2024届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试数学（理）试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届四川省巴中市高三上学期“零诊”考试数学（理）试题

一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义确定复数z，再根据共轭复数的概念以及复数的运算，即可得答案.
【详解】由题意知复数对应的点的坐标是，故，
所以，
故选：A
2．已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得，即，而集合，
所以.
故选：C
3．已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合已知条件，列式计算，即可得答案.
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
故由可得，即，
故选：D
4．已知向量，则“”是“”的（  ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，，则，
所以，故有，
当时，因为，
所以，即，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出渐近线方程，再同一坐标系内画出三条直线，得到表示三角形区域的不等式组.
【详解】的渐近线方程为和，
画出，和，如下：
  
故表示三角形区域的不等式组为.
故选：B
6．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的三视图还原几何体，再按圆锥及圆柱表面积公式计算求解.
【详解】由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，
高为的圆锥构成的组合体，如图，
  
则有圆锥的母线为，圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，
圆柱下底面圆面积，
这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，
所以这个几何体的表面积为.
故选：A
7．第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界送出来自中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲、乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见．
  
①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．
②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．
③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．
④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会．
其中合理推荐意见的编号是（    ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】由茎叶图分别求出甲乙成绩的平均值和方差，比较后得到结论，求出答案.
【详解】对于①②，甲的成绩平均值为，
乙的成绩平均值为，
甲的成绩的平均值大于乙的成绩的平均值，推荐乙参加大运会，①错误，②正确；
对于③④，甲的成绩的方差为，
乙的成绩的方差为，
因为，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会，③正确，④错误.
故选：C
8．已知函数的部分图象如下图所示，则（    ）
  
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象，由三角函数的性质求得，，在结合题意和，求得，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，又由，可得，所以，
所以，因为，即，
解得，即，
又因为，可得，所以函数的表达式为，
所以.
故选：B
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】设交y轴与A，可推出，从而，结合的斜率，设可推出之间的关系，即可求得答案.
【详解】如图，设交y轴与A，A为的中点，
  
因为O为的中点，故为的中位线，
则，而，则,
因为直线的斜率为，故中，，
故设，则，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，
则，
故选：C
10．已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到ABD正确，C错误.
【详解】由题意得，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，B正确，
，A正确，
，D正确，
C选项，，
，
又在上单调递增，，
故，所以，
故，
设，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故，即，当且仅当时，等号成立，
故，
则，所以，
又，故，C错误.
故选：C
【点睛】常见的不等式放缩有，，，，，等，常用来比较大小.
11．已知且，则的最小值为（    ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
12．已知，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】记，从而化为，利用导数研究函数单调性，再结合偶函数性质解不等式即可.
【详解】因为，所以，
记，
，
因为在上为增函数，
则在上为增函数，
时，，时，，此时单调递减；
时，，此时单调递增；
又因为且定义域为R，所以函数为偶函数，
则不等式等价于等价于，
所以，所以，化简得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及解不等式问题，往往将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性，利用函数性质解不等式是解决问题的关键.

二、填空题
13．已知的展开式中，的系数为6，则 ．
【答案】1
【分析】根据二项展开式的通项公式可确定的展开式中的系数，可得方程，即可求得答案.
【详解】由题意得，
而的通项公式为，
故的展开式中，的系数为，
解得，
故答案为：1
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
【答案】
【分析】由题意求出B点坐标，继而求出直线BC的方程，联立抛物线方程，求得点C坐标，即可求得答案.
【详解】如图，由题意可知轴，，
将代入中得，即,
  
又，则，故的方程为，联立，
可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则，故，
故答案为：.
15．已知数列的前项和为，，则 ．
【答案】
【详解】分析：由，当时，当时，相减可得，则，由此可以求出数列的通项公式
详解：当时，
当时由可得
二式相减可得：

又
则数列是公比为的等比数列

点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到，则用即可算出，需要注意讨论的情况．
16．在三棱锥中，，分别为棱的中点．现有以下4个结论：
①三棱锥的外接球表面积为；
②；
③平面；
④当时，平面平面．
则其中正确结论的序号为 ．
【答案】①③④．
【分析】利用直角三角形的性质，结合球的性质、线面垂直和面面垂直的判定定理逐一判断即可.
【详解】①：因为，
所以，
又因为是中点，
所以，
同理由和是中点，可得，
因此是三棱锥的外接球的球心，半径为，
所以三棱锥的外接球表面积为，因此本结论正确；
②：因为分别是的中点，所以，
又因为分别是的中点，所以，
因此可得，
所以四边形是平行四边形，
若，此时平行四边形是菱形，则，
因为分别是的中点，所以，
因此，题中没有给出的长度，因此不一定成立，本结论不正确；
③：由①可知，是的中点，所以，
又因为因为分别是的中点，所以，
因此有，
因为，
所以，而是中点，
由全等三角形的性质可知，
而是中点，因此，而，
所以有平面，
所以平面，因此本结论正确；
④：当时，有，
而，平面，
因此平面，而平面
所以平面平面，因此本结论正确，
故答案为：①③④

【点睛】关键点睛：本题的关键在于多次使用三角形中位线定理、球的性质、全等三角形的性质.

三、解答题
17．中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：
年龄




男性
人数
40
120
160
80
比较关注人数
8
72
112
48
女性
人数
10
70
100
20
比较关注人数
5
49
80
16
(1)完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；

比较关注
不太关注
总计
男性



女性



总计



(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记其中男性的人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)表格见解析，能；
(2)分布列见解析，2.

