（2）  

设，，

由，其斜率，则直线AP方程为，

由，其斜率，则直线BP的方程为，

由，得，

，

所以，即，故．

由，得，

，

所以，即，故．

所以，

又，所以向量，与共线，所以直线CD经过F．

解法二：

设，，．要证直线CD经过，

只需证向量，与共线，即证．（*）

因为，所以，

同理可得，

所以，即，①

同理可得，②

①－②得，即．

所以（*）式成立，命题得证．

22．已知函数，记曲线在点处的切线为，在x轴上的截距为．

(1)当，时，求切线方程；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解；

（2）易知切线l的方程为，令得到．（*）根据，得到，构造函数，用导数法得到，从而，再分和证明.

【详解】（1）解：，

当，时，，即切点为，

所以所求切线斜率，

所以所求的切线方程为，即．

（2）由于，

所以切线l的方程为．

令，得，解得．（*）

由，得．

构造函数，

所以，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．

所以．

若，由（*）式知，

所以，

故．

若，则，

所以．

构造函数，

所以，

故在区间上单调递增，

所以，

所以，即

所以，即．

综上，不等式成立成立（当且仅当时取等号）．

【点睛】思路点睛：先由切线l的方程令，得到．（*）再构造函数，利用导数法求得，从而，再分和去掉绝对值证明即可.