【分析】（1）根据给定的数表，完善列联表，再求出的观测值，并与临界值表比对作答.
（2）求出抽取的6人中男女性人数，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【详解】（1）由给定的数表知，男性总人数为400，其中比较关注的有240人，女性中比较关注的有150人，列联表如下：

比较关注
不太关注
总计
男性
240
160
400
女性
150
50
200
总计
390
210
600
则
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.
（2）已知600人中男性与女性的比为，则所抽男性人数为人，所抽女性人数为人，
依题意，的可能值为1，2，3，，
因此，，，
所以的分布列为：

1
2
3




期望为.
18．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到，故，求出；
（2）法一：由求出，结合（1）中，由余弦定理得到，结合（1）中所求得到，利用三角形面积公式求出答案；
法二：由求出，结合（1）中所求得到，，利用，求出，利用三角形面积公式求出答案；
法三：由求出，结合（1）中，由余弦定理得到或，排除，结合，求出三角形面积.
【详解】（1）由及正弦定理得：，
由得：．
，
由知，
，
；
（2）法一：当时，代入得：，
由（1）知，
由余弦定理得：，
整理得：，解得：，
由（1）知：，
．
法二：当时，代入得：，
由（1）得：，
，
由得，
，
．
法三：当时，代入得：，
由（1）得：，
由余弦定理得：，
整理得：，解得：或，
若，则为等腰三角形，此时，
由及内角和定理得：，与矛盾，不合题意，
，
∵，
．
19．如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】方法一方法二，先构造并证明面面平行，继而利用面面平行的性质定理证明结论；
方法三，连结延长交的延长线于，连结，证明，根据线面平行的判定即可证明结论；
方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.
（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求得答案；
方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.
【详解】（1）证明：
方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）

由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面平面，
又平面，
故平面平面，
平面，
平面；
方法二：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结（如下图）

由分别为的中点及中位线定理得，
平面平面，
平面，
，，
平面平面,
平面，
又平面，
平面平面，
平面，
平面.
方法三：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结，

，即，又，
，
又，，
平面平面，
平面．
方法四：空间向量方法
底面平面，
，
又，
故两两垂直，
以A为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图:

由知：
，，

设平面的一个法向量为
由得，取得，
平面，
平面.
（2）方法一
由（1）方法四可得：，
，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，
由几何体的空间结构知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
方法二
连结，由得：，

，
，
在中，，由余弦定理得：，
则，，
底面平面，
，
平面，
平面．
又平面，，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：，
二面角的余弦值为．
20．已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；
（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二：利用面积分割法求解面积即可.
【详解】（1）由题意知，
又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，
则，
于是由得，化简得（*）
由消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，
.
  
方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求导函数，分类讨论研究函数的单调性；
（2）方法一：求导函数，分类讨论研究单调性，利用函数有两个零点得函数最小值为负数，解对数不等式即可；方法二：把零点问题转化为即有两个实根，构造函数，利用导数研究函数的单调性，数形结合即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
①当，即时，
由得，由得，
则在上为减函数，在上为增函数；
②当即时，
由得或，由得，
则在上为增函数，在上为减函数；
③当即时，恒成立，故在上为增函数；
④当即时，
由得或，由得，
则在上为增函数，在上为减函数.
综上：当时，在上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数；
当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.
（2）方法一：由已知得，
故，
①当时，在上单调递增，不存在两个零点；
②当时，令得，令得，
故在上为减函数，在上为增函数.
，
由有两个零点得：即，
又，故，解得，
又，且当无限趋向正无穷大时，趋向正无穷大，
当时，函数有两个零点.
综上可知：的取值范围为.
方法二：有两个零点等价于：
关于的方程有两个实根，
即有两个实根，
由（1）知，由方程（*）得有两个实根，
令，则，
由得，解得，由得解得，
在上为增函数，在上为减函数，，
又当时，，
当时且当无限趋向正无穷大时，无限趋向于0，（如下图）
    
当，即时，有两个零点，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
22．在直角坐标系中，圆的圆心为点，且半径长为2，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆的极坐标方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且，求．
【答案】(1)
(2)或．

【分析】（1）方法一：先写出圆的标准方程，利用直角坐标与极坐标之间的转化公式可求得答案；
方法二：在圆上任取点的极坐标为，当不共线时，利用余弦定理可得，当共线时进行验证，综合可得答案；
（2）方法一：利用直线的极坐标方程，联立圆的极坐标方程，可得根与系数关系式，结合已知条件即可求得答案；
方法二：利用直线的参数方程，联立圆的一般方程，可得根与系数关系式，结合已知条件即可求得答案；
【详解】（1）方法一：由已知，圆的标准方程为：．
可将其化为：
将代入以上方程可得：
圆的极坐标方程为
方法二：点的极坐标为，
在圆上任取点的极坐标为，当不共线时，
由余弦定理得：
化简得：
当共线时，点的坐标也适合上面的方程．
即圆的极坐标方程为．
（2）方法一，由已知，直线的极坐标方程为，
则：，整理得，
由得，
设，则，
则，
，化简得：，
由知得：，或．
或．
方法二，将代入得：，
由得．
设对应的参数分别为，则，

，化简得：．
由知得：，或．
或．
23．已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）方法一：运用绝对值的含义，分，，讨论解不等式，再求并集即可得到解集；方法二：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式即可；
（2）把绝对值不等式恒成立问题转化为，利用一次不等式恒成立法则列不等关系求解即可.
【详解】（1）方法一：当时，，
①，无解；
②，解得；
③，解得；
综上：原不等式的解集为；
方法二：原不等式等价于：，
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到-2所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，
又的解为，
原不等式的解集为；
（2）当时，，
原不等式等价于：，即，则，
，故，解得，
的取值范围为.